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切空间和余切空间

4.2 切空间和余切空间

我们将用内禀的方法来讨论流形的切空间（tangent space）．考虑穿过流形上某点 $p$ 的所有参数化曲线的集合．流形上的曲线可以通过非退化映射 $\gamma: R \rightarrow M$ 来定义．如果 $p$ 点在 $\gamma$ 的像中，则这些映射构成了穿过 $p$ 点的曲线的集合。前面我们已经介绍过曲线的切矢可以用方向导数来定义，因此，在 $p$ 点的切空间 $T_p$ 可以由通过 $p$ 点的所有曲线的方向导数构成，其线性无关的切矢量数目即是切空间的维数，也就是流形的维数，如图 4.8 所示．

![图片](/uploads/2025-11/10dda8.jpg)
 
 
 考虑一个 $n$ 维流形 $M$ ，其上一条曲线由映射 $\gamma: R \rightarrow M$ 来定义，$\lambda$ 是曲线 $\gamma$ 的参数。我们进一步考虑流形上的一个函数 $f \in \mathcal{F}(M)$ 沿曲线的变化，也就是说考虑函数沿曲线的方向导数．在曲线上的一个点 $p$ 附近，我们有坐标卡 $(U, \varphi)$ ，因此我们可以利
 
 用坐标卡来讨论沿曲线的方向导数．首先函数本身定义了映射 $f: M \rightarrow R$ ．而由图 4.9可见，复合映射 $f \circ \gamma: R \rightarrow R$ 定义了依赖于仿射参数的函数 $f(\lambda)$ 。但另一方面，我们可以利用 $p$ 点处的坐标卡把这个映射明显地表示出来：$\left(f \circ \varphi^{-1}\right) \circ(\varphi \circ \gamma)$ ，即 $f\left(x^\mu(\lambda)\right)$ ．因此，函数沿曲线的方向导数为

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}(f \circ \gamma) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left[\left(f \circ \varphi^{-1}\right) \circ(\varphi \circ \gamma)\right] \\
& =\frac{\mathrm{d}(\varphi \circ \gamma)^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x^\mu} \\
& =\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\mu f
\end{aligned}
$$

由于函数 $f$ 是任意的，所以方向导数算子 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda}$ 可以用基矢 $\partial_\mu$ 展开：

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\mu
$$

在此坐标卡中，矢量的基底是

$$
\widehat{e}_\mu=\partial_\mu, \quad \mu=1, \cdots, n
$$

通常称它为 $T_p$ 的坐标基．显然，切空间的维数和流形的维数一样．

![图片](/uploads/2025-11/5089c7.jpg)
 
 
 由于描述 $p$ 点邻域的坐标卡不唯一，我们可以在另一组坐标基下描述方向导数，也就是说，在坐标变换 $x^\mu \rightarrow x^{\mu^{\prime}}$ 下，基矢的变换为

$$
\partial_{\mu^{\prime}}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \partial_\mu
$$

而矢量本身是不变的，

$$
\begin{aligned}
V^\mu \partial_\mu & =V^{\mu^{\prime}} \partial_{\mu^{\prime}} \\
& =V^{\mu^{\prime}} \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \partial_\mu
\end{aligned}
$$

所以，矢量分量的变换为

$$
V^{\mu^{\prime}}=\frac{\partial x^{\mu^{\prime}}}{\partial x^\mu} V^\mu
$$

从这些讨论可见，这里的坐标变换是闵氏空间中洛伦兹变换的推广，因此在广义相对论中把坐标卡间的变换称为＂广义坐标变换＂或者＂微分同胚变换＂。注意闵氏空间中洛伦兹变换是常数变换，这是由于闵氏空间可以通过一个坐标卡来覆盖，因此不同坐标卡间的变换可以是常数变换．但并不是所有的变换都如此，比如笛卡儿坐标与极坐标间的变换就不是常数变换．对于一般的流形而言，即使坐标卡都取笛卡儿坐标，坐标变换仍无法做到是常数变换．

流形上一点 $p$ 的余切空间（cotangent space）$T_p^*$ 与前面介绍的余矢量（1形式）类似，可以定义为切空间 $T_p$ 上所有线性映射的集合，即 $T_p^*=\left\{\right.$ 线性映射 $\left.\omega: T_p \rightarrow R\right\}$ 。 1形式的典型例子是函数 $f$ 的梯度，记为 $\mathrm{d} f$ ．它与矢量的作用正是函数的方向导数：

$$
\mathrm{d} f\left(\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \lambda}\right)=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} \lambda}
$$

因此，在某坐标卡中坐标函数 $x^\mu$ 的梯度提供了余切空间的自然基底：

$$
\widehat{\theta}^\mu=\mathrm{d} x^\mu, \quad \mu=1, \cdots, n
$$

满足
$$
\widehat{\theta}^\mu\left(\widehat{e}_\nu\right)=\mathrm{d} x^\mu\left(\partial_\nu\right)=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}=\delta_\nu^\mu
$$

一个任意的1形式可以通过这个基底展开：$\widehat{\omega}=\omega_\mu \mathrm{d} x^\mu$ 。在坐标变换下，基底和1形式分量的变换律为

$$
\mathrm{d} x^{\mu^{\prime}}=\frac{\partial x^{\mu^{\prime}}}{\partial x^\mu} \mathrm{d} x^\mu, \quad \omega_{\mu^{\prime}}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \omega_\mu
$$

上面介绍的是在流形某点处的切空间和余切空间．流形上在不同的点有不同的切空间，而流形上一个矢量场 $\widehat{V}(x)$ 在流形的每一点 $p$ 都指定一个矢量，在该点的切空间中．矢量场定义了一个映射

$$
\widehat{V}: f \rightarrow \widehat{V}(f) \in C^{\infty}(M), \quad f \in \mathcal{F}(M),
$$

其中 $\mathcal{F}(M)$ 是流形上的函数集合．如果 $\widehat{V}(f)$ 对于所有的 $f$ 都是光滑的，则称该矢量场为光滑的。局域地，矢量场可以利用基矢展开为

$$
\widehat{V}(x)=V^\mu(x) \widehat{e}_\mu=V^\mu(x) \partial_\mu
$$

同理，也有对偶矢量场，或者说余矢量场、1 形式场，局域地有

$$
\widehat{\omega}(x)=\omega_\mu(x) \widehat{\theta}^\mu=\omega_\mu(x) \mathrm{d} x^\mu .
$$

我们可以把矢量场看作流形上矢量的集合，或者说是＂箭头＂（矢量）形成的场．对于光滑的矢量场，我们可以把＂箭头＂串起来，得到覆盖整个流形的曲线族。实际上，对于一个光滑矢量场 $\widehat{V}(x)$ ，我们可以定义它的积分曲线：这条曲线在某点的切矢量正好给出矢量场在该点处的矢量．不妨把这条曲线用 $x^\mu(\lambda)$ 来刻画，则有

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} x^\mu(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda} & =V^\mu(x(\lambda)), \\
x^\mu(\lambda=0) & =x_0 .
\end{aligned}
$$

由常微分方程解的存在性和唯一性定理可知，给定初值条件后，上面的方程至少局域地有唯一的解．实际上，我们可以把解延拓到相邻的坐标片，从而把积分曲线延展下去．可以证明，对于紧致流形，积分曲线对所有的 $\lambda \in R$ 都是存在的．

例 4.11 二维平面 $R^2$ 上的矢量场。
（1）转动矢量场

$$
\widehat{V}=-x^2 \frac{\partial}{\partial x^1}+x^1 \frac{\partial}{\partial x^2} .
$$

考虑经过点 $p=\left(x_0^1, x_0^2\right)$ 的积分曲线，可得

$$
x^\mu(\lambda)=\left(x_0^1 \cos \lambda-x_0^2 \sin \lambda, x_0^1 \sin \lambda+x_0^2 \cos \lambda\right) .
$$

它是一条圆心位于原点且经过点 $p$ 的圆．
（2）径向扩张矢量场

$$
\widehat{V}=x^1 \frac{\partial}{\partial x^1}+x^2 \frac{\partial}{\partial x^2}
$$

经过点 $p=\left(x_0^1, x_0^2\right)$ 的积分曲线为

$$
x^\mu(\lambda)=\left(x_0^1 \mathrm{e}^\lambda, x_0^2 \mathrm{e}^\lambda\right) .
$$

如果点 $p$ 不是原点，则积分曲线是从原点出发（但不包括原点）且穿过 $p$ 的射线．
在上面两种情形，如果点 $p$ 就是原点，则积分曲线就是原点。
对两个矢量场 $\widehat{X}, \widehat{Y}$ ，它们的对易子仍是一个矢量场：

$$
[\widehat{X}, \widehat{Y}](f) \equiv \widehat{X}(\widehat{Y}(f))-\widehat{Y}(\widehat{X}(f))
$$

此时 $[\widehat{X}, \widehat{Y}]$ 称为李括号（Lie bracket），是后面要介绍的李导数的一个特例．在某坐标系下，

$$
[\widehat{X}, \widehat{Y}]=[\widehat{X}, \widehat{Y}]^\alpha \partial_\alpha=\left(X^\beta \partial_\beta Y^\alpha-Y^\beta \partial_\beta X^\alpha\right) \partial_\alpha
$$

矢量场的对易子有清楚的几何意义，如图 4.10 所示．一般而言，两个矢量场在局域的积分曲线并不能形成封闭的四边形。为了简单起见，我们考虑这些矢量场在一个平面上，在点 $t$ 和 $r$ 间的矢量为

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{r t} & =(\widehat{U}(p)+\widehat{V}(s))-(\widehat{V}(p)+\widehat{U}(q)) \\
& =(\widehat{V}(s)-\widehat{V}(p))-(\widehat{U}(q)-\widehat{U}(p)) \\
& =\left(\partial_\alpha V^\beta U^\alpha \widehat{e}_\beta\right)(p)-\left(\partial_\alpha U^\beta V^\alpha \widehat{e}_\beta\right)(p)+\text { 高阶项 } \\
& =[\widehat{U}, \widehat{V}](p)+\text { 高阶项, }
\end{aligned}
$$

可能的高阶项如 $\partial_{\mu \nu} V^\beta U^\mu U^\nu \widehat{e}_\beta$ 。如果我们使矢量 $\widehat{U}, \widehat{V}$ 减半，则对易子减为 $1 / 4$ ，而高阶修正项至少减为 $1 / 8$ ．因此，取 $\widehat{U}, \widehat{V}$ 趋于零的极限，则高阶项可忽略，这样我们就得到了五边形图像．

![图片](/uploads/2025-11/b8ddf4.jpg)

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