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广义相对论的经典实验检验

8.4 广义相对论的经典实验检验

在本节中我们将讨论历史上对广义相对论的几个经典检验。这些实验都是基于史瓦西时空中粒子的运动．我们首先从水星近日点进动开始．

8．4．1 水星近日点进动
在广义相对论建立之前，人们通过长期的实验观测，发现了水星近日点的进动存在异常。即使考虑了太阳形状的非球形造成的引力势偏差，以及其他行星对水星的影响，水星近日点进动仍然有着理论上无法解释的微小偏差。大部分物理学家并未认真地看待此事，把这个偏差归咎于尚未发现的某个小行星的影响。爱因斯坦在发展广义相对论之前也知道水星近日点进动异常，但并未把它作为发展广义相对论的源动力。 1915 年底，爱因斯坦在提出广义相对论的同时，开始着手在广义相对论的框架中解决这个疑难，并很快获得了成功。

在牛顿引力中，如果引力势是球对称的，则在其中粒子所受的力 $\boldsymbol{F}=-m \frac{G M}{r^3} \boldsymbol{r}$ ，由此得 $\ddot{\boldsymbol{r}}=-\frac{G M}{r^3} \boldsymbol{r}$ ．这样粒子的角动量 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{r} \times m \dot{\boldsymbol{r}}$ 是守恒的，

$$
\boldsymbol{A}=m \boldsymbol{L}, \quad \boldsymbol{r} \perp \boldsymbol{L},
$$

其中 $\boldsymbol{L}$ 是一个大小和方向确定的常数矢量．由于 $\boldsymbol{r} \perp \boldsymbol{L}$ ，粒子的运动轨道是在一个平面上，由 $(r, \phi)$ 刻画，它们满足方程

$$
\begin{aligned}
r^2 \dot{\phi} & =L \\
\ddot{r}-r \dot{\phi}^2 & =-\frac{G M}{r^2},
\end{aligned}
$$

其中 $L=|\boldsymbol{L}|$ 是单位质量的守恒角动量。第一个方程实际上是角动量守恒方程，而第二个方程来自牛顿第二定律．由这两个方程，我们希望确定粒子的轨道，即函数 $r(\phi)$ ．引进变量 $u=r^{-1}$ ，有

$$
\begin{aligned}
\dot{r} & \equiv \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{u^2} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi} \dot{\phi} \\
& =-\frac{1}{u^2} L u^2 \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi}=-L \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi}
\end{aligned}
$$

进一步地，$\ddot{r}=-L^2 u^2 \frac{\mathrm{~d}^2 u}{\mathrm{~d} \phi^2}$ ．因此，轨道可以被确定：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{~d} \phi^2}+u=\frac{G M}{L^2} \quad \text { (比奈 (Binet) 方程) } \\
\Rightarrow & u=\frac{G M}{L^2}+C \cos \left(\phi-\phi_0\right) \quad\left(C, \phi_0\right. \text { 为常数) } \\
\Rightarrow & \frac{l}{r}=1+e \cos \left(\phi-\phi_0\right),
\end{aligned}
$$

其中

$$
l=L^2 / G M, \quad e=C L^2 / G M .
$$

这是一个圆锥截面的方程，$l$（半正焦弦（semi－latus rectum））确定了轨道的大小，而 $e$称为离心率，确定了轨道的形状，$\phi_0$ 确定了轨道的方向（相对于 $x$ 轴）．当 $0<e<1$时，这个截面是一个椭圆，即粒子的运动轨迹是椭圆．所以，在球对称的引力势中，牛顿引力告诉我们行星的运动轨迹是一个闭合的椭圆．上面的关系式也可以写作

$$
r=\frac{\left(1-e^2\right) a}{1+e \cos \left(\phi-\phi_0\right)}
$$

如果我们取定 $\phi_0=0$ ，则轨道如图 8.3 所示．简而言之，在牛顿力学中由于四维引力满足平方反比律，因此两体束缚轨道是闭合的，一般而言是椭圆轨道。这实际上来自中心力场中满足平方反比律的力具有更强的对称性，即拉普拉斯－龙格－楞次（Laplace－ Runge－Lenz）矢量是守恒的。假如，在中心力场中有高阶的修正项，例如 $1 / r^3$ 项，粒子

![图片](/uploads/2025-12/2b7a27.jpg)
 
 运动的轨道将不再闭合，会产生进动．这种情况当星体不再是严格的球形时会发生，而广义相对论的修正项也会导致这个结果。

在广义相对论中，即使是在球对称的史瓦西时空中，粒子的运动尽管可以是圆轨道，但却不会遵循封闭的椭圆轨道，而是稍微有些进动的椭圆轨道．前面我们得到的测地线方程是

$$
\dot{r}^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(\frac{L^2}{r^2}+1\right)=E^2
$$

如果我们想知道的是轨道的形状，而非简单的径向变化，则可以利用守恒角动量密度并由 $\dot{r}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \phi} \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \phi} \dot{\phi}$ 得到

$$
\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \phi}\right)^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) r^2\left(1+\frac{r^2}{L^2}\right)=E^2 \frac{r^4}{L^2}
$$

定义一个无量纲量 $x \equiv \frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}} r}$ ，运动方程变为

$$
\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \phi}\right)^2+\left(\left(\frac{2 L}{R_{\mathrm{s}}}\right)^2-\frac{4 E^2 L^2}{R_{\mathrm{s}}^2}\right)-2 x+x^2-\frac{R_{\mathrm{s}}^2}{2 L^2} x^3=0
$$

其中等号左边的最后一项可以看作微扰项．对这个一阶方程再用 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \phi}$ 微分一次，有

$$
\begin{aligned}
& 2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \phi}\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} \phi}\right) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \phi}-2 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} \phi}+2 x \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} \phi}-\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{2 L^2} x^2 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} \phi}=0 \\
\Rightarrow & \left(2 \frac{\mathrm{~d}^2 x}{\mathrm{~d} \phi^2}-2+2 x-\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{2 L^2} x^2\right) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \phi}=0 \\
\Rightarrow & \frac{\mathrm{~d}^2 x}{\mathrm{~d} \phi^2}-1+x=\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{4 L^2} x^2
\end{aligned}
$$

如果忽略等号右边的项，最后一个方程就是我们前面在牛顿引力中导出的归一化后的比奈方程，粒子的轨迹是圆锥截面．等号右边的项是广义相对论的修正项．对此方程，我们可以做微扰处理．令 $x=x_0+x_1$ ，其中

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 x_0}{\mathrm{~d} \phi^2}-1+x_0 & =0 \\
\frac{\mathrm{~d}^2 x_1}{\mathrm{~d} \phi^2}+x_1 & =\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{4 L^2} x_0^2
\end{aligned}
$$

也就是说，$x_0$ 描述椭圆轨道，而 $x_1$ 是对轨道的修正．如前所述，$x_0=1+e \cos \phi$ ，所以

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x_1}{\mathrm{~d} \phi^2}+x_1=\alpha\left(1+e^2 \cos ^2 \phi+2 e \cos \phi\right)
$$

其中 $\alpha=\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{4 L^2}$ ．这个方程可以严格求解：

$$
x_1=\alpha\left(1+\frac{e^2}{2}-\frac{e^2 \cos 2 \phi}{6}+e \phi \sin \phi\right)
$$

这个解中 $1+\frac{e^2}{2}$ 是一个平移，而最后一项 $\frac{e^2}{6} \cos 2 \phi$ 是绕零点的振荡，只有正比于 $e \phi \sin \phi$ 的项与进动有关。我们可以忽略其他两项，得到

$$
\begin{aligned}
x & =1+e \cos \phi+\alpha e \phi \sin \phi \\
& \approx 1+e \cos (\phi-\alpha \phi)
\end{aligned}
$$

其中第二步用到了 $\alpha \ll 1$ 这个事实．粒子轨道仍然是周期性的，但周期不再是 $2 \pi$ ，而是
$$
2 \pi+\Delta \phi,
$$

其中

$$
\Delta \phi=2 \pi \alpha=\frac{6 \pi G^2 M^2}{L^2 c^4} .
$$

266
第八章 球对称史瓦西解

也就是说，一颗行星仍然做椭圆运动，但是椭圆曲线的轴会转动．行星每公转一圈，其轴的转动为 $\Delta \phi$ ．这种现象称为近日点进动，如图 8.4 所示．对于椭圆运动，我们发现

$$
r=\frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}}} \frac{1}{1+e \cos \phi}=\frac{\left(1-e^2\right) a}{1+e \cos \phi},
$$
 ![图片](/uploads/2025-12/0478b8.jpg)
 
 其中

$$
a=\frac{1}{1-e^2} \frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}}}
$$

是椭圆的半长轴．近日点在

$$
\left.\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \phi}\left(r_{+}\right)\right|_{\phi=0}=0 \Rightarrow r_{+}=\frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}}(1+e)}=a(1-e),
$$

而远日点在

$$
\left.\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \phi}\left(r_{-}\right)\right|_{\phi=\pi}=0 \Rightarrow r_{-}=\frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}}(1-e)}=a(1+e) .
$$

也就是说，$a=\frac{\left(r_{+}+r_{-}\right)}{2}$ ，我们可以通过近日点和远日点的观测确定半长轴的大小．利用 $a$ 和 $L^2=G M\left(1-e^2\right) a$ ，我们得到行星运动一周后近日点的进动角

$$
\Delta \phi=\frac{6 \pi G M}{\left(1-e^2\right) a} .
$$

对于太阳有 $G M_{\odot}=1.475 \mathrm{~km}$ ，水星的公转周期是 88 天，每次公转的进动角是 $\Delta \phi=0.1038^{\prime \prime}$ ，非常微小，但是经过一个世纪，进动角累加起来为 $\left.\Delta \phi\right|_{\text {世纪 }}=42.98^{\prime \prime}$ ，就是一个不可忽略的值．实验上测得的进动角为每世纪 $43.1^{\prime \prime} \pm 0.5^{\prime \prime}$ ，理论和实验符合得非常好。这是广义相对论取得的第一个重大胜利。

对于太阳系中其他做束缚运动的星体，即使我们只考虑其在太阳的球对称时空中的运动，它们也都存在近日点进动现象．在表 8.1 中我们列出了关于一些星体的进动角的理论和实验的数据．

![图片](/uploads/2025-12/98136a.jpg)
 
 如上面所讨论的，行星围绕太阳运动的近日点进动来自广义相对论的修正项．从牛顿引力的观点来看，该修正项等价于存在非平方反比的力．实际上，考虑其他产生非平方反比的力的因素，会有更多的进动效应出现。例如，当太阳并非严格的球状分布时，其产生的引力势中有多极矩的贡献 $(\theta=\pi / 2)$ ：

$$
\Phi=-\frac{G M}{r}-\frac{1}{2} \frac{G M J_2 R_{\odot}^2}{r^3},
$$

其中，$J_2$ 来自四极矩的贡献．与前面广义相对论的讨论相比较，可得

$$
\begin{aligned}
\Delta \phi_{\mathrm{quad}} & =\frac{6 \pi G M}{\left(1-e^2\right) a} \frac{1}{2} \frac{J_2 R_{\odot}^2}{G M\left(1-e^2\right) a} \\
& =\frac{1}{2} \frac{J_2 R_{\odot}^2}{G M\left(1-e^2\right) a} \Delta \phi_{\mathrm{GR}}
\end{aligned}
$$

对于水星进动，一个世纪累加的进动角变化为

$$
\left.\Delta \phi\right|_{\text {世纪 }}=42.98^{\prime \prime}\left(1+3 \times 10^{-4}\left(J_2 / 10^{-7}\right)\right) .
$$

对于太阳而言，观测发现 $J_2 \sim 10^{-7}$ ，因此其对进动角的影响非常小。
实际上，其他行星对水星轨道的影响要重要得多．经过相当精确的微扰计算，在 19 世纪末人们已经能够得到表 8.2 的结果．

![图片](/uploads/2025-12/6d1737.jpg)

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