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时空弯曲与流形

我们通过对引力红移的讨论看到，在引力场中描述光子运动的时空不可能是闵氏时空，也就是说，引力的相对论性理论应该在弯曲时空中建立．在这一章中我们将学习关于弯曲时空的基础知识．我们首先从弯曲时空的内禀描述开始．我们的讨论将不追求数学上的严格性，对数学严格性要求高的读者可参阅文献 $[30,31,32,33,34]$ ．
4.1 流 形

欧几里得几何是公理化体系的典范．通过假定五条公设，欧氏几何的其他定理都可以导出．在欧几里得发表《几何原本》之后的两千多年中，人们试图精简欧几里得的体系，探索是否能够删减或者修改其中的某条公设，但仍然能够保持理论体系的自洽性和完备性．特别地，欧几里得的第五公设假定：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必然与另一条相交 ${ }^{(1)}$ ．这个公设看起来并不是完全自然的．早在 1824 年，＂数学王子＂高斯在与友人的通信中就提到修改此公设的可能性。1832年，匈牙利数学家鲍耶（Bolyai）公开提出了对此公设的修改。而俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobachevski）独立地在 1826 年发现了罗巴切夫斯基平面，这是一个有负常数曲率（curvature）的二维空间，而且不能简单地嵌入三维欧氏空间中。从此之后，弯曲空间逐渐被人们所接受，特别是黎曼（Riemann）对弯曲空间的研究做出了卓越的贡献．在爱因斯坦提出广义相对论之前 50 年，数学家们对弯曲空间的研究已经很成熟了，为爱因斯坦发展广义相对论准备好了数学工具。然而，对爱因斯坦同时代的其他物理学家而言，黎曼几何仍然只是数学家们的玩具，看起来不会有什么物理意义。

通常，人们把描述弯曲空间的几何称为黎曼几何，而把描述弯曲时空的几何称为赝黎曼几何．我们先不区分时间和空间，而只是一般性地讨论弯曲空间，特别是行为较好的弯曲空间．我们将讨论的弯曲空间是所谓的光滑流形．简单地说，光滑流形具有下面两条性质：
（1）流形的每一点局部看起来都是一个相同维数的平直欧氏空间，如果这个空间是 $n$ 维的，则流形也是 $n$ 维；
（2）流形上相邻的局部区域可以光滑地缝起来．
性质（1）实际上是说流形是局域平直的，而且流形的维数不会发生改变．性质（2）说明流形是光滑的．我们先举几个流形和非流形的例子，然后再对以上两个性质做更准确的数学定义。

例 4.1 平直欧氏空间 $R^n$ ，包括 1 维直线、 2 维平面等。
例 $4.2 ~ n$ 维球面 $S^n$ 。地球表面近似为一个二维球面。球面构成了光滑流形的非平凡的例子。

例 $4.3 n$ 维环面 $T^n$ ．它可以通过把 $n$ 维欧氏空间的每一个方向周期性紧化来得到：

$$
x^i \sim x^i+a^i, \quad i=1, \cdots, n .
$$

从构造上可以看出，$n$ 维环面与 $n$ 维平直空间没有什么差别，都应该是平直的，但拓扑上二者完全不同．
例 4.4 亏格为 $g$ 的二维黎曼面，如图 4.1 所示．黎曼面可以有代数的定义，也可以有几何的定义，我们在此仅给出几个明显的例子：
（1）$g=0$ ：二维球面 $S^2$ ；
（2）$g=1$ ：二维环面 $T^2$ ，几何上看有一个手柄；
（3）$g>1$ ：有 $g$ 个手柄．
二维黎曼面富含优美的数学，与数学中复分析、代数几何、指标定理、模空间等相关，在物理中也有多方面重要的应用，如在弦理论、超对称杨－米尔斯（Yang－Mills）理论等中的应用．

![图片](/uploads/2025-11/6bdb05.jpg)
 
 例 4.5 更抽象的例子：某种连续变换的集合可以定义李群，如转动群以及前面讨论的洛伦兹群．

流形可以通过嵌人的方式来进行研究．在多变量微积分中，我们描述曲线和曲面的办法是通过高维空间中的函数．对于一维的曲线而言，它只有一个自由度，可以通过一个变量 $\lambda$ 来刻画．如果把这个曲线嵌人某个平直时空中，它是通过坐标集 $x^\mu=x^\mu(\lambda)$
来描述的，不同的 $\lambda$ 给出了这条曲线在空间的位置．而对于在 $N$ 维平直空间中的 $M$维曲面而言，它有 $M$ 个自由度，可以由坐标集

$$
x^\mu=x^\mu\left(u^1, \cdots, u^M\right), \quad \mu=1, \cdots, N
$$

来描述．
嵌人的另一种描述方式是通过定义函数集合来实现的．在 $N$ 维的平直空间中可以利用函数定义一个低一维的超曲面（hypersurface）

$$
f\left(x^1, \cdots, x^N\right)=0
$$

即令这个超曲面满足某个方程．此时函数是定义在坐标函数 $\left\{x^\mu\right\}$ 上面的．这个方程约束了一个自由度，符合超曲面有 $N-1$ 个自由度的要求．类似地，我们可以对 $M$ 维曲面用同样的方式来描述：

$$
\left\{\begin{array}{c}
f_1\left(x^1, \cdots, x^N\right)=0 \\
\cdots \cdots \\
f_{N-M}\left(x^1, \cdots, x^N\right)=0
\end{array}\right.
$$

它需要满足 $N-M$ 个约束方程．注意，通过方程组来定义曲面具有局限性：方程组可能无解，或者存在奇点．

惠特尼（Whitney）嵌人定理告诉我们，任意 $N$ 维流形总可以嵌人 $2 N$ 维欧氏空间中．尽管如此，流形本身是独立存在的，并不需要引进嵌入来描述它．下面我们介绍描述流形的内禀方式，它并不依赖于流形是否嵌人高维的平直空间中。

对于一个 $N$ 维流形上的点，我们需要 $N$ 个独立的实坐标 $\left(x^1, \cdots, x^N\right)$ 来完全确定它 ${ }^{(2)}$ ．然而坐标的选择有任意性，而且即使流形本身是平庸的，坐标的选择有时候也让其中的某些点看起来是奇异的．比如说，用极坐标 $(r, \varphi)$ 来描述二维欧氏空间，

$$
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi
$$

在原点 $r=0$ 处存在退化，因为 $\varphi$ 此时是不确定的．而用笛卡儿坐标则不存在此问题．这当然不是说笛卡儿坐标比极坐标好，在有的情况下，用极坐标会带来不少便利．一般而言，只用一个非退化的坐标系是不可能覆盖整个时空的。

例 4.6 二维球面 $S^2$ 。
我们可以利用球坐标 $(\theta, \phi)$ 来描述这个球面，其中 $\theta \in[0, \pi], \phi \in[0,2 \pi)$ ．然而在南极和北极，坐标 $\phi$ 却不能确定，或者说是退化的．事实上，对于二维球面而言，不存在

整体定义的非退化坐标系来覆盖整个球面，这与二维欧氏空间是完全不同的．这是由于二维球面与二维欧氏空间在拓扑上是不同的。对于二维球面，我们至少需要两个坐标片互相重叠来覆盖其上的所有点。

如我们所见，即使对于平直的空间，也可以任意对坐标进行选择．局部地，流形可以同胚为 $R^n$ ，所以在流形上点 $p$ 的邻域我们可以选择一个坐标，或者一个到 $R^n$ 的映射 $\phi(p)$ ．对于一个相邻的点 $q$ ，我们可以类似地选择一个坐标 $\psi(q)$ ．这两个坐标系并非严格地定义在点上，而是在它们的邻域，因此这两个区域有重叠．在重叠区域，看起来我们有两组不同的坐标系来描述它．显然，这两种描述应该是相容的．我们可以考虑从一个坐标系到另一个坐标系的变换 $x^\mu \rightarrow x^{\prime \mu}=x^{\prime \mu}\left(x^1, \cdots, x^N\right)$ 。由坐标变换我们可以定义雅可比行列式（Jacobian）$J=\left|\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}\right|$ ．如果 $J \neq 0$ ，则坐标变换存在逆变换．我们稍后讨论两个坐标系相容的含义．在此之前，我们先介绍映射的基本知识．

给定两个集合 $A$ 和 $B$ ，一个映射 $\varphi: A \rightarrow B$ 是指定某种关系使 $A$ 中的每一个元素与 $B$ 中的一个元素相联系．也就是说，存在着 $A$ 中多个元素映射到 $B$ 中一个元素的可能，也有可能 $B$ 中的元素并没有 $A$ 中的元素与之对应。给定两个映射 $\varphi: A \rightarrow B$和 $\psi: B \rightarrow C$ ，我们可以通过运算 $(\psi \circ \varphi)(a)=\psi(\varphi(a))$ 定义复合映射 $\psi \circ \varphi: A \rightarrow C$ ，其中 $a \in A, \varphi(a) \in B$ ，所以 $(\psi \circ \varphi)(a) \in C$ ，如图 4.2 所示．

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 例 4.7 假定我们有映射 $f: R^m \rightarrow R^n$ 和 $g: R^n \rightarrow R^l$ ，则我们有复合映射 $(g \circ f): R^m \rightarrow R^l$.

欧氏空间之间的映射和复合映射是很有用的，它可以让我们使用多变量微积分的知识，其中之一就是链式法则．这个法则把复合映射的偏导数与单独映射的偏导数联系起来：

$$
\frac{\partial}{\partial x^a}(g \circ f)^c=\sum_b \frac{\partial f^b}{\partial x^a} \frac{\partial g^c}{\partial y^b},
$$

通常可以简记为

$$
\frac{\partial}{\partial x^a}=\sum_b \frac{\partial y^b}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial y^b}
$$
由于流形局部可以看作平直欧氏空间，我们可以利用映射和复合映射对流形进行研究．首先，我们对流形的局部与欧氏空间同胚这一事实进行准确的描述．为此，我们需要引进坐标系或者坐标卡的概念．一个坐标卡包括 $n$ 维流形 $M$ 的一个开集 $U$ 以及一个 1－1 映射 $\varphi: U \rightarrow R^n$ ，使 $\varphi(U)$ 在 $R^n$ 中也为开集，如图 4.3 所示．

![图片](/uploads/2025-11/6a1921.jpg)
 
 光滑流形的定义 $M$ 是一个 $N$ 维光滑（ $C^{\infty}$ 可微）流形，如果
（1）$M$ 是一个拓扑流形，
（2）$M$ 上有一族坐标卡 $\left\{\left(U_i, \varphi_i\right)\right\}$ ，其中 $\cup_i U_i=M$ 且每一个 $U_i$ 是开集，$\varphi_i$ 是 $U_i$到 $R^n$ 中开集 $U_i^{\prime}$ 的同胚映射，
（3）如果 $U_i \cap U_j \neq \phi$ ，则从欧氏空间的开集 $U_j^{\prime}$ 到 $U_i^{\prime}$ 的映射 $\psi_{i j}=\varphi_i \cdot \varphi_j^{-1}$ 及其逆是光滑的（无穷可微）。

上面的定义如图 4.4 所示．这里为避免引人过多概念，牺牲了一些严格性．简单评述一下这个定义．条件（1）意味着流形 $M$ 具有某种拓扑，而非过于松散的集合．条件 （2）实际上是说流形的每一个局部都可以看作欧氏空间．条件（3）意味着如果某个区域可以由不同的坐标卡描述，这些坐标卡间应该是相容的，也就是说邻域间可以光滑地粘接起来得到整个流形。局部地，$M \sim R^n$ ，但整体一般却不能做到。比如说二维球面与二维欧氏空间是不同的：$S^2 \nsim R^2$ 。

上面的定义中，$\left\{\left(U_i, \varphi_i\right)\right\}$ 也称为图册 ${ }^{(3)}$（Atlas），$U_i$ 称为坐标邻域，$\varphi_i$ 称为坐标函数．转换函数 $\psi_{i j}$ 可以是 $k$ 次可微的，这样定义的流形称为 $C^k$ 流形．上面的定义中我们要求映射和转换函数都是实的，如果它们定义在复数域上，即可以定义复流形．在本书中，我们只讨论光滑的实流形．
例 $4.8 S^1$ 的坐标卡．
显然我们可以通过坐标 $\theta \in[0,2 \pi)$ 来描述 $S^1$ ，但是这个集合并非开的，因此，我们需要至少两个坐标卡，如图 4.5 所示．

例 $4.9 S^2$ 的坐标卡．

![图片](/uploads/2025-11/cb906d.jpg)

![图片](/uploads/2025-11/1c986f.jpg)
 
 二维单位球面可以在三维欧氏空间中定义为

$$
\left(x^1\right)^2+\left(x^2\right)^2+\left(x^3\right)^2=1
$$

第一个坐标卡 $\left(U_1, \varphi_1\right)$ 可以定义为 $U_1$ 覆盖除去北极点以外的球面，而 $\varphi_1$ 为球极投影 （stereographic projection），如图 4.6 所示：从北极做投影，把球面上的点投影到 $x^3=-1$的二维平面上，

$$
\varphi_1\left(x^1, x^2, x^3\right) \equiv\left(y^1, y^2\right)=\left(\frac{2 x^1}{1-x^3}, \frac{2 x^2}{1-x^3}\right)
$$

易见，在此投影映射下北极点被映射到无穷远，其值无法定义，也就是说北极点必须被排除在上面的映射之外．

另一个坐标卡 $\left(U_2, \varphi_2\right)$ 定义为 $U_2$ 覆盖除去南极点以外的球面，而 $\varphi_2$ 为从南极点到 $x^3=1$ 平面的球极投影

$$
\varphi_2\left(x^1, x^2, x^3\right) \equiv\left(z^1, z^2\right)=\left(\frac{2 x^1}{1+x^3}, \frac{2 x^2}{1+x^3}\right)
$$

![图片](/uploads/2025-11/f270e2.jpg)
 
 在重叠区域，转换函数 $\varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}$ 为

$$
z^i=\frac{4 y^i}{\left[\left(y^1\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]}
$$

是光滑函数。
流形之间可以定义映射。考虑两个流形 $M$ 和 $N$ ，分别具有维数 $m$ 和 $n$ ，以及坐标卡 $\varphi$ 和 $\psi$ 。假设我们有一个函数 $f: M \rightarrow N$ ，则坐标卡允许我们构造映射 $\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)$ ，如图 4.7 所示．这是一个在两个欧氏空间之间的映射：$R^m \rightarrow R^n$ ，因此函数 $f$ 相对于 $R^m$ 中的坐标 $x^\mu$ 是可微的，

$$
\frac{\partial f}{\partial x^\mu} \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x^\mu\right) .
$$

![图片](/uploads/2025-11/c56e54.jpg)
 
 上面的讨论显示了可以通过坐标卡来定义两个流形间的映射．最终问题转化成两个欧氏空间之间的映射。如果一个映射及其逆都是光滑的，则两个流形称为微分同胚的（diffeomorphic）．特别地，一个流形上可以有无穷多种图册，我们可以考虑具有不同图册的同一个流形间的映射，从而讨论两个图册的相容性．如果两个图册是相容的，则它们的并集也是一个图册．这样，我们可以定义一个等价关系，相容的图册可以归结为
 
 一个等价类，而不相容的图册属于不同的等价类。这个等价关系定义了流形的微分结构，一个等价类对应于一个微分结构。如果一个空间可以连续形变为另一个空间，则这两个空间同胚。同一个流形当然与其自身同胚，但并不一定微分同胚，因为流形可以有不同的微分结构。

例 4.10 流形的微分结构。
（1）$S^7$ 具有 28 个微分结构 ${ }^{(4)}$ 。
（2）$S^n$ 在 $n<7$ 时只有一个微分结构，$n>7$ 以后微分结构数增长得很快．
（3）$R^4$ 有无穷多个微分结构 ${ }^{(5)}$ ．

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