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微分形式

4.8 微 分 形 式

一个微分 $p$ 形式是一个全反对称 $(0, p)$ 型张量。比如说，标量是一个 0 形式，对偶（余）矢量是一个 1 形式，电磁场强张量是一个 2 形式，列维－齐维塔张量是一个 4形式。所有 $p$ 形式构成的空间记为 $\Lambda^p$ ，而在流形 $M$ 上所有 $p$ 形式场构成的空间记作 $\Lambda^p(M)$ 。在一个 $n$ 维矢量空间中线性独立的 $p$ 形式的数目为 $n!/(p!(n-p)!)$ ，这也给出了 $\Lambda^p(M)$ 的维数。由反对称性，$n$ 维流形中没有 $p>n$ 的微分形式。利用微分形式语言的好处在于，我们无需其他几何结构，如联络的帮助，就可以定义微分和积分了。

给定一个 $p$ 形式 $A$ 和一个 $q$ 形式 $B$ ，我们可以通过外积（wedge product）构造一个 $p+q$ 形式 $A \wedge B$ 。具体定义如下：

$$
(A \wedge B)_{\mu_1 \cdots \mu_{p+q}}=\frac{(p+q)!}{p!q!} A_{\left[\mu_1 \cdots \mu_p\right.} B_{\left.\mu_{p+1} \cdots \mu_{p+q}\right]} .
$$

譬如，对于两个 1 形式的外积，有

$$
(A \wedge B)_{\mu \nu}=2 A_{[\mu} B_{\nu]}=A_\mu B_\nu-A_\nu B_\mu .
$$

注意，两个形式的外积并不能简单地交换次序，而是有

$$
A \wedge B=(-1)^{p q} B \wedge A .
$$

利用坐标基底，一个 $p$ 形式可以写作

$$
A_p=\frac{1}{p!} A_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_p} \mathrm{~d} x^{\mu_1} \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_p}
$$

在形式场上的一个重要运算是所谓的外微分，或者外导数（exterior derivative），记作＂d＂．它把一个 $p$ 形式场映射到一个 $p+1$ 形式场：

$$
\mathrm{d}: \Lambda^p \rightarrow \Lambda^{p+1} .
$$

其具体定义为

$$
(\mathrm{d} A)_{\mu_1 \cdots \mu_{p+1}} \equiv(p+1) \partial_{\left[\mu_1\right.} A_{\left.\mu_2 \cdots \mu_{p+1}\right]} .
$$

对一个标量场，$(\mathrm{d} \phi)_\mu=\partial_\mu \phi$ ．对一个 1 形式（如规范势）$A=A_\mu \mathrm{d} x^\mu$,

$$
(\mathrm{d} A)_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu
$$

注意，通过外导数得到的新张量是良好定义的，即使在弯曲空间也如此，这与偏导数不同．实际上，由于导数运算后必须反对称化，出现在坐标变换后偏导数中多余的项都相消了，剩下的项符合张量变换的要求。

由定义，对任何形式 $A$ ，两次外微分作用后一定为零，

$$
\mathrm{d}(\mathrm{~d} A)=0
$$

即外微分满足幂零性（nilpotent）， $\mathrm{d}^2=0$ 。此外，对于一个 $p$ 形式 $A$ 和一个 $q$ 形式 $B$的外积，外微分作用为

$$
\mathrm{d}(A \wedge B)=\mathrm{d} A \wedge B+(-)^p A \wedge \mathrm{~d} B
$$

微分形式上的另一个重要运算是霍奇（Hodge）对偶．在一个 $n$ 维流形上的霍奇星算子（star operator）定义为一个映射 $*: \Lambda^p \rightarrow \Lambda^{n-p}$ ，

$$
(* A)_{\mu_

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