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广义相对论的修改理论

7.7 广义相对论的修改理论

前面我们已经讨论了爱因斯坦的等效原理既不是一个神圣不可修改的物理定律，也不是一个严格的表述，在实际应用中也存在一些任意性。现代的观点认为，广义相对论只是一个低能有效理论，其中等效原理在高能时需要修改。下面我们进一步讨论与爱因斯坦等效原理相关的几个有趣的问题。

首先是协变性原理．由协变性原理，电磁理论中的规律需要协变化：

$$
\partial_\mu F^{\nu \mu}=J^\nu \rightarrow \nabla_\mu F^{\nu \mu}=J^\nu
$$

然而，这并非唯一可能的协变化方案。如前所述，我们可以加上其他与 $F_{\mu \nu}$ 相关的项而不违背电磁学的要求，因此看起来协变性原理更像是逻辑上的选择而非一个约束性很强的物理原理．

其次，＂曲率 $=$ 引力＂来自爱因斯坦天才的洞察力．等效原理保证了引力是普适的，它在时空的微小区域中无法被探测。但是，并没有实验证据显示＂曲率 $=$ 引力＂一定是正确的．严格地说，广义相对论的检验在小尺度上只到毫米量级，而在大尺度上只到太阳系的尺度，因此，在紫外和红外，广义相对论都非常有可能被修改。在紫外的修改由于引力的不可重整性在量子引力的研究中已经被讨论得很多了，而在红外的修改由于二十多年来宇宙学观测得到的全新结果也吸引了很多注意．此外，随着近年来引力／规范对应的研究，人们开始重新思考引力的本性，有人提出了引力是呈展 （emergent）的，而非基本的思想。这些都让我们重新评价＂曲率 $=$ 引力＂这个口号。

考虑如下对测地运动方程的修改：

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=\alpha\left(\nabla_\sigma R\right) \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}
$$

从量纲分析知道

$$
\left[\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right]=\left[g_{\mu \nu}\right]=L^0, \quad\left[\nabla_\mu\right]=\left[\Gamma_{\rho \sigma}^\mu\right]=L^{-1}, \quad[R]=L^{-2},
$$

因此 $[\alpha]=L^2$ ．从实验上知道 $\alpha$ 非常小，与引力相关，所以自然的选择是 $\alpha \sim l_{\mathrm{P}}^2$ ．也就是说，如果将广义相对论看作一个低能有效理论，这一项的来源是量子力学效应．一个典型的引力系统，如地球的引力尺度为

$$
a_{\mathrm{g}}=980 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2, \quad l_{\mathrm{E}}=c^2 / a_{\mathrm{g}} \sim 10^{18} \mathrm{~cm},
$$

与普朗克长度比较，$\frac{l_{\mathrm{P}}}{l_{\mathrm{E}}} \sim 10^{-51}$ ，这要求 $\alpha \sim 10^{-102}$ ，是一个极端小的量．从以上的讨
论可以看出，对测地线的偏离如果存在，也是一个高能效应．
与爱因斯坦等效原理相关的另一个问题是：是否存在另一种长程力，它看起来与引力没有多少区别，但并非是几何的？这样一种力对于中性不带电试探粒子而言，将导致与爱因斯坦等效原理的偏离．一般称这种力为＂第五种力＂．这种力与其他物质的耦合也是普适的，无法与引力区分开．比如说一个由无质量标量场诱导的力或者无质量规范场的耦合

$$
\phi \operatorname{Tr} T_{\mu \nu}, \quad A_\mu J^\mu,
$$

其中 $J^\mu$ 是重子数流．

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