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零测地线讨论

8．4．3 零测地线讨论
广义相对论的其他两个经典检验包括光线偏折和雷达回波延迟，这些检验都与光子在史瓦西时空中的运动密不可分．在介绍这些实验之前，我们先更仔细地分析史瓦西时空中零测地线的行为．零测地线满足

$$
-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} E^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+\frac{L^2}{r^2}=0
$$

其中 $E$ 和 $L$ 分别是光子的守恒＂能量＂和＂角动量＂：

$$
E=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}, \quad L=r^2 \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda} .
$$

由于仿射参数的选择具有任意性，这两个守恒量的物理意义有模糊性，并没有清楚的物理对应。然而我们可以用物理的参数来去除这样的模糊性。引进参数

$$
b^2=\frac{L^2}{E^2}
$$

在这个参数中，对仿射参数的依赖不存在．方程（8．112）变为
$$
\frac{1}{b^2}=\frac{1}{L^2}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+W_{\mathrm{eff}}(r)
$$

其中

$$
W_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) .
$$

类比 $1 / b^2 \sim E$ ，把 $W_{\text {eff }}$ 看作势能，方程（8．114）看起来像在描述粒子的径向运动．由于无质量粒子的仿射参数选择有任意性，我们总可通过重新标度 $\lambda \rightarrow L \lambda$ 把 $L$ 吸收到 $\lambda$中，这样方程只依赖 $b^2$ ．实际上，$E$ 和 $L$ 并非真实的物理量，而 $b$ 是有物理意义的．我们令 $b=|L / E|$ ．在 $\theta=\pi / 2$ 的平面上，引进极坐标 $x=r \cos \phi, y=r \sin \phi$ ，当 $r \rightarrow \infty$时

$$
b=|L / E|=\frac{r^2 \mathrm{~d} \phi / \mathrm{d} \lambda}{\mathrm{~d} t / \mathrm{d} \lambda}=r^2 \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t} .
$$

由于在无穷远处 $\phi \approx \frac{d}{r}, d$ 是光线作为直线离星体的最短距离，且 $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t} \approx-1$ ，

$$
\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{d}{r^2} \quad \Rightarrow \quad b=d,
$$

所以，$b$ 称为人射参数（impact parameter）：以星体中心为原点时，光线在渐近无穷远处近似直线，该直线的延伸线离原点最近的距离就是 $b$ ，如图 8.5 所示．与有质量粒子的运动类似，无质量粒子的运动可以等效为一个一维运动，其中的有效势为 $W_{\text {eff }}(r)$ 。有效势在 $r=3 G M$ 处有极大值，

$$
W_{\mathrm{eff}}(r=3 G M)=\frac{1}{27 G^2 M^2},
$$

因此我们得到一个人射参数的临界值

$$
b_{\mathrm{c}}=\sqrt{27} G M .
$$

$b=b_{\mathrm{c}}$ 对应着光子的不稳定圆周轨道．当 $b>b_{\mathrm{c}}$ 时，其倒数平方低于势垒最高点，因此光子轨道有转折点，即光子从无穷远来发生偏转回到无穷远．当 $b<b_{\mathrm{c}}$ 时，如果光子从无穷远来会越过势垒被星体所捕捉。所以，对于光子而言，星体的捕捉截面是

$$
\sigma=\pi b_{\mathrm{c}}^2=27 \pi(G M)^2 .
$$

对远处的观测者，黑洞的明显半径是 $3 \sqrt{3} G M=\frac{3 \sqrt{3}}{2} R_{\mathrm{s}}$ ．也就是说，当光线的人射参数小于这个半径时，光子都会被黑洞所捕捉．

![图片](/uploads/2025-12/4c6f03.jpg)
 
  我们也可考虑在黑洞视界外，$R_{\mathrm{s}}<r<3 G M$ 时向外的光子轨道．后面我们将看到，当 $r \leqslant R_{\mathrm{s}}$ 时，视界内的光子是无法跑到视界外的．在 $R_{\mathrm{s}}<r<3 G M$ 时，光子也需要克服势垒才能飞到无穷远处。讨论与前面的类似，当 $b^2<27 G^2 M^2$ 时，光子可以克服势垒的阻碍，飞向无穷远。此时光子的角动量较小，更倾向于径向运动。而当 $b^2>27 G^2 M^2$ 时，光子无法克服势垒，而会经一个转折点重新飞向黑洞。这是由于此时角动量较大，无法摆脱引力的吸引。

一个有趣的问题是我们考虑一个在 $\theta=\pi / 2$ 平面上，径向位置 $r=R$ 处的发射器，其发射的光子与径向的夹角是 $\psi$ 。如果 $\psi=0, b=0$ ，即光子严格做径向运动，这样一定能飞向无穷远。问题是，能够使光子飞到无穷远的临界发射角 $\psi_{\mathrm{c}}$ 是多少？在发射器的参考系中，$\widehat{e}_0$ 是其类时4－速度，而其局部参考系的另外三个类空基矢互相正交且归一，

$$
\widehat{e}_r=\left(0,\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2}, 0,0\right), \quad \widehat{e}_\phi=(0,0,0,1 / R)
$$

相对于发射器而言的发射角满足

$$
\tan \psi=\frac{\widehat{u} \cdot \widehat{e}_\phi}{\widehat{u} \cdot \widehat{e}_r}
$$

其中 $\widehat{u}$ 可以看作光子的 4 －动量，其分量为

$$
\begin{aligned}
& u^t=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{E}{1-R_{\mathrm{s}} / r} \\
& u^r=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \lambda}=L\left(\frac{1}{b^2}-W_{\text {eff }}(r)\right)^{1 / 2} \\
& u^\theta=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} \lambda}=0 \\
& u^\phi=\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{L}{r^2}
\end{aligned}
$$

因为 $\widehat{u} \cdot \widehat{e}_\phi=g_{\phi \phi}\left(\widehat{e}_\phi\right)^\phi u^\phi=\frac{L}{R}$ ，而
$$
\widehat{u} \cdot \widehat{e}_r=g_{r r}\left(\widehat{e}_r\right)^r u^r=\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{-1 / 2} L\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{R^2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{R}\right)\right)^{1 / 2},
$$

当 $b^2=27 G^2 M^2$ 时，我们可以确定临界角 $\psi_{\mathrm{c}}$ ：

$$
\tan \psi_{\mathrm{c}}=\frac{1}{R}\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{27 G^2 M^2}-\frac{1}{R^2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{R}\right)\right)^{-1 / 2} .
$$

当发射器在 $R=3 G M$ 处时，$\psi_{\mathrm{c}}=\frac{\pi}{2}$ ，这对应于圆周轨道．往外的一点扰动即可使光子奔向无穷远．当发射器在 $R<3 G M$ 处时，$\psi_{\mathrm{c}}$ 变小．而当 $R=R_{\mathrm{s}}$ 时，$\psi_{\mathrm{c}}=0$ ，即此时不可能到无穷远．注意，此时的夹角实际上应该是一个锥形立体角，只要与径向的夹角小于临界角，则沿任何方向都可以飞到无穷远．
 与上面问题密切相关的另一个问题是：对一个处于某半径 $r=R$ 处的稳态观测者，假设强有力的火箭保持其不坠，则他能看到的天空有多大？讨论与前面类似，只不过我们现在需要考虑的是内向的零测地线，前面考虑的是外向的零测地线而已。我们只需要把方向调换即可，所以临界角是一样的：

$$
\sin \psi_{\mathrm{c}}=\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2} \frac{b_{\mathrm{c}}}{R}
$$

当光线的角动量太大时，是无法被观测者看到的．当观测者趋近于视界时，他将只能看到人射参数 $b=\sqrt{27} G M$ 的光线，相应的最大角是

$$
\sin \psi_{\mathrm{c}} \approx\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2} \frac{\sqrt{27}}{2}
$$

对这个观测者，黑洞几乎遮挡了整个天空，只留下角半径为 $\sqrt{27}\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2}$ 的圆盘在空中．当观测者趋近视界时，这个圆盘越来越小，最终消失．但另一方面，由于光子的蓝移效应，观测者看到的天空会更明亮。

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