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稳态和静态时空

第八章 球对称史瓦西解

在本章中我们将讨论广义相对论中一个最简单的非平庸解 ——球对称史瓦西解．这个解有着重要的物理意义，它不仅描述了球对称星体外的时空几何，也描述了大质量恒星塌缩形成的黑洞时空。

由于爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}
$$

是一组高度非线性微分方程，对一个任意分布物质给出的能动张量，该方程是很难解析求解的．实际上，即使使用数值方法也不一定有可靠的结果，例如两个黑洞碰撞引起的时空变化直到2005年才有了比较可靠的数值演化结果 ${ }^{(1)}$ 。爱因斯坦本人在广义相对论提出后也认为不可能找到严格解．然而，仅仅在广义相对论提出几个月后，史瓦西就找到了一个严格解 ${ }^{(2)}$ ．史瓦西的策略是寻找一个静态的球对称解．由于爱因斯坦方程是局域方程，如果我们假设星体物质分布是球对称、静态的，可以期待其外部的几何是静态球对称的，而求解星体外部时我们只需要考虑真空爱因斯坦方程就可以了。因此，在本章中我们暂时不必考虑物质分布，而只考虑真空爱因斯坦方程的球对称解。实际上，我们将看到，对于四维真空爱因斯坦方程，可以证明球对称解的唯一性。

8.1 稳态和静态时空

通常，称一个系统处于稳态指的是系统达到稳定，不随时间变化，但可以存在匀速稳定的运动．而静态指的是除了系统稳定以外，再没有任何随时间的运动演化．例如，在一个管道中每点都以常速度稳定传输的气体，处于稳态．这里的讨论明显依赖于一个静止参考系．对于共动参考系，即使以常速度运动的气体看起来也是静止的．对于时空流形，如何确定它是稳态或是静态呢？是否存在与观测者无关的定义呢？

定义 一个度规称为稳态的，如果存在一个特殊的坐标系，在其中度规是明显时
间无关的，即

$$
\left.\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^0}\right|_*=0,
$$

其中 $x^0$ 是这个坐标系中的类时坐标．这实际上意味着 $\partial_{x^0}$ 是一个基灵矢量．简而言之，一个时空称为稳态的，当且仅当它有一个类时基灵矢量场。

对于稳态时空，如果选择合适的坐标系，我们总能使度规取如下形式：

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00}\left(\mathrm{~d} x^0\right)^2+g_{0 i} \mathrm{~d} x^0 \mathrm{~d} x^i+g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j,
$$

其中所有的度规分量都与类时坐标无关，然而度规中允许 $g_{0 i} \neq 0$ ，这意味着时空是可以有演化的．如果进一步要求时空是静止的，也就是要求在变换 $x^0 \rightarrow x^0=-x^0$ 下，时空度规保持不变，这要求

$$
g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}^{\prime} \quad \Rightarrow \quad g_{0 i}=0 .
$$

所以，一个静态时空的可能度规是

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00}\left(\mathrm{~d} x^0\right)^2+g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j .
$$

如果我们想给静态时空一个坐标无关的描述，需要引进超曲面垂直矢量的概念．超曲面可以通过一族方程 $f\left(x^\mu\right)=c$ 来描述。在超曲面上一点 $P$ ，法向余矢的分量为 $n_\mu \equiv \frac{\partial f}{\partial x^\mu}$ ．任何矢量场称为超曲面垂直的（hypersurface－orthogonal），如果它处处与超曲面族垂直，即

$$
X_\mu=\lambda(x) n_\mu=\lambda f_{, \mu}
$$

由此可得

$$
X_\mu \partial_\nu X_\sigma=\lambda f_{, \mu} \partial_\nu\left(\lambda f_{, \sigma}\right)=\lambda f_{, \mu} \lambda_{, \nu} f_{, \sigma}+\lambda^2 f_{, \mu} f_{, \nu \sigma} .
$$

经过反对称化，我们有

$$
X_{[\mu} \partial_\nu X_{\sigma]}=0 \Rightarrow X_{[\mu} \nabla_\nu X_{\sigma]}=0 .
$$

任何超曲面垂直的矢量场都满足（8．7）式．反过来，任何满足（8．7）式的非零基灵矢量场必然是超曲面垂直的．

定理 一个时空称为静态的当且仅当它有一个超曲面垂直的类时基灵矢量场．

证明 对于一个稳态时空而言，存在类时基灵矢量场 $X^\mu=\delta_0^\mu$ ：

$$
X_\mu=g_{\mu \nu} X^\nu=g_{\mu 0}, \quad|X|^2=X_\mu X^\mu=g_{\mu 0} \delta_0^\mu=g_{00} .
$$

如果进一步地，这个基灵矢量场是超曲面垂直的，

$$
X_\mu=|X|^2 f_{, \mu},
$$

其中要求 $f_{, \mu}$ 是归一化的，则有

$$
g_{0 \mu}=g_{00} f_{, \mu} .
$$

对 $\mu=0, f_{, 0}=1$ ，所以

$$
f=x^0+h\left(x^i\right) .
$$

考虑坐标变换

$$
x^0 \rightarrow x^{\prime 0}=x^0+h\left(x^i\right), \quad x^i \rightarrow x^i=x^i,
$$

一个矢量场变换如

$$
X^{\prime \mu}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\nu} X^\nu=\delta_0^\mu,
$$

度规张量场变换如

$$
g_{\mu \nu, 0}^{\prime}=0, \quad g_{00}^{\prime}=g_{00},
$$

而

$$
\begin{aligned}
g_{0 i}^{\prime} & =\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\prime 0}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime i}} g_{\mu \nu} \\
& =\frac{\partial x^0}{\partial x^{\prime 0}}\left(\frac{\partial x^0}{\partial x^{\prime i}} g_{00}+\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime i}} g_{0 j}\right) \\
& =-\partial_i h g_{00}+g_{0 i} .
\end{aligned}
$$

我们可以选择 $\partial_i h=g_{0 i} / g_{00}$ 使 $g_{0 i}^{\prime}=0$ ．在这个新坐标中，$g_{0 i}=0$ ，度规是静态的．
在上面的证明中，仍然存在坐标变换自由度

$$
x^0 \rightarrow x^{\prime 0}=A x^0+B, \quad x^i \rightarrow x^{\prime i}=h^{\prime i}\left(x^j\right),
$$

其中 $A, B$ 是常数而 $h^i$ 任意．这些变换不会改变上面的讨论，得到的度规仍可以保持静态度规的形式．如果边界条件要求在空间无穷远 $g_{00} \rightarrow 1$ ，则 $A=1$ ．这样我们定义了一个称为世界线时间的时间坐标．因此，对静态时空，我们重新获得了牛顿引力中绝对时间的类似想法，即时空可以很好地按照超曲面 $t=$ 常数来切分．

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