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史瓦西时空中的测地线

8.3 史瓦西时空中的测地线

在本节中，我们讨论粒子在史瓦西时空中的测地运动．我们将讨论的粒子包括有质量粒子和无质量粒子，它们的运动将会有不同的观测效应，包括广义相对论中的经典实验检验。另一方面，对粒子测地运动的研究，将帮助我们揭示史瓦西时空的性质，特别是史瓦西黑洞的性质。

在时空中，粒子的测地线方程为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0 .
$$

利用对应于史瓦西度规的克里斯托弗符号

![图片](/uploads/2025-12/1c68a9.jpg)
 
 这些二阶微分方程看起来很复杂，似乎很难求解，但由于史瓦西时空的对称性，实际上它们是可解的．这里我们并不准备直接求解它们，而是利用对称性定义的守恒量来求解测地线方程．

星体外的史瓦西时空具有一个类时的基灵矢量，以及对应于二维球面转动不变性的 $\mathrm{SO}(3)$ 对称性．可以证明， $\mathrm{U}(1) \times \mathrm{SO}(3)$ 就是史瓦西时空能够拥有的等度规群．对于史瓦西度规，类时基灵矢量为 $\widehat{\xi}=\partial_t\left(r>R_{\mathbf{s}}\right)$ ，其分量为 $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ 。而三个类空的基灵矢量中，比较明显的是 $\partial_\phi$ 。利用基灵对称性，我们可以定义与粒子相关的守恒量：基灵矢量场 $\widehat{K}$ 与测地线切矢量 $\widehat{u}$ 的内积 $\widehat{u} \cdot \widehat{K}$ 沿测地线保持不变：

$$
K_\mu \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\text { 常数, }
$$

这里的 $\lambda$ 对于有质量粒子来说可以是固有时，对于无质量粒子来说是仿射参数．
首先，利用类时基灵矢量 $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ ，我们可以定义粒子的守恒能量密度．由 $\xi_\mu=\left(-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right), 0,0,0\right), u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ ，我们得到守恒量

$$
E=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda} .
$$

实际上，$u_0=g_{0 \mu} u^\mu=-E$ ．对有质量粒子的类时测地线而言，$r \rightarrow \infty,\|\widehat{\xi}\|^2 \sim-1, E$变成了一个在无穷远静止观测者看到的单位质量粒子的总能量。这是因为该观测者看到的能量为 $E_{\mathrm{o}}=-\widehat{u}_{\mathrm{obs}} \cdot \widehat{P}=m E$ 。一般而言，相对于无穷远静止观测者，$E$ 代表着单位质量粒子沿测地线运动的总能量，包括引力势能。它可以理解成这个观测者把单位质量粒子放到某轨道上所需的能量，即能量密度。如果是在无穷远静止释放，则 $E=1$ ．而对于无质量粒子的零测地线，$E$ 是无质量粒子如光子的＂总能量＂．严格地说，由于对无质量粒子测地线仿射参数选择的任意性，＂总能量＂的物理意义并不准确，有任意性，并非一个真实的物理量。

其次， $\mathrm{SO}(3)$ 空间转动对称性可以定义粒子的守恒角动量。对于类空基灵矢量场 $\widehat{\eta}=\partial_\phi$ ，或者 $\eta_\mu=\left(0,0,0, r^2 \sin ^2 \theta\right)$ ，相应的粒子守恒量为

$$
L=g^{\mu \nu} \eta_\mu u_\nu=r^2 \sin ^2 \theta \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda}
$$

$L$ 的物理意义是相对于无穷远静止观测者的单位质量粒子的角动量，即角动量密度，或者无质量粒子的＂角动量＂。除了基灵矢量 $\partial_\phi$ 以外，球对称时空还有另外两个基灵矢量，它们定义的守恒量实际上对应着三维角动量矢量的方向。角动量方向的不变性意味着粒子的运动是在一个平面上．我们总可以选择这个平面对应于 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ．这一点也

可以从测地线方程中关于 $\theta$ 的第三个方程中看出．这个方程可以写作

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(r^2 \frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} \lambda}\right)-\frac{L^2 \cos \theta}{r^2 \sin ^3 \theta}=0
$$

积分后我们得到

$$
\left(r^2 \frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2=-L^2 \cot ^2 \theta+C,
$$

其中 $C$ 是一个积分常数．我们利用球对称性总可以令 $\theta\left(\lambda_0\right)=\frac{\pi}{2}, \frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\lambda_0\right)=0$ ，即初始时刻粒子在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 的平面上，所以 $C=0$ ．（8．46）式只有在左右两边都为零时才成立，因此我们得到粒子总有

$$
\theta(\lambda)=\frac{\pi}{2}, \quad \frac{d \theta}{d \lambda}(\lambda)=0
$$

这意味着粒子的运动总是在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 的平面上．在下面的讨论中，我们就只关注粒子在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 平面上的运动．此时，守恒角动量密度变为

$$
L=r^2 \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda} .
$$

此外，我们还可以利用粒子运动 4－速度的归一化条件来简化我们的讨论．度规相容性意味着沿测地线粒子 4－速度的内积是常数，

$$
\epsilon=-g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}
$$

其中，对于有质量粒子选择固有时作为仿射参数时 $\epsilon=1$ ，而对于无质量粒子 $\epsilon=0$ ．对于史瓦西度规，这个关系给出

$$
-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+r^2\left(\frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2=-\epsilon .
$$

利用守恒量 $E$ 和 $L$ ，我们得到方程

$$
-E^2+\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(\frac{L^2}{r^2}+\epsilon\right)=0
$$

方程（8．50）可以重新组合成更有启发性的形式

$$
\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+V(r)=\frac{1}{2} E^2
$$

其中

$$
V(r)=\frac{1}{2} \epsilon-\epsilon \frac{G M}{r}+\frac{L^2}{2 r^2}-\frac{G M L^2}{r^3}
$$

我们可以把方程（8．51）与一维中单位质量粒子的经典运动做比较：等效地，单位质量的粒子具有＂总能量＂$\frac{1}{2} E^2$ ，在势能为 $V(r)$ 的一维势中运动。我们这里得到的只是粒子径向运动 $r(\lambda)$ 的方程，利用 $E$ 和 $L$ 可以很容易地得到关于角度 $\phi(\lambda)$ 和坐标时 $t(\lambda)$的方程．

有效势不仅依赖于时空本身的性质，还依赖于粒子本身是否有质量以及守恒角动量密度．在有效势 $V(r)$ 中，第二项是通常的牛顿引力势，第三项是离心势，而最后一项是来自广义相对论的修正项．修正项在 $r$ 很小时会变得很重要．如果不考虑修正项，上面的结果就是在牛顿引力中研究点粒子运动得到的径向运动方程．粒子径向运动的定性行为很容易通过比较 $\frac{1}{2} E^2$ 和 $V(r)$ 来得到。我们先假定粒子是从无穷远开始向内运动的，有以下几种可能性：

（1）受束缚运动．此时 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 有两个交点，粒子的运动在两个交点之间．在牛顿力学中这表现为粒子的运动取椭圆轨道。当这两个交点汇为一个交点时，即 $\frac{1}{2} E^2$与 $V(r)$ 的局部极小点相交时，粒子做稳定的圆周运动．
（2）如果 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 相交一次，也就是说碰到了转折点（turning point），则粒子会反向，掉头向无穷远运动．
（3）如果 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 不相交，即粒子的总能量密度超过了势垒的最高点，则粒子将继续向内运动直到星体上，也就是说粒子被星体捕获．其中当 $\frac{1}{2} E^2$ 正好与 $V(r)$ 的局部极大值相等时，粒子可以做不稳定的圆周运动．

如果粒子是从内向外运动的，与刚才的讨论类似，也有几种可能性：
（1）受束缚运动．此时 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 有两个交点，粒子的运动在两个交点之间，或者粒子做稳定的圆周运动．
（2）如果 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 相交一次，也就是说碰到了转折点，则粒子会反向掉回星体上．
（3）如果 $\frac{1}{2} E^2$ 与 $V(r)$ 不相交，即粒子的总能量密度超过了势垒的最高点，则粒子将摆脱星体的吸引继续向外运动到无穷远．

下面的讨论中我们暂时忽略中心天体本身的半径，也就是说把史瓦西时空作为黑
洞来看待．
我们先来看看在牛顿引力中粒子的运动．对于有质量粒子，其势能为

$$
V(r)=\frac{1}{2}-\frac{G M}{r}+\frac{L^2}{2 r^2}
$$

不难看出，在此势中粒子总有圆周轨道

$$
r_{\mathrm{c}}=\frac{L^2}{G M}
$$

相应的束缚能是 $E=-\frac{G M}{2 r_{\mathrm{c}}}$ ．一个从无穷远处静止释放的粒子必须损失能量才能进入圆周轨道．当然，除了圆周轨道外，也有其他束缚轨道．而对于无质量粒子，其势能为

$$
V(r)=\frac{L^2}{2 r^2}
$$

从中可见，无质量粒子是没有圆周轨道的，也没有束缚轨道．对于一个给定＂能量＂的光子，从无穷远而来，会逐渐＂慢下来＂然后回到无穷远．在牛顿引力中，无质量粒子是不受引力作用的，其运动轨迹是一条直线．

在广义相对论中，粒子的运动将有所不同．对于有质量粒子，其势能为

$$
V(r)=\frac{1}{2}-\frac{G M}{r}+\frac{L^2}{2 r^2}-\frac{G M L^2}{r^3}
$$
我们知道，当 $r \rightarrow 0$ 时，$V \rightarrow-\infty$ ，这与牛顿引力相比有很大的不同．当 $r=R_{\mathrm{s}}$ 时， $V=0$ ．而势能的极值点在

$$
\begin{aligned}
& 0=\frac{\partial V}{\partial r}=r^{-4}\left[G M r^2-L^2 r+3 G M L^2\right] \\
\Rightarrow & R_{ \pm}=\frac{L^2 \pm \sqrt{L^4-12 L^2 M^2 G^2}}{R_{\mathrm{s}}}
\end{aligned}
$$

如果角动量太小，$L^2<12 G^2 M^2$ ，则没有极值点，向内运动的粒子 $\mathrm{d} r / \mathrm{d} \lambda<0$ ，将直接撞到星体表面或者穿过黑洞的视界奔向黑洞中心．如果粒子角动量够大，$L^2>12 G^2 M^2$ ，存在一个极小值点 $R_{+}$和一个极大值点 $R_{-}$．在 $r=R_{+}$处可以有稳定的圆周轨道，而在 $r=R_{-}$处可以有非稳定圆周轨道。当 $L \gg G M$ 时，$R_{+} \sim L^2 / G M$ ，我们得到牛顿引力中的结果．由于 $R_{+}>6 G M$ ，因此没有比 $6 G M$ 更小的稳定圆周轨道．而不稳定圆周轨道处于 $3 G M<R_{-}<6 G M$ ．对于某个圆周轨道 $R_{\mathrm{c}}$ ，我们可以确定所需要的角动量

$$
L=\left(\frac{G M R_{\mathrm{c}}}{1-3 G M / R_{\mathrm{c}}}\right)^{\frac{1}{2}} .
$$

对于圆周轨道 $\mathrm{d} r / \mathrm{d} \lambda=0$ ，所以粒子的守恒能量密度可以求出．在 $R=R_{ \pm}$处，

$$
\frac{1}{2} E^2(R)=V(R) \Rightarrow E(R)=\frac{R-R_{\mathrm{s}}}{\sqrt{R(R-3 G M)}}
$$

我们可以判断在不稳定圆周轨道上的粒子是否能跑到无穷远．当 $R \leqslant 4 G M$ 时，$E \geqslant 1$ ，且如果 $R \rightarrow 3 G M$ ，则 $E, L \rightarrow \infty$ ，所以在 $3 G M$ 到 $4 G M$ 间不稳定圆周轨道上的粒子在微扰下将有可能逃到无穷远，当然也有可能被星体捕获．如果 $4 G M<R<6 G M$ ，由于 $E<1$ ，粒子只能做束缚运动。

当 $L^2=12 G^2 M^2$ 时，情况比较特殊，$R_{+}=R_{-}=6 G M$ ，我们只有一个圆周轨道，称为最内层稳定圆周轨道（innermost stable circular orbit，简记为 ISCO）．这个轨道在天体物理中有重要的物理意义。在一个质量很大的致密星体外面有一个吸积盘 （accretion disk）．吸积盘中的气体由于如磁流体不稳定性造成的湍流黏滞性（turbulent viscosity）而损失角动量，因此气体慢慢向内运动，损失了引力势能而被加热．最终当 $L<L_{\mathrm{c}}$ 时，气体不再能够做圆周运动，而很快地做螺旋运动掉到中心的物体上．ISCO就是这些气体能够不被吸引到中心的最终位置．由此，我们可以估算一下粒子可能损失的能量．在 ISCO 上，粒子的能量密度为 $E^2=8 / 9$ ．假定粒子从无穷远来时的守恒能量密度为 1 ，则其在 ISCO 时单位质量粒子的束缚能是

$$
E_{\mathrm{B}}=1-E=1-\sqrt{8 / 9} \approx 0.0572,
$$
即大约为粒子静止质量 $m_0 c^2$ 的 $5.7 \%$ ．这意味着，粒子在最终被中心致密天体捕获之前，需要释放约 $5.7 \%$ 静止质量的能量。这些能量的释放应该是以引力波的形式，在 ISCO 时效率最大．这个比率是惊人的．与氢核燃烧产生氦做个比较，后者的效率仅为约 $0.7 \%$ 。

对于无质量粒子，$\epsilon=0$ ，广义相对论的预言也与牛顿引力有所不同．粒子的势能为

$$
V(r)=\frac{L^2}{2 r^2}-\frac{G M L^2}{r^3},
$$

我们仍然在 $r=R_{\mathrm{s}}$ 处，$V=0$ 。对于无质量粒子，除了 $L=0$ 外，势能都有一个势垒，但能量足够大的粒子仍然能够翻越势垒被中心所捕捉．而在势垒的最高处，$r=3 G M$ ，我们可以有一个不稳定的圆周轨道．

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