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广义相对论的经典实验检验

8.4 广义相对论的经典实验检验

在本节中我们将讨论历史上对广义相对论的几个经典检验。这些实验都是基于史瓦西时空中粒子的运动．我们首先从水星近日点进动开始．

8．4．1 水星近日点进动
在广义相对论建立之前，人们通过长期的实验观测，发现了水星近日点的进动存在异常。即使考虑了太阳形状的非球形造成的引力势偏差，以及其他行星对水星的影响，水星近日点进动仍然有着理论上无法解释的微小偏差。大部分物理学家并未认真地看待此事，把这个偏差归咎于尚未发现的某个小行星的影响。爱因斯坦在发展广义相对论之前也知道水星近日点进动异常，但并未把它作为发展广义相对论的源动力。 1915 年底，爱因斯坦在提出广义相对论的同时，开始着手在广义相对论的框架中解决这个疑难，并很快获得了成功。

在牛顿引力中，如果引力势是球对称的，则在其中粒子所受的力 $\boldsymbol{F}=-m \frac{G M}{r^3} \boldsymbol{r}$ ，由此得 $\ddot{\boldsymbol{r}}=-\frac{G M}{r^3} \boldsymbol{r}$ ．这样粒子的角动量 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{r} \times m \dot{\boldsymbol{r}}$ 是守恒的，

$$
\boldsymbol{A}=m \boldsymbol{L}, \quad \boldsymbol{r} \perp \boldsymbol{L},
$$

其中 $\boldsymbol{L}$ 是一个大小和方向确定的常数矢量．由于 $\boldsymbol{r} \perp \boldsymbol{L}$ ，粒子的运动轨道是在一个平面上，由 $(r, \phi)$ 刻画，它们满足方程

$$
\begin{aligned}
r^2 \dot{\phi} & =L \\
\ddot{r}-r \dot{\phi}^2 & =-\frac{G M}{r^2},
\end{aligned}
$$

其中 $L=|\boldsymbol{L}|$ 是单位质量的守恒角动量。第一个方程实际上是角动量守恒方程，而第二个方程来自牛顿第二定律．由这两个方程，我们希望确定粒子的轨道，即函数 $r(\phi)$ ．引进变量 $u=r^{-1}$ ，有

$$
\begin{aligned}
\dot{r} & \equiv \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{u^2} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi} \dot{\phi} \\
& =-\frac{1}{u^2} L u^2 \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi}=-L \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} \phi}
\end{aligned}
$$

进一步地，$\ddot{r}=-L^2 u^2 \frac{\mathrm{~d}^2 u}{\mathrm{~d} \phi^2}$ ．因此，轨道可以被确定：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{~d} \phi^2}+u=\frac{G M}{L^2} \quad \text { (比奈 (Binet) 方程) } \\
\Rightarrow & u=\frac{G M}{L^2}+C \cos \left(\phi-\phi_0\right) \quad\left(C, \phi_0\right. \text { 为常数) } \\
\Rightarrow & \frac{l}{r}=1+e \cos \left(\phi-\phi_0\right),
\end{aligned}
$$

其中

$$
l=L^2 / G M, \quad e=C L^2 / G M .
$$

这是一个圆锥截面的方程，$l$（半正焦弦（semi－latus rectum））确定了轨道的大小，而 $e$称为离心率，确定了轨道的形状，$\phi_0$ 确定了轨道的方向（相对于 $x$ 轴）．当 $0<e<1$时，这个截面是一个椭圆，即粒子的运动轨迹是椭圆．所以，在球对称的引力势中，牛顿引力告诉我们行星的运动轨迹是一个闭合的椭圆．上面的关系式也可以写作

$$
r=\frac{\left(1-e^2\right) a}{1+e \cos \left(\phi-\phi_0\right)}
$$

如果我们取定 $\phi_0=0$ ，则轨道如图 8.3 所示．简而言之，在牛顿力学中由于四维引力满足平

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