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张量密度

4.7 张 量 密 度

下面我们来看列维－齐维塔张量在弯曲空间中的定义．表面上，我们仍然能够如四维闵氏时空中那样定义

$$
\widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}=\left\{\begin{array}{l}
+1, \text { 如果 }\left(\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n\right) \text { 是 }(01 \cdots(n-1)) \text { 的偶置换, } \\
-1, \text { 如果 }\left(\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n\right) \text { 是 }(01 \cdots(n-1)) \text { 的奇置换, } \\
0, \text { 其他情况. }
\end{array}\right.
$$

然而，我们将很快看到它并非一个张量，我们将称之为列维一齐维塔符号．从定义上看，它在坐标变换下是不变的，如果它是张量，将无法保持这一点．首先，注意到对一个 $n \times n$ 矩阵 $M$ ，其行列式 $|M|$ 满足

$$
\widetilde{\varepsilon}_{\mu_1^{\prime} \mu_2^{\prime} \cdots \mu_n^{\prime}}^{\prime}|M|=\widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} M_{\mu_1^{\prime}}^{\mu_1} M_{\mu_2^{\prime}}^{\mu_2} \cdots M_{\mu_n}^{\mu_n} .
$$

令 $M^\mu{ }_{\mu^{\prime}}=\partial x^\mu / \partial x^{\mu^{\prime}}$ ，我们看到

$$
\widetilde{\varepsilon}_{\mu_1^{\prime} \mu_2^{\prime} \cdots \mu_n^{\prime}}=\left|\frac{\partial x^{\mu^{\prime}}}{\partial x^\mu}\right| \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} \frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x^{\mu_1^{\prime}}} \frac{\partial x^{\mu_2}}{\partial x^{\mu_2^{\prime}}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_n}}{\partial x^{\mu_n^{\prime}}} .
$$

这非常接近于一个张量变换，除了前面与坐标变换相关的雅可比行列式因子．
我们称在坐标变换下与张量变换相差一个雅可比行列式因子的量为张量密度．雅可比行列式的幂次称为张量密度的权（weight）．所以，列维一齐维塔符号是一个权为 1的张量密度．另一个有名的张量密度是度规场的行列式 $g=\left|g_{\mu \nu}\right|$ ，其变换如

$$
g\left(x^{\mu^{\prime}}\right)=\left|\frac{\partial x^{\mu^{\prime}}}{\partial x^\mu}\right|^{-2} g\left(x^\mu\right) .
$$

因此，$g$ 是权为 -2 的（标量）密度．
由于不同权重的张量密度的存在，我们可以构造真正的张量．对一个权为 $w$ 的张量密度，我们可以在其上乘以 $|g|^{w / 2}$ 从而得到一个好的张量．对列维－齐维塔符号而言，我们可以定义列维－齐维塔张量

$$
\varepsilon_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}=\sqrt{|g|} \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} .
$$

有时，我们需要上指标的列维－齐维塔张量，它可以通过指标的提升来得到：

$$
\varepsilon^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}=\operatorname{sgn}(g) \frac{1}{\sqrt{|g|}} \widetilde{\varepsilon}^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}, ?
$$

其中 $\operatorname{sgn}(g)$ 是度规行列式的符号，对于黎曼流形是正的，而对于赝黎曼流形是负的。显然，这两个张量都是全反对称张量。此外，值得注意的是，列维－齐维塔张量并非对所有的流形都可以整体定义，它只能定义在可定向流形上 ${ }^{(5)}$ 。我们讨论的所有流形都是可定向的，有良好定义的列维－齐维塔张量。

如前所述，列维－齐维塔张量在平直时空中的定义如列维－齐维塔符号．我们可以从局部正交洛伦兹标架出发来定义一般的列维－齐维塔张量．我们有

$$
\begin{aligned}
\widehat{\varepsilon} & =\widetilde{\varepsilon}_{m n p q} \widehat{\theta}^m \otimes \widehat{\theta}^n \otimes \widehat{\theta}^p \otimes \widehat{\theta}^q \\
& =\widetilde{\varepsilon}_{m n p q} e_\mu^m e_\nu^n e_\sigma^p e_\rho^q \widehat{\theta}^\mu \otimes \widehat{\theta}^\nu \otimes \widehat{\theta}^\sigma \otimes \widehat{\theta}^\rho \\
& =\widetilde{\varepsilon}_{\mu \nu \sigma \rho}|e| \widehat{\theta}^\mu \otimes \widehat{\theta}^\nu \otimes \widehat{\theta}^\sigma \otimes \widehat{\theta}^\rho \\
& =\varepsilon_{\mu \nu \sigma \rho} \widehat{\theta}^\mu \otimes \widehat{\theta}^\nu \otimes \widehat{\theta}^\sigma \otimes \widehat{\theta}^\rho
\end{aligned}
$$

实际上，列维－齐维塔张量与流形的体积元相关。在讨论这个关系之前，我们先介绍一点外微分和微分形式的知识．

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