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爱因斯坦一希尔伯特作用量

7．6．1 爱因斯坦一希尔伯特作用量
对于引力场，我们应该如何构造其作用量呢？首先，我们应该要求其在坐标变换下不变。由于通常的积分 $\int \mathrm{d}^D x$ 只是一个标量密度，我们需要引进度规的行列式定义一个好的积分元，即

$$
S=\int \mathrm{d}^D x \mathcal{L} \quad \rightarrow \quad \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g} \mathcal{L}_{\mathrm{H}}
$$

此时的积分元是很好定义的标量，因此 $\mathcal{L}_{\mathrm{H}}$ 必须是个标量．那么 $\mathcal{L}_{\mathrm{H}}$ 应该如何构成呢？它应该是由张量场、张量场的导数以及它们的收缩得到。基本的元素包括 $\nabla_\mu, g_{\mu \nu}, R_{\alpha \beta \gamma \delta}$等．由于
（1）$g^{\mu \nu} g_{\mu \nu}=D$ ，所以作用量中可以包含宇宙学常数项 $S_{\Lambda}=$（常数） $\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} \Lambda$ ．
（2）$\nabla^\mu g_{\mu \nu}=0$ ，所以我们不能直接利用度规场的协变导数来构造．
在通常的场论中，无论是标量场或者规范场，作用量一般都只包含场的二阶导数，这样得到的运动方程才有动力学和较好定义的初值问题．因此，我们希望在引力的作用量中只包含度规场的二阶导数（可以差一个分部积分）．唯一的选择是里奇标量： $R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta}=R$ ，它是可以通过协变导数 $\nabla_\mu$ 、度规场 $g_{\mu \nu}$ 以及黎曼张量 $R_{\alpha \beta \gamma \delta}$ 得到的最低阶导数项．这样，我们就得到了著名的爱因斯坦－希尔伯特作用量 ${ }^{(5)}$

$$
S_{\mathrm{EH}}=(\text { 常数 }) \int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} R .
$$
原则上，我们可以由黎曼张量、里奇张量、里奇标量以及它们的协变导数项来构造其他的标量，如

$$
R^n, \quad f(R), \quad R^{\mu \nu} R_{\mu \nu}=R_2, \quad R^{\alpha \beta \gamma \delta} R_{\alpha \beta \gamma \delta}=R_4, \quad \cdots .
$$

这些标量都包含度规场的高阶导数，因此，基于这些高阶导数项的引力理论常称为高阶导数引力．

在爱因斯坦－希尔伯特作用量中积分前的常数可以通过量纲分析来得到．首先，度规场 $g_{\mu \nu}$ 是无量纲的，即 $\left[g_{\mu \nu}\right]=0$（这里的［ ］表示量纲）。因此，$[\sqrt{-g}]=0$ ，而由于偏导数的存在，$[\Gamma] \sim 1 /$ 长度 $=1 / L$ ．所以最后 $[R]=1 / L^2$ ．另一方面，作用量和积分的量纲分别为 $[S]=[\hbar],\left[\mathrm{d}^D x\right]=L^D$ ，所以待定常数的量纲为

$$
\text { [常数] }=L^{2-D}[\hbar]=L^{2-D} M L T^{-1} L=L^{4-D} M T^{-1} \text {, }
$$

其中我们已经用到了关系 $E=\hbar \omega$ ．在牛顿引力中，在 $D$ 维中的引力势为

$$
V \propto-\frac{G M}{r^{D-3}},
$$

这可以从泊松方程和高斯定律得到．因此，加速度 $a=-\nabla V \propto \frac{G M}{r^{D-

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