最后更新: 2025-12-07 13:41 查看: 9 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

史瓦西时空中的测地线

8.3 史瓦西时空中的测地线

在本节中，我们讨论粒子在史瓦西时空中的测地运动．我们将讨论的粒子包括有质量粒子和无质量粒子，它们的运动将会有不同的观测效应，包括广义相对论中的经典实验检验。另一方面，对粒子测地运动的研究，将帮助我们揭示史瓦西时空的性质，特别是史瓦西黑洞的性质。

在时空中，粒子的测地线方程为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0 .
$$

利用对应于史瓦西度规的克里斯托弗符号

![图片](/uploads/2025-12/1c68a9.jpg)
 
 这些二阶微分方程看起来很复杂，似乎很难求解，但由于史瓦西时空的对称性，实际上它们是可解的．这里我们并不准备直接求解它们，而是利用对称性定义的守恒量来求解测地线方程．

星体外的史瓦西时空具有一个类时的基灵矢量，以及对应于二维球面转动不变性的 $\mathrm{SO}(3)$ 对称性．可以证明， $\mathrm{U}(1) \times \mathrm{SO}(3)$ 就是史瓦西时空能够拥有的等度规群．对于史瓦西度规，类时基灵矢量为 $\widehat{\xi}=\partial_t\left(r>R_{\mathbf{s}}\right)$ ，其分量为 $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ 。而三个类空的基灵矢量中，比较明显的是 $\partial_\phi$ 。利用基灵对称性，我们可以定义与粒子相关的守恒量：基灵矢量场 $\widehat{K}$ 与测地线切矢量 $\widehat{u}$ 的内积 $\widehat{u} \cdot \widehat{K}$ 沿测地线保持不变：

$$
K_\mu \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\text { 常数, }
$$

这里的 $\lambda$ 对于有质量粒子来说可以是固有时，对于无质量粒子来说是仿射参数．
首先，利用类时基灵矢量 $\xi^\mu=(1,0,0,0)$ ，我们可以定义粒子的守恒能量密度．由 $\xi_\mu=\left(-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right), 0,0,0\right), u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ ，我们得到守恒量

$$
E=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda} .
$$

实际上，$u_0=g_{0 \mu} u^\mu=-E$ ．对有质量粒子的类时测地线而言，$r \rightarrow \infty,\|\widehat{\xi}\|^2 \sim-1, E$变成了一个在无穷远静止观测者看到的单位质量粒子的总能量。这是因为该观测者看到的能量为 $E_{\mathrm{o}}=-\widehat{u}_{\mathrm{obs}} \cdot \widehat{P}=m E$ 。一般而言，相对于无穷远静止观测者，$E$ 代表着单位质量粒子沿测地线运动的总能量，包括引力势能。它可以理解成这个观测者把单位质量粒子放到某轨道上所需的能量，即能量密度。如果是在无穷远静止释放，则 $E=1$ ．而对于无质量粒子的零测地线，$E$ 是无质量粒子如光子的＂总能量＂．严格地说，由于对无质量粒子测地线仿射参数选择的任意性，＂总能量＂的物理意义并不准确，有任意性，并非一个真实的物理量。

其次， $\mathrm{SO}(3)$ 空间转动对称性可以定义粒子的守恒角动量。对于类空基灵矢量场 $\widehat{\eta}=\partial_\phi$ ，或者 $\eta_\mu=\left(0,0,0, r^2 \sin ^2 \theta\right)$ ，相应的粒子守恒量为

$$
L=g^{\mu \nu} \eta_\mu u_\nu=r^2 \sin ^2 \theta \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda}
$$

$L$ 的物理意义是相对于无穷远静止观测者的单位质量粒子的角动量，即角动量密度，或者无质量粒子的＂角动量＂。除了基灵矢量 $\partial_\phi$ 以外，球对称时空还有另外两个基灵矢量，它们定义的守恒量实际上对应着三维角动量矢量的方向。角动量方向的不变性意味着粒子的运动是在一个平面上．我们总可以选择这个平面对应于 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ．这一点也

可以从测地线方程中关于 $\theta$ 的第三个方程中看出．这个方程可以写作

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(r^2 \frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} \l

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