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自由下落与逃逸速度

8．3．1 自由下落
前面的讨论主要是定性的分析以及对圆周轨道的讨论，下面我们集中讨论一下粒子的纯径向运动，即假设其角动量为零。一个有质量粒子从无穷远自由下落，

$$
E=1, \quad V_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{2}-\frac{G M}{r},
$$
其运动方程为

$$
\frac{1}{2} \dot{r}^2-\frac{G M}{r}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \tau}= \pm \sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}},
$$

其中微分是相对于固有时 $\tau$ 而言的，而正负号分别代表沿径向向外或者向内运动．我们考虑径向向内的运动，因此选择负号．进一步地，我们有

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)=1 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau}=\frac{1}{1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}} .
$$

所以，粒子的 4－速度为

$$
u^\mu=\left(\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1},-\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}}, 0,0\right) .
$$

由径向运动方程知

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{r} \mathrm{~d} r=-\sqrt{R_{\mathrm{s}}} \mathrm{~d} \tau \quad(\text { " }- \text { " : 向内运动 }) \\
\Rightarrow & \Delta \tau=\frac{2}{3 \sqrt{R_{\mathrm{s}}}}\left(r_0^{3 / 2}-r^{3 / 2}\right),
\end{aligned}
$$
其中 $\Delta \tau$ 是粒子从初始位置 $r_0$ 到达最终位置 $r$ 所花的固有时间．无论终点是在史瓦西半径 $r=R_{\mathrm{s}}$ 还是在奇点 $r=0$ 处，粒子所花的固有时都是有限的．

另一方面，对于无穷远静止观测者，他看到的时间即是坐标时．坐标时满足的微分方程是

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r}=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau} / \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \tau}=-\left(\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1 / 2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} .
$$

积分后得

$$
\begin{aligned}
\Delta t= & \frac{2}{3 \sqrt{R_{\mathrm{s}}}}\left(r_0^{3 / 2}-r^{3 / 2}\right)+2 \sqrt{R_{\mathrm{s}}}\left(r_0^{1 / 2}-r^{1 / 2}\right) \\
& +R_{\mathrm{s}} \ln \left|\left(\frac{\sqrt{r}+\sqrt{R_{\mathrm{s}}}}{\sqrt{r}-\sqrt{R_{\mathrm{s}}}}\right)\left(\frac{\sqrt{r_0}-\sqrt{R_{\mathrm{s}}}}{\sqrt{r_0}+\sqrt{R_{\mathrm{s}}}}\right)\right|
\end{aligned}
$$

它给出了粒子从初始位置 $r_0$ 到达最终位置 $r$ 所花的坐标时．当粒子接近史瓦西半径时，$\Delta t \rightarrow \infty$ ．也就是说，史瓦西观测者发现粒子需要无穷长时间才能到达史瓦西半径，或者粒子永远无法到达史瓦西半径。这个结论不止对于无穷远观测者而言是正确的，对于一个固定在某径向位置的观测者而言，也有类似的结论。

8．3．2 逃逸速度
下面我们在广义相对论的框架下重新讨论一个牛顿引力中的问题：粒子的逃逸速度，即粒子以多大的初速度向外运动才能逃脱星体的吸引到达无穷远．这里我们假设星体没有转动，所以最经济的手段就是沿径向发射粒子．如果我们希望粒子到达无穷远，粒子必须至少具有守恒能量密度 $E=1$ ，因此其 4－速度的径向分量为 $u^r=\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}}$ ，其他分量如 8．3．1 小节所述。注意这里粒子的初始速度指的是相对于星体表面的发射器而言．假定发射器是处于某个半径 $R$ 处，如星体的外表以稳态存在，因此其 4 －速度为

$$
u_{\mathrm{obs}}^\mu(R)=\left(\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{R}\right)^{-1 / 2}, 0,0,0\right) .
$$

所以，它观测到的粒子能量为 $-\widehat{P} \cdot \widehat{u}_{\mathrm{obs}}$ ，也就是说

$$
\mathcal{E}_{\mathrm{o}}=-m g_{t t} u^t u_{\mathrm{obs}}^t=m\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{R}\right)^{-1 / 2}
$$

在发射器的参考系中 $\mathcal{E}_{\mathrm{o}}=m / \sqrt{1-v^2}$ ，因此测量到的粒子速度为

$$
v_{\text {escape }}=\left(\frac{R_{\mathrm{s}}}{R}\right)^{1 / 2} .
$$

这与牛顿引力中得到的结果是一样的．
最后，我们再讨论一下稳定圆周轨道．$r=R_{+}$是稳定圆周轨道，

$$
R_{+}=\frac{L^2}{R_{\mathrm{s}}}\left(1+\sqrt{1-12\left(\frac{G M}{L}\right)^2}\right),
$$

角动量越小，即 $L / G M$ 越小，$R_{+}$也越小．最内层稳定圆周轨道（ISCO）在

$$
R_{\mathrm{ISCO}}=6 G M
$$

处．对于无穷远观测者，圆周轨道上粒子的角速度为

$$
\Omega=\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} \tau}{\mathrm{~d} t / \mathrm{d} \tau}=\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{L}{E},
$$

实际上它满足

$$
\Omega^2=\frac{G M}{r^3} .
$$

这正是非相对论牛顿力学中圆周轨道满足的开普勒定律．而粒子的 4 －速度为 $u^\mu= u^t(1,0,0, \Omega)$ ，其中

$$
u^t=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}-r^2 \Omega^2\right)^{-1 / 2}=\left(1-\frac{3 G M}{r}\right)^{-1 / 2}
$$

如果在圆周轨道上有一个稳定不动的观测者，比如通过强有力的火箭支持其不坠，其 4 －速度为 $u_{\mathrm{H}}^\mu=\left(\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1 / 2}, 0,0,0\right)$ 。而粒子有 $u_\mu=(-E, 0,0, L)$ ，因此这个观测者观测到的粒子能量密度为

$$
\gamma=E_{\mathrm{H}}=-u_\mu u_{\mathrm{H}}^\mu=\frac{E}{\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{1 / 2}}
$$

在狭义相对论中 $\gamma=\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}$ ，所以观测者观测到粒子的速度为 $v_{\mathrm{H}}=\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}} /(2 r)}{1-R_{\mathrm{s}} / r}}$ ．当 $r=2 R_{\mathrm{s}}$ 时，这个速度与前面讨论的径向逃逸速度一样．而当 $r<2 R_{\mathrm{s}}$ 时，它超过了径向逃逸速度，因此此时的圆周轨道经微扰后将不稳定，粒子不会被束缚住，而可能逃到无穷远．这与前面讨论得到的结论一致．

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