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微分形式

4.8 微 分 形 式

一个微分 $p$ 形式是一个全反对称 $(0, p)$ 型张量。比如说，标量是一个 0 形式，对偶（余）矢量是一个 1 形式，电磁场强张量是一个 2 形式，列维－齐维塔张量是一个 4形式。所有 $p$ 形式构成的空间记为 $\Lambda^p$ ，而在流形 $M$ 上所有 $p$ 形式场构成的空间记作 $\Lambda^p(M)$ 。在一个 $n$ 维矢量空间中线性独立的 $p$ 形式的数目为 $n!/(p!(n-p)!)$ ，这也给出了 $\Lambda^p(M)$ 的维数。由反对称性，$n$ 维流形中没有 $p>n$ 的微分形式。利用微分形式语言的好处在于，我们无需其他几何结构，如联络的帮助，就可以定义微分和积分了。

给定一个 $p$ 形式 $A$ 和一个 $q$ 形式 $B$ ，我们可以通过外积（wedge product）构造一个 $p+q$ 形式 $A \wedge B$ 。具体定义如下：

$$
(A \wedge B)_{\mu_1 \cdots \mu_{p+q}}=\frac{(p+q)!}{p!q!} A_{\left[\mu_1 \cdots \mu_p\right.} B_{\left.\mu_{p+1} \cdots \mu_{p+q}\right]} .
$$

譬如，对于两个 1 形式的外积，有

$$
(A \wedge B)_{\mu \nu}=2 A_{[\mu} B_{\nu]}=A_\mu B_\nu-A_\nu B_\mu .
$$

注意，两个形式的外积并不能简单地交换次序，而是有

$$
A \wedge B=(-1)^{p q} B \wedge A .
$$

利用坐标基底，一个 $p$ 形式可以写作

$$
A_p=\frac{1}{p!} A_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_p} \mathrm{~d} x^{\mu_1} \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_p}
$$

在形式场上的一个重要运算是所谓的外微分，或者外导数（exterior derivative），记作＂d＂．它把一个 $p$ 形式场映射到一个 $p+1$ 形式场：

$$
\mathrm{d}: \Lambda^p \rightarrow \Lambda^{p+1} .
$$

其具体定义为

$$
(\mathrm{d} A)_{\mu_1 \cdots \mu_{p+1}} \equiv(p+1) \partial_{\left[\mu_1\right.} A_{\left.\mu_2 \cdots \mu_{p+1}\right]} .
$$

对一个标量场，$(\mathrm{d} \phi)_\mu=\partial_\mu \phi$ ．对一个 1 形式（如规范势）$A=A_\mu \mathrm{d} x^\mu$,

$$
(\mathrm{d} A)_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu
$$

注意，通过外导数得到的新张量是良好定义的，即使在弯曲空间也如此，这与偏导数不同．实际上，由于导数运算后必须反对称化，出现在坐标变换后偏导数中多余的项都相消了，剩下的项符合张量变换的要求。

由定义，对任何形式 $A$ ，两次外微分作用后一定为零，

$$
\mathrm{d}(\mathrm{~d} A)=0
$$

即外微分满足幂零性（nilpotent）， $\mathrm{d}^2=0$ 。此外，对于一个 $p$ 形式 $A$ 和一个 $q$ 形式 $B$的外积，外微分作用为

$$
\mathrm{d}(A \wedge B)=\mathrm{d} A \wedge B+(-)^p A \wedge \mathrm{~d} B
$$

微分形式上的另一个重要运算是霍奇（Hodge）对偶．在一个 $n$ 维流形上的霍奇星算子（star operator）定义为一个映射 $*: \Lambda^p \rightarrow \Lambda^{n-p}$ ，

$$
(* A)_{\mu_1 \cdots \mu_{n-p}}=\frac{1}{p!} \varepsilon^{\nu_1 \cdots \nu_p}{ }_{\mu_1 \cdots \mu_{n-p}} A_{\nu_1 \cdots \nu_p}
$$

它把一个 $p$ 形式变成一个 $n-p$ 形式．对任意 $p$ 形式 $A$ 做两次霍奇星运算，得

$$
* * A=(-1)^{s+p(n-p)} A
$$

这里 $s$ 是度规场正则形式中＂-1 ＂的个数．

霍奇对偶与通常矢量与余矢量间的对偶不同，尽管 $p$ 形式场空间 $\Lambda^p$ 的维数与 $n-p$ 形式场空间 $\Lambda^{n-p}$ 的维数相同，而且

$$
*\left(A^{(n-p)} \wedge B^{(p)}\right) \in R .
$$

在三维欧氏空间中，两个 1 形式外积的霍奇对偶仍是一个 1 形式：

$$
*(U \wedge V)_i=\varepsilon_i{ }^{j k} U_j V_k .
$$

它实际上正是三维矢量空间中两个矢量的叉乘（cross product）运算．类似的运算在高维显然不存在。

例 4.13 电磁场与 $\mathrm{U}(1)$ 规范场．
如前所述，描述电磁理论更好的语言是利用阿贝尔规范场。首先，我们有 1 形式的规范势 $\widehat{A}=A_\mu \mathrm{d} x^\mu$ ，而电磁场强是 2 形式，$\widehat{F}=\mathrm{d} \widehat{A}$ ，它在规范变换 $\widehat{A} \rightarrow \widehat{A}+\mathrm{d} \xi$ 下由于 $\mathrm{d}^2=0$ 而保持不变．利用形式场，可以很简洁地写下麦克斯韦方程．一组方程是平庸的，

$$
\mathrm{d} \widehat{F}=0,
$$

这来自外微分算子的幂零性 $\mathrm{d}^2=0$ ．换句话说，无源的两个方程说明电磁场强可以由规范场来表达，具有规范不变性。而对于与流有关的两个方程，我们可以通过把流写成 1 形式，从而得到

$$
\mathrm{d}(* \widehat{F})=4 \pi(* \widehat{J})
$$

在真空中，由于不存在流，上述两个方程具有以下霍奇对偶不变性：

$$
\begin{gathered}
\widehat{F} \rightarrow * \widehat{F} \\
* \widehat{F} \rightarrow-\widehat{F}
\end{gathered}
$$

如果写作分量的形式，我们将看到这个霍奇对偶实际上是交换了电场和磁场，因此也常被称为电磁对偶。如果有源存在，看起来我们可以引进一个＂磁＂流 $\widehat{J}_M$ ，然后加上 $\widehat{J} \leftrightarrow \widehat{J}_M$ ，似乎对偶仍然成立。然而如果存在磁源，则意味着规范场无法整体定义，我们必须引进具有奇异性的磁单极子．磁单极子的概念最早是由狄拉克（Dirac）提出的．如果存在磁单极子，考虑其中带电粒子的波函数，则量子力学给出荷的量子化条件

$$
e g=2 \pi n
$$

其中 $e$ 是带电粒子的电荷，$g$ 是磁荷．狄拉克的量子化条件可以很自然地解释为何自然界中的基本粒子电荷都是电子电荷的整数倍。进一步地，该条件说明了电磁对偶是强弱对偶，$e$ 小则 $g$ 大，反之亦然，因此电磁对偶也常称为 $S$ 对偶。然而，在电磁理论中方程 $\mathrm{d} \widehat{F}=\widehat{J}_M$ 是无法找到整体定义的非奇异规范势的，需要引进狄拉克弦来消除奇异性。但磁单极子在量子场论中得到了自然的实现。特别地，在超对称量子场论和超弦理论中，电磁对偶有着重要的物理意义。此外，近年来人们发现 $S$ 对偶与数学中的朗兰兹（Langlands）纲领密切相关．

最后，我们重新审视一下流形上的积分．在 $n$ 维流形 $M$ 上，积分元可以看作一个 $n$ 形式：

$$
\Sigma \in M, \quad \int_{\Sigma}: \widehat{\omega} \rightarrow R
$$

其中 $\Sigma$ 是积分域．比如说，对于 1 维线积分，$\hat{\omega}=\omega(x) \mathrm{d} x$ ，所以有 $\int \omega(x) \mathrm{d} x$ ．对于高维积分，以三维为例。考虑一个基本单元，由三个无穷小矢量 $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{W}$ 张成，即这个基本单元是一个平行长方体 ${ }^{(9)}$ 。而在其上的积分元为

$$
\mathrm{d} \widehat{\mu}(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{W}) \in R
$$
也就是说，这里的积分元是三个矢量张量积的泛函，它满足多线性 $\mathrm{d} \widehat{\mu}(a \boldsymbol{U}, b \boldsymbol{V}, c \boldsymbol{W})= a b c \mathrm{~d} \widehat{\mu}(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{W})$ ．所以 $\mathrm{d} \widehat{\mu}$ 是一个 $(0,3)$ 型张量，而且由于三个矢量间交换顺序会导致不同，或者说，三个矢量定义的基本体积元是定向的， $\mathrm{d} \widehat{\mu}$ 也是反对称化的，即它是一个 3 形式。对于更一般的流形， $\mathrm{d} \hat{\mu}$ 是一个 $n$ 形式。

如前所述，形如 $\mathrm{d}^n x=\mathrm{d} x^0 \cdots \mathrm{~d} x^{n-1}$ 的积分元并非张量，而是一个张量密度，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} x^0 \cdots \mathrm{~d} x^{n-1} & =\frac{1}{n!} \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_n} \mathrm{~d} x^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_n} \\
& \rightarrow \frac{1}{n!} \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_n} \frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x^{\mu_1^{\prime}}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_n}}{\partial x^{\mu_n^{\prime}}} \mathrm{d} x^{\mu_1^{\prime}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{\mu_n^{\prime}} \\
& =\left|\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime \mu}}\right| \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1^{\prime} \cdots \mu_n^{\prime}} \mathrm{d} x^{\mu_1^{\prime}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{\mu_n^{\prime}} .
\end{aligned}
$$

我们可以插人一个因子 $\sqrt{|g|}$ 来得到一个张量：

$$
\sqrt{|g|} \mathrm{d}^n x=\sqrt{|g|} \mathrm{d} x^0 \cdots \mathrm{~d} x^{n-1}
$$

这实际上正是列维－齐维塔张量

$$
\begin{aligned}
\widehat{\varepsilon} & =\varepsilon_{\mu_1 \cdots \mu_n} \mathrm{~d} x^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \mathrm{~d} x^{\mu_n} \\
& =\frac{\sqrt{|g|}}{n!} \widetilde{\varepsilon}_{\mu_1, \cdots \mu_n} \mathrm{~d} x^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^{\mu_n}=\sqrt{|g|} \mathrm{d}^n x
\end{aligned}
$$

简而言之，列维－齐维塔张量就是体积元．
在流形上的积分为

$$
I=\int \phi(x) \sqrt{|g|} \mathrm{d}^n x
$$

其中，$\phi(x)$ 是被积函数．假设我们有一个 $n$ 维流形 $M$ ，其边界为 $\partial M$ ，并且在 $M$ 上有一个 $n-1$ 形式场 $\hat{\omega}$ ，则 $\mathrm{d} \hat{\omega}$ 是一个 $n$ 形式场，可以在流形上积分，而 $\hat{\omega}$ 本身可以在 $\partial M$ 上积分，这样我们有斯托克斯（Stokes）定理

$$
\int_M \mathrm{~d} \widehat{\omega}=\int_{\partial M} \widehat{\omega} .
$$

这一定理的特例包括我们熟知的定积分中的牛顿－莱布尼茨（Leibniz）公式，以及三维矢量运算中的格林定理、高斯定理和斯托克斯定理．

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