最后更新: 2025-11-22 22:08 查看: 34 次纠错评论(0) 课件开VIP

时间定向

4.6 时 间 定 向

我们知道，二维曲面可以是可定向的（orientable），也可以是不可定向的．例如，默比乌斯（Möbius）带就是不可定向的．对于黎曼流形，我们有类似的问题．我们称一个流形是可定向的，如果任意两个重叠坐标片间坐标变换的雅可比行列式总为正．在上面对非坐标基的讨论中，我们要求 $\operatorname{det}\left(e_m^\mu\right)>0$ 就是为了保持定向．对于赝黎曼流形，由于存在时间方向，我们需要定义时间定向（temporal orientátion）．

首先，在流形某点的切空间 $T_p(M)$ 中：一个矢量 $\widehat{u}$ 称为类时的，如果 $\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u})<0$ ；称为零的或者类光的，如果 $\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u})=0$ ；称为类空的，如果 $\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u})>0$ ．矢量 $\widehat{u}$ 称为因果的（causal），如果 $\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u}) \leqslant 0$ ．

命题 令 $\widehat{u}, \widehat{v} \in T_p(M)$ ，
（1）如果 $\widehat{u}$ 是类时的，而 $\widehat{v}$ 与它正交，则要么 $\widehat{v}=0$ ，要么 $\widehat{v}$ 为类空矢量；
（2）如果 $\widehat{u}, \widehat{v}$ 都是零矢量，则二者正交当且仅当它们互相成比例。
我们称两个类时矢量 $\widehat{u}, \widehat{v}$ 是共向的（co－oriented）的，如果 $\widehat{u} \cdot \widehat{v}<0$ ．可以证明，共向是一个等价关系：如果 $\widehat{u}, \widehat{v}$ 共向，$\widehat{v}, \widehat{w}$ 共向，则 $\widehat{u}, \widehat{w}$ 必然共向．利用这个等价关系我们可以在流形上定义时间定向．显然，$\widehat{u}$ 和 $-\widehat{u}$ 并非共向的，实际上它们属于不同的等价类。

首先，在流形上某事件 $p$ 处，我们有切空间 $T_p(M)$ 。利用非坐标基，局部地我们有正交洛伦兹标架，由此可以定义因果锥（causal cone）

$$
\mathcal{C}=\left\{\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u}) \leqslant 0, \forall \widehat{u} \in T_p(M)\right\},
$$

其边界给出光锥：$\widehat{g}(\widehat{u}, \widehat{u})=0$ ．因果锥由两部分构成：

$$
\mathcal{C}=\mathcal{C}_{+} \cup \mathcal{C}_{-},
$$

其中

$$
\mathcal{C}_{+}: \widehat{\theta}^0(\widehat{u})=u^0>0, \quad \mathcal{C}_{-}: u^0<0
$$

这相当于在局部平直时空中定义了光锥和因果结构，而 $\widehat{u}$ 和 $-\widehat{u}$ 分别属于 $\mathcal{C}_{+}$或者 $\mathcal{C}_{-}$。由上面的命题可知其他类时矢量要么与 $\widehat{u}$ 共向，要么与 $-\widehat{u}$ 共向。

其次，一个具有度规场的流形 $(M, \widehat{g})$ 称为时间可定向的，如果其上存在一个连续类时矢量场 $\hat{\tau}$ 。而在时间可定向流形上，两个类时矢量场 $\hat{\tau}$ 和 $\hat{\tau}^{\prime}$ 是共向的，如果它们在流形上每点都共向。利用共向定义的两个等价类在时间可定向流形上可以整体地定义，其中一个等价类定义为＂未来＂。在上面的局域闵氏时空中， $\mathcal{C}_{+}$定义了未来的因果锥．简而言之，时间可定向流形意味着局域时间定向可以连续地扩展到整个流形上．在广义相对论中，我们只讨论时间可定向流形，这种流形才能称为时空。

物理上，在观测者自己的共动参考系中其 4－速度 $\widehat{u}_0$ 给出了未来的指向，穿过这个参考系的非零因果矢量 $\widehat{\xi}$ 称为未来指向的（future－directed）或者过去指向的（past－ directed），依赖于 $\widehat{u}_0 \cdot \widehat{\xi}<0$ 还是 $\widehat{u}_0 \cdot \widehat{\xi}>0 . \widehat{\xi}$ 对应的光滑因果曲线也称为未来指向的或者过去指向的．

给定一个时空流形 $M$ 中的两点 $p$ 和 $q$ ，我们记 $p \ll q$（或 $p<q$ ），如果存在一条光滑未来指向的类时（或因果）曲线 $\gamma:[a, b] \rightarrow M$ ，其中 $\gamma(\dot{a})=p, \gamma(b)=q$ 。注意对时空流形上的所有点 $p$ ，有 $p<p$ ，但一般没有 $p \ll p$ ．后者的成立当且仅当存在穿过 $p$点的光滑闭合类时曲线，这意味着因果性的破坏．

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