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引力红移

8．4．2 引力红移
在第三章中，我们利用等效原理或者假想实验导出了在引力势中光子受到影响会产生红移或蓝移．红移因子等于引力势的差 $z=\Delta \Phi$ ．在本节中我们将系统地讨论在一个弯曲时空中光子的红移是如何发生的。

我们先考虑比较简单的引力红移情形。假定光子发射器固定在位置（ $r_{\mathrm{E}}, \theta_{\mathrm{E}}, \phi_{\mathrm{E}}$ ），而接收器固定在 $\left(r_{\mathrm{R}}, \theta_{\mathrm{R}}, \phi_{\mathrm{R}}\right)$ 。光子可以看作波，两个相邻波峰或者波谷给出光子的波长和频率．前一个波峰从发射器到接收器走的是一条零测地线 $\left(t_{\mathrm{E}}, \theta_{\mathrm{E}}, \phi_{\mathrm{E}}\right) \rightarrow\left(t_{\mathrm{R}}, \theta_{\mathrm{R}}, \phi_{\mathrm{R}}\right)$ ，后一个波峰在稍晚时候经过零测地线 $\left(t_{\mathrm{E}}+\Delta t_{\mathrm{E}}\right) \rightarrow\left(t_{\mathrm{R}}+\Delta t_{\mathrm{R}}\right)$ ．而对于在史瓦西时空中的零曲线，

$$
\mathrm{d} s^2=0 \Rightarrow\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} t^2=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

假定零曲线的仿射参数为 $\lambda$ ，则

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1 / 2}\left(g_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^{1 / 2} \\
\Rightarrow & t_{\mathrm{R}}-t_{\mathrm{E}}=\int_{\lambda_{\mathrm{E}}}^{\lambda_{\mathrm{R}}}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1 / 2}\left(g_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} \lambda
\end{aligned}
$$
对于空间位置固定的发射器和接收器，$t_{\mathrm{R}}-t_{\mathrm{E}}$ 对所有的光子都是一样的．换句话说，两个峰都经过相同的坐标时从发射器到达接收器，因此 $\Delta t_{\mathrm{E}}=\Delta t_{\mathrm{R}}$ ．注意这是对于在无穷远处的静止观测者而言．对于固有时间隔，因为 $\mathrm{d} r=\mathrm{d} \theta=\mathrm{d} \phi=0$ ，所以 $\mathrm{d} \tau^2=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} t^2$ ，因此

$$
\Delta \tau_{\mathrm{E}}=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{E}}}\right)^{1 / 2} \Delta t_{\mathrm{E}}, \quad \Delta \tau_{\mathrm{R}}=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{R}}}\right)^{1 / 2} \Delta t_{\mathrm{R}}
$$

从而

$$
\frac{\Delta \tau_{\mathrm{R}}}{\Delta \tau_{\mathrm{E}}}=\left(\frac{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{R}}}{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{E}}}\right)^{1 / 2}
$$

注意 $\Delta \tau$ 是发射器或者接收器看到的两个信号的间隔．对于两个信号，两个波峰的间距为 $\Delta \tau=T$（周期），所以接收器和发射器观测到的光子频率之比为

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\left(\frac{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{E}}}{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{R}}}\right)^{1 / 2} .
$$
如果 $r_{\mathrm{R}}>r_{\mathrm{E}}$ ，则 $\nu_{\mathrm{R}}<\nu_{\mathrm{E}}$ ，光子被红移了，红移因子为

$$
1+z=\left(\nu_{\mathrm{R}} / \nu_{\mathrm{E}}\right)^{-1} \Rightarrow z=\sqrt{\frac{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{R}}}{1-R_{\mathrm{s}} / r_{\mathrm{E}}}}-1 .
$$

在弱场极限下，$R_{\mathrm{s}} / r \ll 1$ ，所以

$$
\begin{aligned}
z & =\frac{1}{2}\left(\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{E}}}-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{R}}}\right)=\frac{G M}{r_{\mathrm{E}}}-\frac{G M}{r_{\mathrm{R}}} \\
& =-\Phi\left(r_{\mathrm{E}}\right)+\Phi\left(r_{\mathrm{R}}\right)=\Delta \Phi
\end{aligned}
$$

其中 $\Phi$ 是牛顿引力势．这正是我们前面得到的结果．可见，只有在弱场极限下，等效原理得到的结果才和广义相对论得到的结果一致。

事实上，对于具有度规

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} t^2+g_{i j}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

的时空，如果发射器和接收器固定，则有

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\left(\frac{g_{00}\left(\boldsymbol{x}_{\mathrm{E}}\right)}{g_{00}\left(\boldsymbol{x}_{\mathrm{R}}\right)}\right)^{1 / 2}
$$
更一般地，如果发射器和接收器都没有固定在空间某位置，而是运动的，比如自由落体，如何计算红移呢？我们可以利用前面关于测量的一般性讨论．在一个具有度规 $g_{\mu \nu}$ 的时空流形，如果发射器在 $A$ 处，而接收器在 $B$ 处，则它们分别探测到的光子能量为

$$
\begin{aligned}
& \mathcal{E}_{\mathrm{E}}(A)=-\widehat{P}(A) \cdot \widehat{u}_{\mathrm{E}}(A)=-P_\mu(A) u_{\mathrm{E}}^\mu(A) \\
& \mathcal{E}_{\mathrm{R}}(B)=-\widehat{P}(B) \cdot \widehat{u}_{\mathrm{R}}(B)=-P_\mu(B) u_{\mathrm{R}}^\mu(B)
\end{aligned}
$$

其中 $\widehat{P}$ 是光子的 4 －动量．所以，光子频率之比为

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\frac{P_\mu(B) u_{\mathrm{R}}^\mu(B)}{P_\mu(A) u_{\mathrm{E}}^\mu(A)}
$$

如果我们知道 $P_\mu(A)$ ，利用零测地线我们可以知道 $P_\mu(B)$ 。由零测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d} P_\mu}{\mathrm{d} \lambda}-\Gamma_{\mu \rho}^\nu P_\nu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} P_\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\Gamma_{\mu \rho}^\nu P_\nu P^\rho
$$

假定该时空是稳态的，即有一个类时基灵矢量，在某坐标系下为 $\partial_t$ ，则光子的 4 －动量分量 $P_0$ 是守恒量．进一步地，如果发射器和接收器固定在空间某位置，则它们 4 －速度的空间分量都为零：

$$
u_{\mathrm{E}}^i=0, \quad u_{\mathrm{R}}^i=0
$$
利用发射器和接收器 4－速度的归一化条件 $g_{\mu \nu} u^\mu u^\nu=-1$ ，我们得到

$$
u^0=\frac{1}{\sqrt{-g_{00}}} .
$$

由此，接收器和发射器看到的光子频率之比为

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\frac{P_0(B)}{P_0(A)}\left(\frac{g_{00}(A)}{g_{00}(B)}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{g_{00}(A)}{g_{00}(B)}\right)^{1 / 2} .
$$

这正是我们前面得到的结果．更一般地，如果发射器或者接收器是运动的，则讨论会复杂一些．我们将在 8.6 节讨论相对论性天体物理时具体分析这种情况．

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