最后更新: 2025-11-21 14:06 查看: 28 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

切空间和余切空间

4.2 切空间和余切空间

我们将用内禀的方法来讨论流形的切空间（tangent space）．考虑穿过流形上某点 $p$ 的所有参数化曲线的集合．流形上的曲线可以通过非退化映射 $\gamma: R \rightarrow M$ 来定义．如果 $p$ 点在 $\gamma$ 的像中，则这些映射构成了穿过 $p$ 点的曲线的集合。前面我们已经介绍过曲线的切矢可以用方向导数来定义，因此，在 $p$ 点的切空间 $T_p$ 可以由通过 $p$ 点的所有曲线的方向导数构成，其线性无关的切矢量数目即是切空间的维数，也就是流形的维数，如图 4.8 所示．

![图片](/uploads/2025-11/10dda8.jpg)
 
 
 考虑一个 $n$ 维流形 $M$ ，其上一条曲线由映射 $\gamma: R \rightarrow M$ 来定义，$\lambda$ 是曲线 $\gamma$ 的参数。我们进一步考虑流形上的一个函数 $f \in \mathcal{F}(M)$ 沿曲线的变化，也就是说考虑函数沿曲线的方向导数．在曲线上的一个点 $p$ 附近，我们有坐标卡 $(U, \varphi)$ ，因此我们可以利
 
 用坐标卡来讨论沿曲线的方向导数．首先函数本身定义了映射 $f: M \rightarrow R$ ．而由图 4.9可见，复合映射 $f \circ \gamma: R \rightarrow R$ 定义了依赖于仿射参数的函数 $f(\lambda)$ 。但另一方面，我们可以利用 $p$ 点处的坐标卡把这个映射明显地表示出来：$\left(f \circ \varphi^{-1}\right) \circ(\varphi \circ \gamma)$ ，即 $f\left(x^\mu(\lambda)\right)$ ．因此，函数沿曲线的方向导数为

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}(f \circ \gamma) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left[\left(f \circ \varphi^{-1}\right) \circ(\varphi \circ \gamma)\right] \\
& =\frac{\mathrm{d}(\varphi \circ \gamma)^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x^\mu} \\
& =\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\mu f
\end{aligned}
$$

由于函数 $f$ 是任意的，所以方向导数算子 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda}$ 可以用基矢 $\partial_\mu$ 展开：

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\mu
$$

在此坐标卡中，矢量的基底是

$$
\widehat{e}_\mu=\partial_\mu, \quad \mu=1, \cdots, n
$$

通常称它为 $T_p$ 的坐标基．显然，切空间的维数和流形的维数一样．

![图片](/uploads/2025-11/5089c7.jpg)
 
 
 由于描述 $p$ 点邻域的坐标卡不唯一，我们可以在另一组坐标基下描述方向导数，也就是说，在坐标变换 $x^\mu \rightarrow x^{\mu^{\prime}}$ 下，基矢的变换为

$$
\partial_{\mu^{\prime}}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \partial_\mu
$$

而

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