最后更新: 2025-12-06 16:07 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

广义相对论的替代理论

7．7．1 广义相对论的替代理论
如果我们放弃爱因斯坦的等效原理神圣不可侵犯这一原则，而认为爱因斯坦理论只是一个低能有效理论，那么我们可以对这个理论进行修改．历史上，很有名的一个修改理论是引进一个引力标量场．这样的理论可能具有作用量

$$
S=\int \mathrm{d}^4 x \sqrt{-g}\left(f(\lambda) R-\frac{1}{2} h(\lambda) \partial_\mu \lambda \partial^\mu \lambda-V(\lambda)\right)+S_{\mathrm{m}}
$$

其中 $\lambda$ 是一个标量场．上面的作用量形式非常一般，并没有要求该标量场是正则的，它与引力的耦合也可以是非最小耦合，而 $S_{\mathrm{m}}$ 是其他物质场的作用量。如果 $f(\lambda)=\frac{1}{16 \pi G}$ ，这是一个引力和标量场的理论。标量场也可以传递相互吸引力，如果其质量为零的话，传递的是长程作用力，如果质量非零，传递的是短程力．更一般地，如果 $f(\lambda) \neq \frac{1}{16 \pi G}$ ，则我们有一个时空依赖的牛顿引力耦合常数．上述作用量给出的运动方程为

$$
G_{\mu \nu}=f^{-1}(\lambda)\left(\frac{1}{2} T_{\mu \nu}^{\mathrm{m}}+\frac{1}{2} T_{\mu \nu}^{(\lambda)}+\nabla_\mu \nabla_\nu f-g_{\mu \nu} \square f\right),
$$

其中

$$
T_{\mu \nu}^{(\lambda)}=h(\lambda) \nabla_\mu \lambda \nabla_\nu \lambda-g_{\mu \nu}\left(\frac{1}{2} h(\lambda) g^{\rho \sigma} \nabla_\rho \lambda \nabla_\sigma \lambda+V(\lambda)\right)
$$

我们可以等效地把 $\lambda$ 场看作物质场来处理。注意上面的运动方程只是引力场部分。对于标量场，其运动方程为

$$
h \square \lambda+\frac{1}{2} h^{\prime} g^{\mu \nu} \nabla_\mu \lambda \nabla_\nu \lambda-V^{\prime}+f^{\prime} R=0
$$

其中的＂撇号＂代表对 $\lambda$ 的导数．如果 $h=1$ ，我们得到一个标准的正则标量场理论加上来自 $f^{\prime} R$ 的修正项．由于 $f(\lambda)$ 与引力耦合常数有关，它受到包括太阳系和宇宙学

（原初核合成）实验的强烈限制，不能变化得太快．而势能 $V(\lambda)$ 帮助我们确定场 $\lambda$ 的真空期望值．

这类理论中最有名的一个是布兰斯－迪克理论，其中

$$
f(\lambda)=\frac{\lambda}{16 \pi}, \quad h(\lambda)=\frac{\omega}{8 \pi \lambda}, \quad V(\lambda)=0 .
$$

当 $\omega \rightarrow \infty$ 时，标量场变成非动力学的，理论回到广义相对论．实验要求 $\omega>500$ ．
通过共形（外尔）变换，一个一般的标量－张量理论可以变成一个广义相对论加标量的理论：

$$
\widetilde{g}_{\mu \nu}=16 \pi G f(\lambda) g_{\mu \nu},
$$

变换以后的作用量是爱因斯坦－希尔伯特作用量加上标量场作用量，原作用量中的 $f(\lambda) R$ 不再出现。通常把变换以后的理论框架称为爱因斯坦框架，而原来的框架称为若尔当（Jordan）框架。

另一个常见的修改引力理论是额外维引力，其基本想法最早来源于卡卢察（Kaluza）和克莱因（Klein）．在这类理论中，我们考虑一个高维引力理论，度规场为 $G_{M N}, M, N= 0, \cdots, d+3$ ，高维的度规可以约化到四维：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2 & =G_{M N} \mathrm{~d} x^M \mathrm{~d} x^N \\
& =g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu+b^2(x) \gamma_{i j}(y) \mathrm{d} y^i \mathrm{~d} y^j
\end{aligned}
$$

其中 $b(x)$ 只是 $x$ 的函数，而 $\gamma_{i j}(y)$ 只依赖于额外维．这样的约化简化了讨论．高维的爱因斯坦－希尔伯特作用量加上物质场作用量可记为

$$
S=\int \mathrm{d}^{d+4} x \sqrt{-G} \frac{1}{16 \pi G_{d+4}}\left(R\left(G_{M N}\right)+\mathcal{L}_{\mathrm{m}}\right)
$$

由于 $\sqrt{-G}=b^d \sqrt{-g} \sqrt{\gamma}$ 和 $V_d=\int \mathrm{d}^d y \sqrt{g}$ ，我们得到

$$
\frac{1}{16 \pi G_4}=\frac{V_d}{16 \pi G_{d+4}},
$$

而作用量变为

$$
\begin{aligned}
S= & \int \mathrm{d}^4 x \sqrt{-g}\left\{\frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 4 } } \left(b^d R\left[g_{\mu \nu}\right]+d(d-1) b^{d-2} g^{\mu \nu} \nabla_\mu b \nabla_\nu b\right.\right. \\
& \left.\left.+d(d-1) K b^{d-2}\right)+V_d b^d \mathcal{L}_{\mathrm{m}}\right\}
\end{aligned}
$$

其中 $K=\frac{R\left[\gamma_{i j}\right]}{d(d-1)}$ ．这是一个标量－张量理论，$b$ 是一个伸缩子（dilaton）场．

从有效理论的观点看，广义相对论是量子引力的低能有效理论，原则上可以有更多的高阶导数项出现：

$$
S=\int \mathrm{d}^D x \sqrt{-g}\left(R+\alpha_1 R^2+\alpha_2 R_2+\alpha_3 g^{\mu \nu} \nabla_\mu R \nabla_n R+\cdots\right)
$$

包含高阶导数的引力理论常称为高阶导数引力。高阶导数项可以改善理论的紫外行为。比如说，已经证明了有 $R^2$ 项时，理论是单圈可重整的。然而，如果考虑更高圈的修正，理论不再是可重整的。一般性地，带高阶导数项修正的广义相对论并非紫外完备的，但确实存在有紫外固定点的理论，这类理论称为渐近安全的。高阶导数引力的一个问题是其中的初值问题无法很好定义，这是由于此时的运动方程不止是二阶导数的，还包含高阶导数。高阶导数引力的另一个问题是存在鬼场，理论的么正性存疑。这是因为如果运动方程存在高阶导数，时间导数也有高阶导数存在，这会导致鬼场出现。如果我们放松微分同胚不变性的要求，而认为时空并非各向同性标度不变的，则有可能构造不存在鬼场的高阶导数引力理论。这类理论中最著名的构造是霍拉瓦－利夫希兹（Horava－Lifshitz）理论。在这个理论中，各向同性被破坏，时间和空间遵从不同的标度律，空间部分可以有高阶导数项，而时间部分的导数只到二阶，因此理论不存在鬼场，但同时可能具有较好的紫外行为 ${ }^{(6)}$ 。

等效原理如果总是成立的，则会压制修正项的出现．在弦理论中由于存在伸缩子，破坏了爱因斯坦的等效原理，但对于高阶导数，是否破坏等效原理并不完全清楚．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：广义相对论的修改理论

下一篇：引力的红外修正

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)