最后更新: 2025-11-22 22:05 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

非坐标基

4.5 非 坐 标 基

在前面对切空间的讨论中，我们相对于坐标卡 $\left\{x^\mu\right\}$ 来定义切空间的基矢 $\left\{\widehat{e}_\mu=\right. \left.\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right\}$ ，而相应的余切空间的基矢为 $\left\{\widehat{\theta}^\mu=\mathrm{d} x^\mu\right\}$ ．这两组基矢称为坐标基底．在此坐标基底下，度规张量场可以写作

$$
\widehat{g}=g_{\mu \nu} \theta^\mu \otimes \theta^\nu
$$

然而，我们可以考虑对以上坐标基做一个线性组合

$$
\widehat{e}_m=e_m^\mu \widehat{e}_\mu
$$

其中 $e_m^\mu$ 是一个非退化 $n \times n$ 矩阵，满足 $\operatorname{det}\left(e_m^\mu\right)>0$ ，其中的分量是坐标的函数．这样得到的新基底可以保证流形的定向。我们可以进一步要求这个新基底是正交归一的，

$$
\widehat{g}\left(\widehat{e}_m, \widehat{e}_n\right)=\eta_{m n}
$$

由（4．88）式的关系，有

$$
g_{\mu \nu}=e_\mu^m e_\nu^n \eta_{m n},
$$

其中 $e^m{ }_\mu$ 是 $e_m{ }^\mu$ 的逆，

$$
e_\mu^m e_n^\mu=\delta_n^m, \quad e_\mu^m e_m^\nu=\delta_\mu^\nu
$$

而对偶的基矢也是原来 1 形式的组合，

$$
\widehat{\theta}^m=e_\mu^m \widehat{\theta}^\mu
$$

仍然满足

$$
\widehat{\theta}^m\left(\widehat{e}_n\right)=\delta_n^m
$$

新的基底 $\left\{\widehat{e}_m, \widehat{\theta}^m\right\}$ 称为非坐标基底，或者正交洛伦兹标架基．在新的基底下，度规张量场的分量取正则的形式

$$
\widehat{g}=\eta_{m n} \widehat{\theta}^m \otimes \widehat{\theta}^n
$$

由黎曼法坐标，我们知道通过坐标变换，度规总可以取成正则形式．也就是说，局部惯性系的存在与非坐标基一致。与坐标基不同，非坐标基间一般是非对易的，

$$
\left[\widehat{e}_m, \widehat{e}_n\right]=C_{m n}^p \widehat{e}_p
$$

其中 $C^p{ }_{m n}$ 称为结构参数．

例 4.12 三维平直空间．
在三维平直欧氏空间中，我们可以选择球坐标系 $(r, \theta, \phi)$ ，在其中度规可以写作

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2+r^2 \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2,
$$

坐标基底为

$$
\begin{array}{cc}
\widehat{e}_r=\frac{\partial}{\partial r}, & \widehat{e}_\theta=\frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \widehat{e}_\phi=\frac{\partial}{\partial \phi} \\
\widehat{\theta}^r=\mathrm{d} r, \quad \widehat{\theta}^\theta=\mathrm{d} \theta, \quad \widehat{\theta}^\phi=\mathrm{d} \phi
\end{array}
$$

而度规系数取对角形式 $g_{i j}=\operatorname{diag}\left(1, r^2, r^2 \sin ^2 \theta\right)$ 。正交归一的非坐标基为

$$
\begin{array}{ccc}
\widehat{e}_1=\frac{\partial}{\partial r}, & \widehat{e}_2=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, & \widehat{e}_3=\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \\
\widehat{\theta}^1=\mathrm{d} r, & \widehat{\theta}^2=r \mathrm{~d} \theta, & \widehat{\theta}^3=r \sin \theta \mathrm{~d} \phi
\end{array}
$$

而此时的度规系数为 $g_{i j}=\delta_{i j}$ ．易见

$$
\left[\widehat{e}_1, \widehat{e}_2\right]=-\frac{1}{r} \widehat{e}_2
$$

注意对于非坐标基，其选择有一定的自由度．类似于黎曼法坐标的选择，我们局部地可以有一个洛伦兹变换群把不同的选择联系在一起．此外，对于某一个特别的观测者，我们总可以选定与他相伴的正交标架场来定义一个局部参考系．这在讨论相对于这个观测者的实验室参考系时将带来方便．此外，非坐标基在讨论各种数学和物理问题时都有重要的意义：我们可以利用非坐标基来讨论弯曲时空中的联络、曲率等数学问题；在讨论弯曲时空中费米场的物理时，我们也需要引进具有洛伦兹对称结构的非坐标基。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：体积元

下一篇：时间定向

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)