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时空弯曲与流形

我们通过对引力红移的讨论看到，在引力场中描述光子运动的时空不可能是闵氏时空，也就是说，引力的相对论性理论应该在弯曲时空中建立．在这一章中我们将学习关于弯曲时空的基础知识．我们首先从弯曲时空的内禀描述开始．我们的讨论将不追求数学上的严格性，对数学严格性要求高的读者可参阅文献 $[30,31,32,33,34]$ ．
4.1 流 形

欧几里得几何是公理化体系的典范．通过假定五条公设，欧氏几何的其他定理都可以导出．在欧几里得发表《几何原本》之后的两千多年中，人们试图精简欧几里得的体系，探索是否能够删减或者修改其中的某条公设，但仍然能够保持理论体系的自洽性和完备性．特别地，欧几里得的第五公设假定：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必然与另一条相交 ${ }^{(1)}$ ．这个公设看起来并不是完全自然的．早在 1824 年，＂数学王子＂高斯在与友人的通信中就提到修改此公设的可能性。1832年，匈牙利数学家鲍耶（Bolyai）公开提出了对此公设的修改。而俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobachevski）独立地在 1826 年发现了罗巴切夫斯基平面，这是一个有负常数曲率（curvature）的二维空间，而且不能简单地嵌入三维欧氏空间中。从此之后，弯曲空间逐渐被人们所接受，特别是黎曼（Riemann）对弯曲空间的研究做出了卓越的贡献．在爱因斯坦提出广义相对论之前 50 年，数学家们对弯曲空间的研究已经很成熟了，为爱因斯坦发展广义相对论准备好了数学工具。然而，对爱因斯坦同时代的其他物理学家而言，黎曼几何仍然只是数学家们的玩具，看起来不会有什么物理意义。

通常，人们把描述弯曲空间的几何称为黎曼几何，而把描述弯曲时空的几何称为赝黎曼几何．我们先不区分时间和空间，而只是一般性地讨论弯曲空间，特别是行为较好的弯曲空间．我们将讨论的弯曲空间是所谓的光滑流形．简单地说，光滑流形具有下面两条性质：
（1）流形的每一点局部看起来都是一个相同维数的平直欧氏空间，如果这个空间是 $n$ 维的，则流形也是 $n$ 维；
（2）流形上相邻的局部区域可以光滑地缝起来．
性质（1）实际上是说流形是局域平直的，而且流形的维数不会发生改变．性质（2）说明流形是光滑的．我们先举几个流形和非流形的例子，然后再对以上两个性质做更准确的数学定义。

例 4.1 平直欧氏空间 $R^n$ ，包括 1 维直线、 2 维平面等。
例 $4.2 ~ n$ 维球面 $S^n$ 。地球表面近似为一个二维球面。球面构成了光滑流形的非平凡的例子。

例 $4.3 n$ 维环面 $T^n$ ．它可以通过把 $n$ 维欧氏空间的每一个方向周期性紧化来得到：

$$
x^i \sim x^i+a^i, \quad i=1, \cdots, n .
$$

从构造上可以看出，$n$ 维环面与 $n$ 维平直空间没有什么差别，都应该是平直的，但拓扑上二者完全不同．
例 4.4 亏格为 $g$ 的二维黎曼面，如图 4.1 所示．黎曼面可以有代数的定义，也可以有几何的定义，我们在此仅给出几个明显的例子：
（1）$g=0$ ：二维球面 $S^2$ ；
（2）$g=1$ ：二维环面 $T^2$ ，几何上看有一个手柄；
（3）$g>1$ ：有 $g$ 个手柄．
二维黎曼面富含优美的数学，与数学中复分析、代数几何、指标定理、模空间等相关，在物理中也有多方面重要的应用，如在弦理论、超对称杨－米尔斯（Yang－Mills）理论等中的应用．

![图片](/uploads/2025-11/6bdb05.jpg)
 
 例 4.5 更抽象的例子：某种连续变换的集合可以定义李群，如转动群以及前面讨论的洛伦兹群．

流形可以通过嵌人的方式来进行研究．在多变量微积分中，我们描述曲线和曲面的办法是通过高维空间中的函数．对于一维的曲线而言，它只有一个自由度，可以通过一个变量 $\lambda$ 来刻画．如果把这个曲线嵌人某个平直时空中，它是通过坐标集 $x^\mu=x^\mu(\lambda)$
来描述的，不同的 $\lambda$ 给出了这条曲线在空间的位置．而对于在 $N$ 维平直空间中的 $M$维曲面而言，它有 $M$ 个自由度，可以由坐标集

$$
x^\mu=x^\mu\left(u^1, \cdots, u^M\right), \quad \mu=1, \cdots, N
$$

来描述．
嵌人的另一种描述方式是通过定义函数集合来实现的．在 $N$ 维的平直空间中可以利用函数定义一个低一维的超曲面（hypersurface）

$$
f\left(x^1, \cdots, x^N\right)=0
$$

即令这个超曲面满足某个方程．此时函数是定义在坐标函数 $\left\{x^\mu\right\}$ 上面的．这个方程约束了一个自由度，符合超曲面有 $N-1$ 个自由度的要求．类似地，我们可以对 $M$ 维曲面用同样的方式来描述：

$$
\left\{\begin{array}{c}
f_1\left(x^1, \cdots, x^N\right)=0 \\
\cdots \cdots \\
f_{N-M}\left(x^1, \cdo

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