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稳态和静态时空

第八章 球对称史瓦西解

在本章中我们将讨论广义相对论中一个最简单的非平庸解 ——球对称史瓦西解．这个解有着重要的物理意义，它不仅描述了球对称星体外的时空几何，也描述了大质量恒星塌缩形成的黑洞时空。

由于爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}
$$

是一组高度非线性微分方程，对一个任意分布物质给出的能动张量，该方程是很难解析求解的．实际上，即使使用数值方法也不一定有可靠的结果，例如两个黑洞碰撞引起的时空变化直到2005年才有了比较可靠的数值演化结果 ${ }^{(1)}$ 。爱因斯坦本人在广义相对论提出后也认为不可能找到严格解．然而，仅仅在广义相对论提出几个月后，史瓦西就找到了一个严格解 ${ }^{(2)}$ ．史瓦西的策略是寻找一个静态的球对称解．由于爱因斯坦方程是局域方程，如果我们假设星体物质分布是球对称、静态的，可以期待其外部的几何是静态球对称的，而求解星体外部时我们只需要考虑真空爱因斯坦方程就可以了。因此，在本章中我们暂时不必考虑物质分布，而只考虑真空爱因斯坦方程的球对称解。实际上，我们将看到，对于四维真空爱因斯坦方程，可以证明球对称解的唯一性。

8.1 稳态和静态时空

通常，称一个系统处于稳态指的是系统达到稳定，不随时间变化，但可以存在匀速稳定的运动．而静态指的是除了系统稳定以外，再没有任何随时间的运动演化．例如，在一个管道中每点都以常速度稳定传输的气体，处于稳态．这里的讨论明显依赖于一个静止参考系．对于共动参考系，即使以常速度运动的气体看起来也是静止的．对于时空流形，如何确定它是稳态或是静态呢？是否存在与观测者无关的定义呢？

定义 一个度规称为稳态的，如果存在一个特殊的坐标系，在其中度规是明显时
间无关的，即

$$
\left.\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^0}\right|_*=0,
$$

其中 $x^0$ 是这个坐标系中的类时坐标．这实际上意味着 $\partial_{x^0}$ 是一个基灵矢量．简而言之，一个时空称为稳态的，当且仅当它有一个类时基灵矢量场。

对于稳态时空，如果选择合适的坐标系，我们总能使度规取如下形式：

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00}\left(\mathrm{~d} x^0\right)^2+g_{0

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