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光线偏折和雷达回波延迟

8．4．4 光线偏折和雷达回波延迟
光线偏转是广义相对论给出的第一个预言，并很快在 1919 年的日全食实验中得到了验证．这种偏转在强引力区域会更加明显，因此在天体物理中有广泛的应用．如前所述，当光子的人射参数 $b>b_{\mathrm{c}}$ 时，光线的轨道上会有一个转折点，因此光线从无穷远来经过转折点后还要回到无穷远．这个转折点在 $R_0$ 处，此时 $\mathrm{d} r / \mathrm{d} \phi=0$ ，

$$
\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} r}=\frac{1}{r^2}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{r^3}\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)\right)^{-1 / 2} .
$$

所以，转折点所处的半径为

$$
R_0^3-b^2\left(R_0-R_{\mathrm{s}}\right)=0 \Rightarrow R_0=\frac{2 b}{\sqrt{3}} \cos \left(\frac{1}{3} \cos ^{-1}\left(-\frac{b_{\mathrm{c}}}{b}\right)\right) .
$$

由微分方程（8．127）对 $r$ 积分即可得到偏转角。由于对称性，对 $\Delta \phi$ 的贡献来自两部分：到达转折点之前的路径，以及转向之后的路径．两部分贡献完全相同，因此有

$$
\Delta \phi=2 \int_{R_0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} r}{\left(r^4 b^{-2}-r\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)\right)^{1 / 2}} .
$$

如果 $M=0$ ，则

$$
\left.\Delta \phi\right|_{M=0}=\left.2 \sin ^{-1}\left(b / R_0\right)\right|_{R_0=b}=\pi,
$$

这代表光线完全是一条直线．而如果 $M \neq 0, \Delta \phi \neq \pi$ ，这代表由于史瓦西时空中引力的吸引，光线发生了偏折．通过变量 $u=1 / r$ ，偏转角可写作

$$
\Delta \phi=2 \int_0^{1 / R_0} \frac{\mathrm{~d} u}{\left(b^{-2}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}
$$

这个积分的困难在于如果固定人射参数 $b$ ，积分上限 $R_0$ 依赖于 $M$ ，或者说 $R_{\mathrm{s}}$ ．这里我们可以使用如下技巧：把 $M$ 和 $R_0$ 处理成独立的变量，当变化 $M$ 时，我们比较有相同 $R_0$ 时的偏转角，而非有相同人射参数 $b$ 时的偏转角．到 $M$ 的第一阶，保持 $b$ 或 $R_0$ 相同没有任何差别，但到高阶时会有所不同．由 $b=\sqrt{\frac{R_0^3}{R_0-R_{\mathrm{s}}}}$ ，我们得

$$
\Delta \phi(M)=2 \int_0^{1 / R_0} \frac{\mathrm{~d} u}{\left(R_0^{-2}-R_{\mathrm{s}} R_0^{-3}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}
$$

这样我们可以相对于 $M$ 做泰勒展开：

$$
\Delta \phi(M)=\Delta \phi(M=0)+\left.\frac{\partial(\Delta \phi)}{\partial M}\right|_{M=0} M+\cdots
$$

由

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial(\Delta \phi)}{\partial M}\right|_{M=0} & =\left.2 \int_0^{1 / R_0} \frac{G\left(R_0^{-3}-u^3\right) \mathrm{d} u}{\left(R_0^{-2}-R_{\mathrm{s}} R_0^{-3}-u^2+R_{\mathrm{s}} u^3\right)^{1 / 2}}\right|_{M=0} \\
& =2 G \int_0^{1 / b} \frac{b^{-3}-u^3}{\left(b^{-2}-u^2\right)^{3 / 2}} \mathrm{~d} u \\
& =4 G b^{-1},
\end{aligned}
$$

我们得到

$$
\begin{aligned}
\delta \phi & =\Delta \phi(M)-\left.\Delta \phi(M=0) \approx M \frac{\partial(\Delta \p

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