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光线偏折和雷达回波延迟

8．4．4 光线偏折和雷达回波延迟
光线偏转是广义相对论给出的第一个预言，并很快在 1919 年的日全食实验中得到了验证．这种偏转在强引力区域会更加明显，因此在天体物理中有广泛的应用．如前所述，当光子的人射参数 $b>b_{\mathrm{c}}$ 时，光线的轨道上会有一个转折点，因此光线从无穷远来经过转折点后还要回到无穷远．这个转折点在 $R_0$ 处，此时 $\mathrm{d} r / \mathrm{d} \phi=0$ ，

$$
\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} r}=\frac{1}{r^2}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{r^3}\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)\right)^{-1 / 2} .
$$

所以，转折点所处的半径为

$$
R_0^3-b^2\left(R_0-R_{\mathrm{s}}\right)=0 \Rightarrow R_0=\frac{2 b}{\sqrt{3}} \cos \left(\frac{1}{3} \cos ^{-1}\left(-\frac{b_{\mathrm{c}}}{b}\right)\right) .
$$

由微分方程（8．127）对 $r$ 积分即可得到偏转角。由于对称性，对 $\Delta \phi$ 的贡献来自两部分：到达转折点之前的路径，以及转向之后的路径．两部分贡献完全相同，因此有

$$
\Delta \phi=2 \int_{R_0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} r}{\left(r^4 b^{-2}-r\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)\right)^{1 / 2}} .
$$

如果 $M=0$ ，则

$$
\left.\Delta \phi\right|_{M=0}=\left.2 \sin ^{-1}\left(b / R_0\right)\right|_{R_0=b}=\pi,
$$

这代表光线完全是一条直线．而如果 $M \neq 0, \Delta \phi \neq \pi$ ，这代表由于史瓦西时空中引力的吸引，光线发生了偏折．通过变量 $u=1 / r$ ，偏转角可写作

$$
\Delta \phi=2 \int_0^{1 / R_0} \frac{\mathrm{~d} u}{\left(b^{-2}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}
$$

这个积分的困难在于如果固定人射参数 $b$ ，积分上限 $R_0$ 依赖于 $M$ ，或者说 $R_{\mathrm{s}}$ ．这里我们可以使用如下技巧：把 $M$ 和 $R_0$ 处理成独立的变量，当变化 $M$ 时，我们比较有相同 $R_0$ 时的偏转角，而非有相同人射参数 $b$ 时的偏转角．到 $M$ 的第一阶，保持 $b$ 或 $R_0$ 相同没有任何差别，但到高阶时会有所不同．由 $b=\sqrt{\frac{R_0^3}{R_0-R_{\mathrm{s}}}}$ ，我们得

$$
\Delta \phi(M)=2 \int_0^{1 / R_0} \frac{\mathrm{~d} u}{\left(R_0^{-2}-R_{\mathrm{s}} R_0^{-3}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}
$$

这样我们可以相对于 $M$ 做泰勒展开：

$$
\Delta \phi(M)=\Delta \phi(M=0)+\left.\frac{\partial(\Delta \phi)}{\partial M}\right|_{M=0} M+\cdots
$$

由

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial(\Delta \phi)}{\partial M}\right|_{M=0} & =\left.2 \int_0^{1 / R_0} \frac{G\left(R_0^{-3}-u^3\right) \mathrm{d} u}{\left(R_0^{-2}-R_{\mathrm{s}} R_0^{-3}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}\right|_{M=0} \\
& =2 G \int_0^{1 / b} \frac{b^{-3}-u^3}{\left(b^{-2}-u^2\right)^{3 / 2}} \mathrm{~d} u \\
& =4 G b^{-1},
\end{aligned}
$$

我们得到

$$
\begin{aligned}
\delta \phi & =\Delta \phi(M)-\left.\Delta \phi(M=0) \approx M \frac{\partial(\Delta \phi)}{\partial M}\right|_{M=0}=\frac{4 G M}{b} \\
& =\frac{4 G M}{b c^2}
\end{aligned}
$$

偏转角与 $b$ 成反比，离星体越近，受星体影响越大，所以偏转角越大．另一方面，它与 $M$ 成正比，星体质量越重，光线偏折越明显。它也与牛顿引力常数成正比，牛顿引力耦合常数越大，引力越强，因此偏转角越大。
－下面我们介绍另一种处理方法，与讨论行星近日点进动一致．由零测地线方程，我们知道

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} \phi^2}+x=\alpha x^2
$$

其中 $\alpha=\frac{3 R_{\mathrm{s}}^2}{4 L^2}$ ．在牛顿引力中，右边的项不存在，所以

$$
x=\frac{1}{D} \sin \left(\phi-\phi_0\right),
$$

这其实就是

$$
r=\frac{b}{\sin \left(\phi-\phi_0\right)} .
$$

这里用到了 $x=\frac{2 L^2}{R_{\mathrm{s}} r}$ 和 $D=\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 E L}$ ，它描述的正是直线．而方程（8．136）右边的项可以当作扰动项，所以可以令 $x=x_0+\alpha x_1$ ，其中 $x_0=\frac{\sin \phi}{D}$（取 $\phi_0=0$ ）而

$$
x_1^{\prime \prime}+x_1=x_0^2=\frac{\sin ^2 \phi}{D^2} .
$$

这个方程的解为

$$
x_1=\left(1+C \cos \phi+\frac{1}{3} \cos 2 \phi\right) / 2 D^2,
$$

其中 $C$ 是一个常数．由于 $\alpha / D=3 R_{\mathrm{s}} / 2 b \ll 1$ ，我们把 $x_1$ 当作扰动是合理的．最终，我们有
$$
x \approx \frac{\sin \phi}{D}+\frac{\alpha\left(1+C \cos \phi+\frac{1}{3} \cos 2 \phi\right)}{2 D^2}
$$

渐近地，$r \rightarrow \infty$ 所以 $x \rightarrow 0$ ，从上面解的右边可得

$$
\phi=-\epsilon_1, \quad \phi=\pi+\epsilon_2 .
$$

由于 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 都很小，我们有

$$
\begin{aligned}
& -\frac{\epsilon_1}{D}+\frac{\alpha}{2 D^2}\left(\frac{4}{3}+C\right)=0 \\
& -\frac{\epsilon_2}{D}+\frac{\alpha}{2 D^2}\left(\frac{4}{3}-C\right)=0
\end{aligned}
$$

最终，总的偏转角为

$$
\delta \phi=\epsilon_1+\epsilon_2=\frac{4 \alpha}{3 D}=\frac{4 G M}{b}
$$

上面的讨论只有在光线偏折较小时，近似条件才适用．对于更一般的情形，我们必须从 （8．136）式出发做适当的讨论．
如果我们取入射参数 $b$ 为太阳半径 $R_{\odot}$ ，质量 $M$ 为太阳质量 $M_{\odot}$ ，则 $\delta \phi \approx 1.75^{\prime \prime}$ ． 1919 年3月29日，利用日全食现象，爱丁顿（Eddington）和戴森（Dyson）领导的观测组在巴西的索布拉尔和几内亚湾的普林西比岛上分别测量了光线偏折的现象，得到的两组结果为

$$
\begin{aligned}
& \delta \phi=1.98^{\prime \prime} \pm 0.12^{\prime \prime} \text { (索布拉尔), } \\
& \delta \phi=1.60^{\prime \prime} \pm 0.3^{\prime \prime} \text { (普林西比). }
\end{aligned}
$$

爱丁顿随后宣称确认了广义相对论的预言 ${ }^{(4)}$ 。
1969 年以后，随着射电天文学的发展，人们可以探测非可见光的射电源产生的电磁波信号在太阳的影响下发生的偏折，这样并不需要发生日全食就可以做出精确的测量。例如：每年10月8日，类星体 3C279 都被太阳遮住，电磁波的折射可以与该类星体附近（ $10^{\circ}$ 以外）的 3 C 273 的电波做比较。对其他的类星体也可以做类似的观测。理论与实验的误差在百分之几的范围内．进一步地，利用甚长基线干涉仪（Very Long Baseline Interferometer）来测量当射电类星体发射的电磁波经过太阳时的偏折，可以发现 $10^{-4 \prime \prime}$ 的微小变化．观测与理论预言非常一致，约 $0.99997 \pm 0.00016$.
最后，我们讨论雷达回波延迟实验．这个实验的基本想法是：一个雷达信号从处于史瓦西时空径向位置 $R_{\mathrm{E}}$ 的地球上发出，经过太阳到达处于半径 $R_{\mathrm{P}}$ 的行星上，该雷达信号沿相同的路径回到地球，如图 8.6 所示．由于光线偏折，雷达信号传播的时间延迟了．这就是雷达回波延迟，也称为引力时间延迟．这个实验最早是由夏皮罗（Shapiro）在1964年提出的．对此现象我们可以做定量的分析．利用史瓦西坐标，

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r}=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1}\left(1-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{b^2}{r^2}\right)^{-1 / 2} .
$$

这里的坐标时是相对于无穷远观测者而言，他看到雷达信号单程经过的时间是

$$
\frac{1}{2} \Delta t=\left(\int_{R_{\mathrm{E}}}^{R_0} \mathrm{~d} r+\int_{R_0}^{R_{\mathrm{P}}} \mathrm{~d} r\right)\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1}\left(1-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{b^2}{r^2}\right)^{-\frac{1}{2}}
$$

![图片](/uploads/2025-12/b84a2a.jpg)
 
 如果没有太阳，$M=0$ 而 $b=R_0$ ，经过的时间是

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \Delta t_0 & =\left(\int_{R_{\mathrm{E}}}^{R_0} \mathrm{~d} r+\int_{R_0}^{R_{\mathrm{P}}} \mathrm{~d} r\right)\left(1-\frac{R_0^2}{r^2}\right)^{-1 / 2} \\
& =\left(\int_{R_{\mathrm{E}}}^{R_0}+\int_{R_0}^{R_{\mathrm{P}}}\right) \frac{r \mathrm{~d} r}{\sqrt{r^2-R_0^2}} \\
& =\sqrt{R_{\mathrm{E}}^2-R_0^2}+\sqrt{R_{\mathrm{P}}^2-R_0^2}
\end{aligned}
$$

被延迟的时间是

$$
\delta t=\Delta t(M)-\left.\Delta t_0 \approx M\left(\frac{\partial \Delta t}{\partial M}\right)\right|_{M=0}
$$

最终，我们得到

$$
\begin{aligned}
\Delta t= & 2\left(\sqrt{R_{\mathrm{E}}^2-R_0^2}+\sqrt{R_{\mathrm{P}}^2-R_0^2}\right)+R_{\mathrm{s}}\left\{2 \ln \left(\frac{R_{\mathrm{E}}+\sqrt{R_{\mathrm{E}}^2-R_0^2}}{R_0}\right)\right. \\
& \left.+2 \ln \left(\frac{R_{\mathrm{P}}+\sqrt{R_{\mathrm{P}}^2-R_0^2}}{R_0}\right)+\left(\frac{R_{\mathrm{E}}-R_0}{R_{\mathrm{E}}+R_0}\right)^{1 / 2}+\left(\frac{R_{\mathrm{P}}-R_0}{R_{\mathrm{P}}+R_0}\right)^{1 / 2}\right\}
\end{aligned}
$$

其中右边的前两项来自 $\Delta t_0$ ．由于 $R_{\mathrm{E}}, R_{\mathrm{P}} \gg R_0$ ，所以

$$
\delta t=\frac{4 G M}{c^3}\left(\ln \left(\frac{2 R_{\mathrm{E}}}{R_0}\right)+\ln \left(\frac{2 R_{\mathrm{P}}}{R_0}\right)+1\right) .
$$

注意在上面的讨论中，我们需要变化 $M$ 而比较具有相同 $R_0$ 而非 $b$ 的测地线．与光线偏折的情况不同，即使在 $M$ 的第一阶，当 $M$ 变化时保持哪一个量不变也会影响到最终的结果．前面的讨论是对坐标时而言，对于地球上的观测者，经过的时间与坐标时不同．在地球上测量到的延迟时间为

$$
\delta \tau=\left(1-R_{\mathrm{s}} / R_{\mathrm{E}}\right)^{1 / 2} \delta t .
$$

实际上，对 $R_0, R_{\mathrm{E}}, R_{\mathrm{P}}$ 的精确确定是困难的，我们能做的是得到一个 $\Delta \tau$ 如何随时间变化（由于地球和行星都在不停运动）的公式，而把所有参数当作未知的，然后通过数据做最佳拟合，从而确定这些参数。

实际观测有两类，一类是＂被动型＂，即等待合适的时机利用其他行星、太阳和地球之间开展雷达回波实验．通常选择的行星是金星．理论预言是 $\delta \tau \approx 220 \mu \mathrm{~s}$ ．夏皮罗分别在1968年和1971年的实验中得到了与理论偏差约 $2 \%$ 的符合。另一类实验是所谓的＂主动型＂，即人类利用飞船，在地球和飞船间开展雷达回波实验。安德森（Anderson）首先在1975年利用飞船做了实验。而夏皮罗分别在1977年和1979年利用海盗号飞船做的实验得到的结果与理论预言偏差仅为约 $0.1 \%$ 。在2002年，利用卡西尼号飞船进行的实验，进一步把理论与实验的偏差缩小到十万分之一．

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