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能动量守恒与运动方程

7．6．4 能动量守恒与运动方程
对于点粒子，其作用量为

$$
S_{\text {particle }}=-m \int \mathrm{~d} \lambda \sqrt{-g_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu}
$$

上面的积分只是一个线积分，无法定义点粒子的拉氏量．为了得到点粒子的能动张量，我们需要对上面的积分做处理．我们在其中插人 $1=\int \mathrm{d}^D y \delta^D(y-x(\lambda))$ ，这样得到作用量

$$
S=-m \int \mathrm{~d}^D y \int \mathrm{~d} \tau \sqrt{-g_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} \delta^D(y-x(\tau)),
$$

而相应的能动张量为

$$
\begin{aligned}
T_{\mu \nu}(y) & =-\frac{2 m}{\sqrt{-g}}\left(-\int \mathrm{d} \tau \frac{1}{2 \sqrt{-\dot{x}^2}}\left(-\dot{x}_\mu \dot{x}_\nu\right)\right) \delta^D(y-x(\tau)) \\
& =-m \int \mathrm{~d} \tau \frac{\delta^D(y-x(\tau))}{\sqrt{-g(y)}} \frac{\dot{x}_\mu \dot{x}_\nu}{\sqrt{-\dot{x}^2}} .
\end{aligned}
$$

如果我们考虑能动量守恒方程

$$
\nabla_\mu T^{\mu \nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} T^{\mu \nu}\right)+\Gamma_{\sigma \mu}^\nu T^{\mu \sigma},
$$

对于点粒子，我们发现

$$
\int \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \frac{\partial}{\partial y^\mu} \delta^4(y-x(\tau)) \mathrm{d} \tau+\Gamma_{\sigma \mu}^\nu \int \dot{x}^\mu \dot{x}^\sigma \delta^4(y-x(\tau)) \mathrm{d} \tau=0 .
$$

由于 $\delta^4(y-x(\tau))$ 只依赖 $y^\mu-x^\mu$ ，我们可以把 $\frac{\partial}{\partial y^\mu}$ 换作 $-\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ ，且由 $\dot{x}^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \delta^4(y-x(\tau)) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \delta^4(y-x(\tau))$ ，做分部积分得到

$$
\int\left(\ddot{x}^\nu+\Gamma_{\sigma \mu}^\nu \dot{x}^\mu \dot{x}^\sigma\right) \delta^4(y-x(\tau)) \mathrm{d} \tau=0
$$

给出了测地线方程．也就是说，我们从能动量守恒方程导出了点粒子的测地线方程．如果我们写下完整的爱因斯坦方程，点粒子的能动张量将出现在方程的右边。在点粒子所在位置，由于 $\delta$ 函数的存在，场方程是奇异的．而在点粒子以外的空间中场方程的解确定了点粒子的运动，它满足的方程与＂试探＂粒子的运动一样。此外，这里并没有简单地通过对点粒子的作用量变分来得到测地线方程，这实际上暗示着测地线方程或者更一般的物质的运动方程与能动量守恒方程等价。

爱因斯坦方程确定了点粒子的运动是很有趣的．在电磁学中，一个带电粒子的运动方程需要额外的假定，而爱因斯坦理论中却不必如此。这来自方程的非线性．物理上，引力场本身就携带有能动量，因此可以作为自身的源。

上面对点粒子的讨论可以推广到连续介质情形。考虑一个尘埃的分布：$T^{\mu \nu}= \rho u^\mu u^\nu$ ，则能动量守恒要求

$$
\nabla_\mu\left(\rho u^\mu u^\nu\right)=\nabla_\mu\left(\rho u^\mu\right) u^\nu+\rho u^\mu \nabla_\mu u^\nu=0 .
$$

考虑这个关系式与 $u_\nu$ 的收缩，我们发现

$$
-\nabla_\mu\left(\rho u^\mu\right)+\rho u^\mu u_\nu \nabla_\mu u^\nu=0 .
$$

由4－速度的归一化条件得 $u_\nu \nabla_\mu u^\nu=0$ ，我们得到 $\nabla_\mu\left(\rho u^\mu\right)=0$ ，此即广义相对论性的能量守恒方程。把这个方程代回，我们可以得到 $u^\mu \nabla_\mu u^\nu=0$ ，即尘埃的测地线方程。

更一般地，我们可以证明能动量守恒关系 $\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0$ 意味着，任何足够小的物体，如果其自引力足够弱，则必然沿测地线运动。因此，爱因斯坦方程实际上暗示着＂测地线假设＂：试探物体的世界线是时空的测地线．我们在引进测地线时是要求试探物体的作用量极小而通过变分得到，这表明爱因斯坦方程、测地线方程和能动量守恒方程在作用量原理中是自洽的．注意，如果物体足够大，其运动将偏离测地运动．但无论如何，它的运动可以从作用量变分或者等价地从能动张量守恒得到。

能动张量守恒实际上是微分同胚不变性的结果。我们要求广义相对论是微分同胚不变的，理论与任何＂优先几何背景＂无关，或者称为背景无关。因此，时空中没有任何坐标系是有优先权的，都是描述时空流形的手段。微分同胚要求在坐标变换下作用量不变。在无穷小坐标变换 $x^\mu \rightarrow x^\mu=x^\mu+\zeta^\mu(x)$ 下，理论具有协变性，而各种场量按照张量场变换．对于度规场，其变化为 $\delta g_{\mu \nu}=2 \nabla{ }_{(\mu} \zeta_{\nu)}$ ，而在这个变换下 $\delta S_{\mathrm{m}}=0$ ．这导致

$$
0=\int \mathrm{d}^D x \frac{\delta \mathcal{L}_{\mathrm{m}}}{\delta g_{\mu \nu}} \nabla_\mu \zeta_\nu=-\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g} \zeta_\nu \nabla_\mu\left(\frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \mathcal{L}_{\mathrm{m}}}{\delta g_{\mu \nu}}\right)
$$

其中我们用到了斯托克斯定理．由于 $\zeta_\nu$ 是任意的，所以我们有 $\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0$ ．
上面的讨论实际上有一个漏洞：坐标变换将导致物质场的某种变化 $\delta \phi$ ，因此，物质作用量的变化中需要包含一项 $\left(\frac{\delta S_{\mathrm{m}}}{\delta \phi}\right)_{\mathrm{g}} \delta \phi$ ．如果物质的运动方程得到满足，这一项为零，这样我们才能得到能动量守恒方程．所以，我们从作用量原理得到两个关系：
（1）爱因斯坦方程 $+\left(\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0\right) \Rightarrow$ 物质场运动方程；
（2）爱因斯坦方程＋物质场运动方程 $\Rightarrow \nabla_\mu T^{\mu \nu}=0$ 。
如果我们对引力做路径积分，需要考虑所有的引力位形，再去掉微分同胚导致的引力位形的简并性．也就是说，我们只须考虑微分同胚等价类中的引力位形，这与规范场论的路径积分只须考虑规范场的规范等价类是一样的，都是来自场位形由于对称性导致的简并性．然而对于时空位形的路径积分要复杂得多，这是因为微分同胚群要难处理得多．

让我们看看对于一般的理想流体，弯曲时空中的能动量守恒方程．理想流体的能动张量可以写作

$$
\widehat{T}=(\rho+p) \widehat{u} \otimes \widehat{u}+p \widehat{g}
$$

能动量守恒方程是 $\nabla \cdot \widehat{T}=0$ ，给出

$$
\begin{aligned}
0 & =(\nabla(\rho+p) \cdot \widehat{u}) \widehat{u}+((\rho+p) \nabla \cdot \widehat{u}) \widehat{u}+((\rho+p) \widehat{u}) \cdot \nabla \widehat{u}+(\nabla p) \cdot \widehat{g} \\
& =\left(\nabla_{\widehat{u}} \rho+\nabla_{\widehat{u}} p+(\rho+p) \nabla \cdot \widehat{u}\right) \widehat{u}+(\rho+p) \nabla_{\widehat{u}} \widehat{u}+\nabla p .
\end{aligned}
$$

同样我们可以把方程（7．163）投影到与 4 －速度平行的方向和与它正交的方向上．与 4－速度 $\widehat{u}$ 的内积给出

$$
0=\widehat{u} \cdot(\nabla \cdot \widehat{T})=-\nabla_{\widehat{u}} \rho-(\rho+p) \nabla \cdot \widehat{u}
$$

而与 4－速度垂直的方向上需要引进投影算子 $\widehat{P}=\widehat{g}+\widehat{u} \otimes \widehat{u}$ ，这将给出弯曲时空中的欧拉方程

$$
(\rho+p) \nabla_{\widehat{u}} \widehat{u}=-\widehat{P} \cdot(\nabla p)=-\left(\nabla p+\left(\nabla_{\widehat{u}} p\right) \widehat{u}\right) .
$$

写成分量的形式，我们得到

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{~d} \tau} & =-(\rho+p) \nabla_i u^i, \\
(\rho+p) \frac{\mathrm{d} u^i}{\mathrm{~d} \tau} & =-\nabla^i p-u^i u^j \nabla_j p .
\end{aligned}
$$

在合适的极限下，上面的方程可以约化到描述牛顿引力场中流体的运动方程．首先，能量密度可取为 $\rho=\rho_0(1+\epsilon)$ ，其中 $\rho_0=n m_{\mathrm{B}}$ 代表 $n$ 个重子集合的静止质量能量，而 $\epsilon$ 代表流体的特殊内能．在牛顿近似下，静止能量是主导的，$\epsilon \ll 1$ ．对于度规，我们取 $g_{00}=-(1+2 \Phi), \Phi \ll 1$ ，而非相对论极限要求 $\left(p / \rho_0\right) \ll 1$ 且 $v^2 \ll 1$ ．在这些极限下，有

$$
\rho_0\left(1+\epsilon+\frac{p}{\rho_0}\right)\left(u^\mu \partial_\mu u_i-\Gamma_{\mu i}^\nu u_\nu u^\mu\right)=-\partial_i p-u_i \frac{\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} \tau}
$$

而4－速度可以近似为 $u^\mu \approx\left(1, v^i\right)$ ，所以我们得到

$$
\rho_0\left(\frac{\mathrm{~d} v_i}{\mathrm{~d} \tau}+\Gamma_{0 i}^0\right) \approx-\partial_i p
$$

由于 $\Gamma_{0 i}^0 \approx-(1 / 2) \partial_i g_{00} \approx \partial_i \Phi$ ，我们得到在压强梯度和引力场下的流体方程

$$
\frac{\mathrm{d} v_i}{\mathrm{~d} \tau}=-\partial_i \Phi-\frac{1}{\rho_0} \partial_i p
$$

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