最后更新: 2025-12-07 13:38 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伯克霍夫定理

8.2 伯克霍夫定理

对于真空爱因斯坦方程，其球对称解是唯一的．更准确地说，有下面的定理．
伯克霍夫（Birkhoff）定理 四维史瓦西解是真空爱因斯坦方程的唯一球对称解。
下面我们对此定理给出一个简略的证明．伯克霍夫定理中的＂球对称＂意味着解有着与二维球面相同的对称性．在前面的学习中我们知道球面是最大对称空间．二维球面 $S^2$ 具有三个基灵矢量场 $\left(V^{(1)}, V^{(2)}, V^{(3)}\right)$ ，构成了 $\mathrm{so}(3)$ 李代数：

$$
\begin{aligned}
{\left[V^{(1)}, V^{(2)}\right] } & =V^{(3)}, \\
{\left[V^{(2)}, V^{(3)}\right] } & =V^{(1)}, \\
{\left[V^{(3)}, V^{(1)}\right] } & =V^{(2)} .
\end{aligned}
$$

这里我们需要用到微分几何中的弗罗贝尼乌斯定理：如果有一组互相对易的矢量场，则存在一组坐标函数使这些矢量场是沿着这些坐标的偏导数．也就是说，这些矢量场对应着沿着这些坐标的平移，且这组坐标构成了直角坐标系．进一步地，如果这些矢量场并非对易但形成封闭的代数，则这些矢量场的积分曲线将组合在一起来描述一个子流形，在其上这些矢量场可以很好地定义。也就是说，这些矢量场可以是某个子流形的等度规群．子流形的维数小于或者等于矢量场的数目，但不可能大于矢量场的数目．由于矢量场是在整个流形上定义的，流形上每个点一定在某一个子流形上。对于球对称时空，二维球面就是基灵矢量场形成的子流形，整个时空都如叶子一样＂长＂在二维球面上．

例8．1 三维欧氏空间 $R^3$ ．
三维欧氏空间 $R^3$ 显然是球对称的，用球坐标就可以很清楚地看到这一点．在球坐标中，对每个固定的径向坐标，我们都有一个二维球面，如图 8.1 所示．

![图片](/uploads/2025-12/3da11b.jpg)
 
 例 8.2 具有拓扑 $R \times S^2$ 的虫洞．
此时，我们有球对称性，但没有一个原点使整个时空旋转，整个流形是在二维球面上生成的，如图 8.2 所示．
 ![图片](/uploads/2025-12/00cad3.jpg)
 
 一般而言，如果我们有一个 $n$ 维流形叶状生长在 $m$ 维子流形上，我们可以在 $m$维子流形上使用坐标函数 $u^i$ ，而用 $n-m$ 个坐标函数 $v^I$ 来刻画我们在哪一个子流形上．坐标函数 $u^i$ 和 $v^I$ 描述了整个流形．如果子流形是最大对称空间，如我们要讨论的球对称情形，则有一个强有力的定理：总能找到 $u$ 坐标使整个流形的度规取如下形式：

$$
\mathrm{d} s^2=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu=g_{I J}(v) \mathrm{d} v^I \mathrm{~d} v^J+f(v) \gamma_{i j}(u) \mathrm{d} u^i \mathrm{~d} u^j,
$$

其中 $\gamma_{i j}(u)$ 是子流形上的度规．注意在上面的度规中并不存在 $\mathrm{d} v^I \mathrm{~d} u^j$ 这样的交叉项，而且 $g_{I J}(v)$ 和 $f(v)$ 都只是 $v^I$ 的函数，与 $u^i$ 无关。

对于有球对称的时空，利用坐标变换，我们总可以从如下的度规假定

$$
\mathrm{d} s^2=m(t, r) \mathrm{d} t^2+n(t, r) \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

出发来求解真空爱因斯坦方程．值得一提的是，这里的 $(t, r)$ 只是两个坐标函数，其几何意义并不确定．与闵氏时空的度规
 $$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

比较，我们期待在离星体很远的地方时空是近似平直的，所以我们可以把 $r$ 看作径向坐标，$t$ 看作时间坐标，而取 $m$ 是负的．因此，如下的度规假定将更方便我们的讨论：

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(t, r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(t, r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

注意，这个度规假设完全来自球对称的要求，与爱因斯坦方程无关，因此它也适合于求解非真空爱因斯坦方程的球对称解。对应于此度规的非零克里斯托弗符号为

$$
\begin{gathered}
\Gamma_{00}^0=\partial_0 \alpha, \quad \Gamma_{01}^0=\partial_1 \alpha, \quad \Gamma_{11}^0=\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)} \partial_0 \beta, \\
\Gamma_{00}^1=\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)} \partial_1 \alpha, \quad \Gamma_{01}^1=\partial_0 \beta, \quad \Gamma_{11}^1=\partial_1 \beta, \\
\Gamma_{12}^2=\frac{1}{r}, \quad \Gamma_{22}^1=-r \mathrm{e}^{-2 \beta}, \quad \Gamma_{13}^3=\frac{1}{r}, \\
\Gamma_{33}^1=-r \mathrm{e}^{-2 \beta} \sin ^2 \theta, \quad \Gamma_{33}^2=-\sin \theta \cos \theta, \quad \Gamma_{23}^3=\frac{\cos \theta}{\sin \

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