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伯克霍夫定理

8.2 伯克霍夫定理

对于真空爱因斯坦方程，其球对称解是唯一的．更准确地说，有下面的定理．
伯克霍夫（Birkhoff）定理 四维史瓦西解是真空爱因斯坦方程的唯一球对称解。
下面我们对此定理给出一个简略的证明．伯克霍夫定理中的＂球对称＂意味着解有着与二维球面相同的对称性．在前面的学习中我们知道球面是最大对称空间．二维球面 $S^2$ 具有三个基灵矢量场 $\left(V^{(1)}, V^{(2)}, V^{(3)}\right)$ ，构成了 $\mathrm{so}(3)$ 李代数：

$$
\begin{aligned}
{\left[V^{(1)}, V^{(2)}\right] } & =V^{(3)}, \\
{\left[V^{(2)}, V^{(3)}\right] } & =V^{(1)}, \\
{\left[V^{(3)}, V^{(1)}\right] } & =V^{(2)} .
\end{aligned}
$$

这里我们需要用到微分几何中的弗罗贝尼乌斯定理：如果有一组互相对易的矢量场，则存在一组坐标函数使这些矢量场是沿着这些坐标的偏导数．也就是说，这些矢量场对应着沿着这些坐标的平移，且这组坐标构成了直角坐标系．进一步地，如果这些矢量场并非对易但形成封闭的代数，则这些矢量场的积分曲线将组合在一起来描述一个子流形，在其上这些矢量场可以很好地定义。也就是说，这些矢量场可以是某个子流形的等度规群．子流形的维数小于或者等于矢量场的数目，但不可能大于矢量场的数目．由于矢量场是在整个流形上定义的，流形上每个点一定在某一个子流形上。对于球对称时空，二维球面就是基灵矢量场形成的子流形，整个时空都如叶子一样＂长＂在二维球面上．

例8．1 三维欧氏空间 $R^3$ ．
三维欧氏空间 $R^3$ 显然是球对称的，用球坐标就可以很清楚地看到这一点．在球坐标中，对每个固定的径向坐标，我们都有一个二维球面，如图 8.1 所示．

![图片](/uploads/2025-12/3da11b.jpg)
 
 例 8.2 具有拓扑 $R \times S^2$ 的虫洞．
此时，我们有球对称性，但没有一个原点使整个时空旋转，整个流形是在二维球面上生成的，如图 8.2 所示．
 ![图片](/uploads/2025-12/00cad3.jpg)
 
 一般而言，如果我们有一个 $n$ 维流形叶状生长在 $m$ 维子流形上，我们可以在 $m$维子流形上使用坐标函数 $u^i$ ，而用 $n-m$ 个坐标函数 $v^I$ 来刻画我们在哪一个子流形上．坐标函数 $u^i$ 和 $v^I$ 描述了整个流形．如果子流形是最大对称空间，如我们要讨论的球对称情形，则有一个强有力的定理：总能找到 $u$ 坐标使整个流形的度规取如下形式：

$$
\mathrm{d} s^2=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu=g_{I J}(v) \mathrm{d} v^I \mathrm{~d} v^J+f(v) \gamma_{i j}(u) \mathrm{d} u^i \mathrm{~d} u^j,
$$

其中 $\gamma_{i j}(u)$ 是子流形上的度规．注意在上面的度规中并不存在 $\mathrm{d} v^I \mathrm{~d} u^j$ 这样的交叉项，而且 $g_{I J}(v)$ 和 $f(v)$ 都只是 $v^I$ 的函数，与 $u^i$ 无关。

对于有球对称的时空，利用坐标变换，我们总可以从如下的度规假定

$$
\mathrm{d} s^2=m(t, r) \mathrm{d} t^2+n(t, r) \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

出发来求解真空爱因斯坦方程．值得一提的是，这里的 $(t, r)$ 只是两个坐标函数，其几何意义并不确定．与闵氏时空的度规
 $$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

比较，我们期待在离星体很远的地方时空是近似平直的，所以我们可以把 $r$ 看作径向坐标，$t$ 看作时间坐标，而取 $m$ 是负的．因此，如下的度规假定将更方便我们的讨论：

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(t, r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(t, r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

注意，这个度规假设完全来自球对称的要求，与爱因斯坦方程无关，因此它也适合于求解非真空爱因斯坦方程的球对称解。对应于此度规的非零克里斯托弗符号为

$$
\begin{gathered}
\Gamma_{00}^0=\partial_0 \alpha, \quad \Gamma_{01}^0=\partial_1 \alpha, \quad \Gamma_{11}^0=\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)} \partial_0 \beta, \\
\Gamma_{00}^1=\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)} \partial_1 \alpha, \quad \Gamma_{01}^1=\partial_0 \beta, \quad \Gamma_{11}^1=\partial_1 \beta, \\
\Gamma_{12}^2=\frac{1}{r}, \quad \Gamma_{22}^1=-r \mathrm{e}^{-2 \beta}, \quad \Gamma_{13}^3=\frac{1}{r}, \\
\Gamma_{33}^1=-r \mathrm{e}^{-2 \beta} \sin ^2 \theta, \quad \Gamma_{33}^2=-\sin \theta \cos \theta, \quad \Gamma_{23}^3=\frac{\cos \theta}{\sin \theta} .
\end{gathered}
$$

这里的 $(0,1,2,3)$ 分别代表 $(t, r, \theta, \phi)$ ．由此我们可以得到黎曼张量的各个分量：

$$
\begin{aligned}
R_{101}^0 & =\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)}\left[\partial_0^2 \beta+\left(\partial_0 \beta\right)^2-\partial_0 \alpha \partial_0 \beta\right]+\left[\partial_1 \alpha \partial_1 \beta-\partial_1^2 \alpha-\left(\partial_1 \alpha\right)^2\right] \\
R_{202}^0 & =-r \mathrm{e}^{-2 \beta} \partial_1 \alpha \\
R_{303}^0 & =-r \mathrm{e}^{-2 \beta} \sin ^2 \theta \partial_1 \alpha \\
R_{212}^0 & =-r \mathrm{e}^{-2 \alpha} \partial_0 \beta \\
R_{313}^0 & =-r \mathrm{e}^{-2 \alpha} \sin ^2 \theta \partial_0 \beta \\
R_{212}^1 & =r \mathrm{e}^{-2 \beta} \partial_1 \beta \\
R_{313}^1 & =r \mathrm{e}^{-2 \beta} \sin ^2 \theta \partial_1 \beta \\
R_{323}^2 & =\left(1-\mathrm{e}^{-2 \beta}\right) \sin ^2 \theta
\end{aligned}
$$

以及里奇张量的各个分量：
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
R_{00} & =\left[\partial_0^2 \beta+\left(\partial_0 \beta\right)^2-\partial_0 \alpha \partial_0 \beta\right]+\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}\left[\partial_1^2 \alpha+\left(\partial_1 \alpha\right)^2-\partial_1 \alpha \partial_1 \beta+\frac{2}{r} \partial_1 \alpha\right] \\
R_{11} & =-\left[\partial_1^2 \alpha+\left(\partial_1 \alpha\right)^2-\partial_1 \alpha \partial_1 \beta-\frac{2}{r} \partial_1 \beta\right]+\mathrm{e}^{2(\beta-\alpha)}\left[\partial_0^2 \beta+\left(\partial_0 \beta\right)^2-\partial_0 \alpha \partial_0 \beta\right] \\
R_{01} & =\frac{2}{r} \partial_0 \beta \\
R_{22} & =\mathrm{e}^{-2 \beta}\left[r\left(\partial_1 \beta-\partial_1 \alpha\right)-1\right]+1 \\
R_{33} & =R_{22} \sin ^2 \theta
\end{aligned}\\
&\text { 我们只需要求解真空爱因斯坦方程 } R_{\mu \nu}=0 \text { ．由 } R_{01}=0 \text { ，我们发现 }\\
&\partial_0 \beta=0 \Rightarrow \beta=\beta(r),
\end{aligned}
$$

即 $\beta$ 必须是 $r$ 的函数．因此 $R_{00}$ 和 $R_{11}$ 进一步得到简化，由此导致如下两个方程：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}\left[\partial_1^2 \alpha+\left(\partial_1 \alpha\right)^2-\partial_1 \alpha \partial_1 \beta+\frac{2}{r} \partial_1 \alpha\right] & =0 \\
\partial_1^2 \alpha+\left(\partial_1 \alpha\right)^2-\partial_1 \alpha \partial_1 \beta-\frac{2}{r} \partial_1 \beta & =0
\end{aligned}
$$

这将导出

$$
\partial_1(\alpha+\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \alpha+\beta=g(t),
$$

其中 $g(t)$ 是一个时间的任意函数．也就是说，

$$
\alpha=-\beta(r)+g(t) .
$$

这样，度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{-2 \beta(r)+2 g(t)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

我们仍有自由度来重新定义时间坐标 $\mathrm{d} t \rightarrow \mathrm{e}^{-g(t)} \mathrm{d} t$ ，也就是说我们可以自由地选择 $t$使 $g(t)=0$ ．因此，度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{-2 \beta(r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

这样，所有的度规分量都与 $t$ 无关．实际上我们已经证明了一个重要的事实：如果解存在，任何球对称真空度规都有一个类时的基灵矢量，而且这个度规不止是稳态的，还是静态的．

进一步地，由 $R_{22}=0$ ，我们得到

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2 \alpha}\left(2 r \partial_1 \alpha+1\right)=1 \\
\Rightarrow & \partial_1\left(r \mathrm{e}^{2 \alpha}\right)=1 \\
\Rightarrow & \mathrm{e}^{2 \alpha}=1+\frac{C}{r}
\end{aligned}
$$

其中 $C$ 是一个待定的积分常数．最终，我们得到了一个真空中的球对称时空的度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1+\frac{C}{r}\right) \mathrm{d} t^2+\left(1+\frac{C}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

实际上，我们还需要验证这个度规是否满足 $R_{00}=0$ ．幸运的是，它确实满足．

如前所述，球对称真空解代表的是球对称星体外部的时空几何．当 $r \rightarrow \infty$ 时，我们远离星体，应该期待得到牛顿极限，也就是说

$$
\begin{aligned}
& g_{00}=-\left.\left(1+\frac{C}{r}\right) \sim g_{00}\right|_{\text {Newton }}=-(1+2 \Phi) \\
& g_{r r}=\left(1+\frac{C}{r}\right)^{-1} \approx 1-\left.\frac{C}{r} \sim g_{r r}\right|_{\text {Newton }}=1-2 \Phi
\end{aligned}
$$

其中牛顿引力势 $\Phi=-G M / r$ ．两相比较，我们应该把积分常数 $C$ 认定为 $C=-2 G M$ ．最终，我们得到了著名的史瓦西度规。

史瓦西度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{2 G M}{r}\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-\frac{2 G M}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

注意当 $M \rightarrow 0$ ，即中心没有星体时，时空恢复到闵氏时空．上面的度规是在自然单位制下的形式．由量纲分析，我们可以得到含光速的史瓦西度规形式

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{2 G M}{r c^2}\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-\frac{2 G M}{r c^2}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

在很多文献中，都令 $\mu=G M / c^2$ ，有时甚至简单地令 $G=1$ ．
从史瓦西度规的形式中可以看出，当 $r=0$ 和 $r=2 G M$ 时度规似乎是奇异的．但度规的具体形式与坐标的选择密切相关，或者说与观测者密切相关．上述的两个点也许并非真正的奇点，而有可能是坐标奇点．例如，在二维欧氏空间的极坐标系下度规为 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2$ ，在原点处度规是退化的，而 $g^{\theta \theta}=r^{-2}$ 在原点处发散。然而，我们知道二维平面各处都是平直的，没有奇点存在。这里在度规中表现出的奇异性来自坐标的选择．对史瓦西度规而言，$r=2 G M$ 确实是坐标奇点．

真正的奇点如何判断呢？通常，我们可以利用如下判据：曲率标量变为无穷大的地方是奇点．这里的曲率标量指的是利用黎曼张量、里奇张量、里奇标量以及协变导数构成的标量，如

$$
R, \quad R_2=R^{\mu \nu} R_{\mu \nu}, \quad R_4=R^{\mu \nu \sigma \rho} R_{\mu \nu \sigma \rho}, \quad R_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\rho \sigma \lambda \tau} R_{\lambda \tau}^{\mu \nu}, \quad \cdots
$$

如果这些标量中的一个在某处发散时，则该处为奇点。这只是一个充分条件。另一种判别奇点的方法是通过测地线是否完备来判断，两者通常是等价的。对于史瓦西度规，由于 $R_{\mu \nu}=0, R=0, R_2=0$ ，然而

$$
R^{\mu \nu \rho \sigma} R_{\mu \nu \rho \sigma}=\frac{48 G^2 M^2}{r^6}
$$

所以 $r=0$ 代表一个真正的奇点，而在 $r=2 G M$ 处，曲率标量不会发散．尽管 $r=2 G M$并非奇点，但这个径向位置确实比较特殊。我们后面将看到，它给出了黑洞的视界，常称为史瓦西视界，也称作史瓦西半径，记作

$$
R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2}
$$

从上面的讨论中可以看出，我们选择常数 $C=-2 G M$ 是通过与牛顿近似做比较得到的．从求解的角度来看，$C$ 可以选为任意的常数．特别地，如果我们选择 $C=2 G M$且 $M>0$ ，则度规除了 $r=0$ 处外没有奇点，或者说史瓦西视界处的坐标奇异性此时并不存在．这实际上有严重的物理后果：$r=0$ 处仍然是曲率奇点，但此时没有视界来保护这个奇点，也就是说时空存在裸奇点．我们后面将看到裸奇点的存在是非物理的．

史瓦西度规具有几点重要的性质：
（1）渐近平直．渐近趋向于径向无穷远，即 $r \rightarrow \infty$ 时，史瓦西度规越来越像闵氏时空的度规，这个性质称为渐近平直．物理上，这很容易理解，离星体越来越远时，星体对时空的弯曲越来越弱，时空趋近于平直时空．
（2）史瓦西坐标．史瓦西时空作为真空爱因斯坦方程的解，其存在性与坐标的选择无关，但是史瓦西度规（8．34）用到的坐标具有特别的物理意义。这组坐标 $(t, r, \theta, \phi)$ 称为史瓦西坐标．如前所述，这个度规渐近趋向于闵氏时空，因此这组坐标对应于在径向无穷远处静止观测者的参考系。
（3）稳态和静态．在星体外部史瓦西时空是静态的．但是如果我们把它当作黑洞时空时，这个结论只在 $r>R_{\mathrm{s}}$ 时成立．当 $r<R_{\mathrm{s}}$ 时坐标 $t$ 不再是类时的，也就是说矢量 $\partial_t$ 不再是类时矢量，尽管 $\partial_t$ 总是时空的基灵矢量．这一点在后面讨论史瓦西黑洞时将进一步讨论其物理意义．
我们实际上已经证明了伯克霍夫定理：史瓦西度规是真空爱因斯坦方程唯一的球对称解．在证明中，我们并没有预设时空是稳态或者静态的，也对产生这种时空的源未加任何要求．即使中间的星体是在演化的，如塌缩中，只要其演化是球对称的，外部的时空就不受影响．也就是说不存在时间相关的球对称解。

实际上，我们有另一个定理来说明史瓦西度规的特殊性．
伊斯雷尔（Israel）定理 广义相对论中一个静止的真空引力场必然是球对称的，由史瓦西度规描述。

这样我们就得到了如下唯一性定理 ${ }^{(3)}$ ．
 唯一性定理 史瓦西几何是广义相对论中唯一的静态真空引力场．
由于坐标的选择不同，史瓦西时空的度规可以不取作史瓦西度规的形式，但通过适当的坐标变换，总可以把它变成史瓦西度规的形式．历史上，由于坐标选择的不同，史瓦西时空被＂发现＂了超过二十次．

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