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能动张量

7．6．3 能动张量
我们下面举例说明上面定义的能动张量是正确的，从而支持了我们在爱因斯坦－希尔伯特作用量中选择的系数 $1 /(16 \pi G)$ ．
（1）标量场论．
我们先考虑标量场论，作用量为

$$
S_{\text {scalar }}=\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi-V(\phi)\right) .
$$

由上面的定义知

$$
\begin{aligned}
T_{\mu \nu} \equiv & -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \mathcal{L}_{\text {scalar }}}{\delta g^{\mu \nu}}, \\
= & -\frac{2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}\left(-\frac{1}{2} g^{\sigma \rho} \nabla_\sigma \phi \nabla_\rho \phi-V(\phi)\right)\right. \\
& \left.+\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}\right) \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi\right) \\
= & -\frac{1}{2} g_{\mu \nu}(\nabla \phi)^2-g_{\mu \nu} V(\phi)+\nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi .
\end{aligned}
$$

对于平直时空，上述张量的（00）分量为

$$
\begin{aligned}
T_{00} & =\dot{\phi}^2+\frac{1}{2}\left(-\dot{\phi}^2+\left(\partial_i \phi\right)^2\right)+V(\phi) \\
& =\frac{1}{2}\left(\dot{\phi}^2+\left(\partial_i \phi\right)^2\right)+V(\phi),
\end{aligned}
$$
正好是哈密顿量密度．
（2）电磁场论．
对于电磁场，作用量为

$$
S_{\mathrm{EM}}=\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}\left(-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}\right)
$$

而其能动张量为

$$
\begin{aligned}
T_{\mu \nu} & =-\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta}{\delta g^{\mu \nu}}\left(-\frac{1}{4} \sqrt{-g} F_{\gamma \delta} F^{\gamma \delta}\right), \\
& =-\frac{2}{\sqrt{-g}}\left\{\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}\left(-\frac{1}{4} F^2\right)+\sqrt{-g} \frac{\delta}{\delta g^{\mu \nu}}\left(-\frac{1}{4} F_{\alpha \beta} F_{\gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta}\right)\right\} \\
& =-\frac{1}{4} g_{\mu \nu} F^2-2\left(-\frac{1}{4}\right)\left[F_{\alpha \beta} F_{\gamma \delta}\left(\delta_\mu^\alpha \delta_\nu^\gamma g^{\beta \delta}+\delta_\mu^\beta \delta_\nu^\delta g^{\alpha \gamma}\right)\right] \\
& =-\frac{1}{4} g_{\mu \nu} F^2+\frac{1}{2}\left(F_\mu{ }^\delta F_{\nu \delta}+F_{\alpha \mu} F_\nu^\alpha\right) \\
& =-\frac{1}{4} g_{\mu \nu} F^2-F_\mu{ }^\alpha F_{\alpha \nu} .
\end{aligned}
$$

同样其（00）分量给出哈密顿量密度 $\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{E}^2+\boldsymbol{B}^2\right)$ ．上述能动张量的迹为

$$
T_\mu^\mu=F^{\mu \alpha} F_{\mu \alpha}-\frac{D}{4} F^2=\left(1-\frac{D}{4}\right) F^2,
$$

在 $D=4$ 时为零．这说明四维电磁理论经典上是标度不变的．
从上面的例子可以看出，从作用量变分得到的能动张量可以回到通常的结果，而且它由定义自动就是对称的，稍后我们可以证明它满足能动量守恒．在量子场论中，在定义能动张量时是有一些任意性的。由诺特（Noether）流得到的正则能动张量并非对称的，我们可以引进别的项来使能动张量对称化，而在所加项的选择上有任意性．上面介绍的通过与引力的最小耦合来定义能动张量避免了这些任意性．实际上这提供了一种定义量子场论能动张量的自然方法：从一个与引力最小耦合的场论出发，按照前面的公式定义能动张量，最后再令 $g_{\mu \nu} \rightarrow \eta_{\mu \nu}$ ．
（3）真空能。
前面讨论中已经看到，除了爱因斯坦－希尔伯特作用量外，我们可以引进所谓的宇宙学常数项

$$
S_{\Lambda}=\frac{1}{16 \pi G} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}(-2 \Lambda) .
$$

我们可以把这个作用量看作物质场作用量来处理，这样得到的能动张量为

$$
T_{\mu \nu}=-\frac{\Lambda}{8 \pi G} g_{\mu \nu} .
$$

对于弯曲空间的理想流体，能动张量的形式如下：

$$
T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu}
$$

因此宇宙学常数项对应的物质组分具有物态方程

$$
p=-\rho,
$$

具有负压强．这种流体常称为真空能．此时的爱因斯坦方程为

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu},
$$

方程右边的能动张量来自其他物质的贡献。
宇宙学常数项的来源是一个重要的问题．在非引力的物理中，真空势是可以随意移动的，因为重要的是势之间的相对值．然而，在引力中势能的确切值是重要的．真空能是来自真空的量子零点能．例如，对于一维谐振子，零点能为 $E_0=\frac{1}{2} \hbar \omega$ ．在量子场论中，我们是在讨论无穷多个谐振子，零点能为

$$
E_0=\sum_\omega \frac{1}{2} \hbar \omega,
$$

其中 $\omega=\sqrt{m^2+k^2}$ ．这样的求和是发散的，我们需要一个紫外截断 $k_{\max }$ ，由此得到
 $$
\rho_{\mathrm{vac}} \sim \hbar k_{\max }^4 .
$$

一个自然的紫外截断是普朗克能标 $k_{\max } \sim m_{\mathrm{P}} \sim 10^{18} \mathrm{GeV}$ ，这样我们发现

$$
\rho_{\mathrm{vac}} \sim 10^{112} \mathrm{erg} / \mathrm{cm}^3 .
$$

如果暗能量来源于真空能，观测到的真空能密度为

$$
\left|\rho_{\Lambda}^{\mathrm{obs}}\right| \leqslant 10^{-8} \mathrm{erg} / \mathrm{cm}^3
$$

理论与实验间存在 120 个数量级的巨大差别！即使我们选择的能标为 TeV 量级，仍然有近 60 个数量级的差别．实际上，在暗能量被观测实验发现之前，宇宙学常数问题就已经被意识到了，参见文献［37］．它是当今物理学最具有挑战性的问题之一。

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