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爱因斯坦一希尔伯特作用量

7．6．1 爱因斯坦一希尔伯特作用量
对于引力场，我们应该如何构造其作用量呢？首先，我们应该要求其在坐标变换下不变。由于通常的积分 $\int \mathrm{d}^D x$ 只是一个标量密度，我们需要引进度规的行列式定义一个好的积分元，即

$$
S=\int \mathrm{d}^D x \mathcal{L} \quad \rightarrow \quad \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g} \mathcal{L}_{\mathrm{H}}
$$

此时的积分元是很好定义的标量，因此 $\mathcal{L}_{\mathrm{H}}$ 必须是个标量．那么 $\mathcal{L}_{\mathrm{H}}$ 应该如何构成呢？它应该是由张量场、张量场的导数以及它们的收缩得到。基本的元素包括 $\nabla_\mu, g_{\mu \nu}, R_{\alpha \beta \gamma \delta}$等．由于
（1）$g^{\mu \nu} g_{\mu \nu}=D$ ，所以作用量中可以包含宇宙学常数项 $S_{\Lambda}=$（常数） $\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} \Lambda$ ．
（2）$\nabla^\mu g_{\mu \nu}=0$ ，所以我们不能直接利用度规场的协变导数来构造．
在通常的场论中，无论是标量场或者规范场，作用量一般都只包含场的二阶导数，这样得到的运动方程才有动力学和较好定义的初值问题．因此，我们希望在引力的作用量中只包含度规场的二阶导数（可以差一个分部积分）．唯一的选择是里奇标量： $R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta}=R$ ，它是可以通过协变导数 $\nabla_\mu$ 、度规场 $g_{\mu \nu}$ 以及黎曼张量 $R_{\alpha \beta \gamma \delta}$ 得到的最低阶导数项．这样，我们就得到了著名的爱因斯坦－希尔伯特作用量 ${ }^{(5)}$

$$
S_{\mathrm{EH}}=(\text { 常数 }) \int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} R .
$$
原则上，我们可以由黎曼张量、里奇张量、里奇标量以及它们的协变导数项来构造其他的标量，如

$$
R^n, \quad f(R), \quad R^{\mu \nu} R_{\mu \nu}=R_2, \quad R^{\alpha \beta \gamma \delta} R_{\alpha \beta \gamma \delta}=R_4, \quad \cdots .
$$

这些标量都包含度规场的高阶导数，因此，基于这些高阶导数项的引力理论常称为高阶导数引力．

在爱因斯坦－希尔伯特作用量中积分前的常数可以通过量纲分析来得到．首先，度规场 $g_{\mu \nu}$ 是无量纲的，即 $\left[g_{\mu \nu}\right]=0$（这里的［ ］表示量纲）。因此，$[\sqrt{-g}]=0$ ，而由于偏导数的存在，$[\Gamma] \sim 1 /$ 长度 $=1 / L$ ．所以最后 $[R]=1 / L^2$ ．另一方面，作用量和积分的量纲分别为 $[S]=[\hbar],\left[\mathrm{d}^D x\right]=L^D$ ，所以待定常数的量纲为

$$
\text { [常数] }=L^{2-D}[\hbar]=L^{2-D} M L T^{-1} L=L^{4-D} M T^{-1} \text {, }
$$

其中我们已经用到了关系 $E=\hbar \omega$ ．在牛顿引力中，在 $D$ 维中的引力势为

$$
V \propto-\frac{G M}{r^{D-3}},
$$

这可以从泊松方程和高斯定律得到．因此，加速度 $a=-\nabla V \propto \frac{G M}{r^{D-2}}$ ，由此得到

$$
[G]=L^{D-1} T^{-2} M^{-1} .
$$

这与前面的常数量纲有差别．如果我们试试 $\left[G^{-1} c^n\right]=L^{1+n-D} M T^{2-n}$ ，当 $n=3$ 时，会发现

$$
[\text { 常数 }]=\left[G^{-1} c^3\right] \text {. }
$$

注意这个关系在任意维中都成立．在粒子物理中，我们常取自然单位 $c=1, \hbar=1$ ，

$$
[G] \sim L^{D-2},
$$

所以

$$
\text { 常数 } \propto G^{-1} \text {. }
$$

进一步地，如果考虑到与物质场的耦合，我们可以通过变分得到爱因斯坦方程和物质的能动张量．这些能动张量应该与通常场论中定义的一致，由此我们可以完全确定 （7．115）式前面的系数．最后我们得到

$$
S_{\mathrm{g}}=S_{\mathrm{EH}}+S_{\Lambda}=\frac{1}{16 \pi G} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}(R-2 \Lambda) .
$$
7．6．2 爱因斯坦方程
我们还需要考虑物质与引力的耦合．考虑到物质场的作用量，总的作用量应该是

$$
S=S_{\mathrm{g}}+S_{\mathrm{m}} .
$$

由作用量原理，我们可以得到爱因斯坦方程．我们先考虑引力部分的作用量，特别是爱因斯坦－希尔伯特作用量．通常，我们应该对度规场做变分，即 $\frac{\delta S}{\delta g_{\mu \nu}}$ ．但等价地我们可以考虑更简单的变分 $\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$ ．由作用量 $S=\frac{1}{16 \pi G} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g} R$ 或者简单地由 $S_0=\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} R$ ，我们有

$$
\delta S_0=\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}(\delta R)+R \delta(\sqrt{-g})
$$

让我们逐项进行分析．（7．125）式右边第二项中

$$
\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}=\frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} .
$$

第一步前面已讨论过，来自等式

$$
\frac{\delta \operatorname{det} M}{\operatorname{det} M}=\operatorname{Tr}\left(M^{-1} \delta M\right),
$$

并取 $M=g_{\mu \nu}$ ．而第二步来自

$$
0=\delta\left(g^{\mu \nu} g_{\nu \lambda}\right)=\left(\delta g^{\mu \nu}\right) g_{\nu \lambda}+g^{\mu \nu} \delta g_{\nu \lambda},
$$

因此

$$
\left(\delta g^{\mu \nu}\right) g_{\nu \lambda}=-g^{\mu \nu} \delta g_{\nu \lambda} .
$$

取 $\mu=\lambda$ 可得第二步的等式．实际上，我们只需要第一步．而对于（7．125）式右边第一项，

$$
\delta R=\delta\left(g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}\right)=\delta g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}+g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} .
$$

那么 $\delta R_{\mu \nu}$ 是什么呢？我们利用所谓的帕拉蒂尼（Palatini）方案（也称为一阶方案）：

$$
\frac{\delta R_{\mu \nu}}{\delta g^{\sigma \rho}}=\frac{\delta R_{\mu \nu}}{\delta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha} \frac{\delta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha}{\delta g^{\sigma \rho}}
$$

如果我们只考虑度规相容和无挠联络，这种分步变分没有问题．唯一的困难也许来自 $\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha$ 并非张量．然而我们知道两个克里斯托弗符号的差是一个张量，也就是说 $\delta \Gamma$ 是一个张量，因此没有问题．注意到

$$
\nabla_\lambda\left(\delta \Gamma_{\nu \mu}^\rho\right)=\partial_\lambda\left(\delta \Gamma_{\nu \mu}^\rho\right)+\Gamma_{\lambda \sigma}^\rho \delta \Gamma_{\nu \mu}^\sigma-\Gamma_{\lambda \nu}^\sigma \delta \Gamma_{\sigma \mu}^\rho-\Gamma_{\lambda \mu}^\sigma \delta \Gamma_{\nu \sigma}^\rho .
$$

经过一些计算，我们发现

$$
\delta R_{\mu \lambda \nu}^\rho=\nabla_\lambda\left(\delta \Gamma_{\nu \mu}^\rho\right)-\nabla_\nu\left(\delta \Gamma_{\lambda \mu}^\rho\right),
$$

因此

$$
\begin{aligned}
g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} & =g^{\mu \nu}\left(\nabla_\lambda\left(\delta \Gamma_{\nu \mu}^\lambda\right)-\nabla_\nu\left(\delta \Gamma_{\lambda \mu}^\lambda\right)\right) \\
& =\nabla_\nu\left(g^{\mu \lambda} \delta \Gamma_{\lambda \mu}^\nu-g^{\mu \nu} \delta \Gamma_{\lambda \mu}^\lambda\right)
\end{aligned}
$$

这是一个全导数，分部积分后为零．
把两部分贡献都考虑后，我们得到

$$
\begin{aligned}
\delta S_0 & =\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R \delta g^{\mu \nu}\right) \\
& =\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R\right) \delta g^{\mu \nu}
\end{aligned}
$$

另一方面，物质作用量可以定义为

$$
S_{\mathrm{m}}=\int \mathrm{d}^D x \mathcal{L}_{\mathrm{m}}
$$

注意这里的积分单元并没有包含 $\sqrt{-g}$ 因子．从这个作用量出发我们可以定义物质的能动张量

$$
T_{\mu \nu} \equiv-\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \mathcal{L}_{\mathrm{m}}}{\delta g^{\mu \nu}}
$$

所以，从完整的引力和物质作用量对 $g^{\mu \nu}$ 变分后得到

$$
\begin{aligned}
\delta\left(S_{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{m}}\right) & =\frac{1}{16 \pi G} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R\right) \delta g^{\mu \nu}-\frac{1}{2} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g} T_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu} \\
& =\frac{1}{16 \pi G} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R-8 \pi G T_{\mu \nu}\right) \delta g^{\mu \nu}
\end{aligned}
$$

由此我们得到爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}
$$

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