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群的自同构群

3.2 群的自同构群

本节介绍群的自同构群、内自同构群以及群的中心等概念和性质．
一个群到它自身的同构映射称为自同构映射，或简称自同构．由同构关系的反身性、对称性和传递性容易看出，一个群的全部自同构在变换的乘法下成一个群，称为自同构群．群 $G$ 的自同构群记为 Aut $(G)$ ．

作为例子，我们先看看循环群的自同构群。
设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，$\sigma$ 为 $G$ 的自同构．显然，$\sigma$ 完全由 $a$ 的象 $\sigma(a)$ 所决定．又因 $\sigma$ 为满射，故有 $G=\sigma(G)=\langle\sigma(a)\rangle$ ，即 $\sigma(a)$ 还是 $G$ 的生成元．可以证明

定理 3．2．1 设 $G=\langle a\rangle$ 是循环群，对任意整数 $k$ ，记 $\sigma_k(a)=a^k$ ，它是 $G$ 上的自同态。

（1）若 $G$ 为无限循环群，则 $\operatorname{Aut}(G)=\left\{\sigma_1=1_G, \sigma_{-1}\right\}$ ，它是一个 2 阶循环群．
（2）若 $G$ 为 $n$ 阶循环群，则 Aut $(G)=\left\{\sigma_k \mid(k, n)=1,1 \leqslant k \leqslant n\right\}$ ，它同构于乘法群 $(\mathbf{Z} /(n))^*=\{\bar{k} \mid(k, n)=1,1 \leqslant k \leqslant n\}$ ．

证明（1）若 $G$ 为无限循环群，容易验证 $\sigma_1: a^i \rightarrow a^i$ 和 $\sigma_{-1}: a^i \rightarrow a^{-i}$ 都是群 $G$ 的自同构，其中 $\sigma_1(a)=a, \sigma_{-1}(a)=a^{-1}$ ．另一方面，由上面的分析，循环群的自同构把生成元变为生成元，而无限循环群 $G=\langle a\rangle$ 恰有两个生成元 $a, a^{-1}$ ，故 $G$ 只有上面两种自同构，从而

$$
\operatorname{Aut}(G)=\left\{\sigma_1=1_G, \sigma_{-1}\right\},
$$

它是一个2阶循环群。
（2）若 $G$ 为 $n$ 阶循环群，容易验证对任意正整数 $k,(k, n)=1,1 \leqslant k \leqslant n$ ， $\sigma_k: a^i \rightarrow a^{i k}$ 都是群 $G$ 的自同构．另一方面，由上面的分析，循环群的自同构把生成元变为生成元，而 $n$ 阶循环群 $G=\langle a\rangle$ 恰有 $\varphi(n)$ 个生成元 $a^k$ ，这里 $(k, n)=1,1 \leqslant k \leqslant n$ ，故 $G$ 只有上面 $\varphi(n)$ 种自同构，从而

$$
\operatorname{Aut}(G)=\left\{\sigma_k \mid(k, n)=1,1 \leqslant k \leqslant n\right\} .
$$

$(\mathbf{Z} /(n))^*$ 关于模 $n$ 的同余类的乘法构成群，令 $\psi:(\mathbf{Z} /(n))^* \rightarrow \operatorname{Aut}(G)$ 为 $\bar{k} \rightarrow \sigma_k$ ，容易验证 $\psi$ 给出了乘法群 $(\mathbf{Z} /(n))^*$ 到 Aut $(G)$ 的同构．

\＃

下面分析一般群的自同构。为此，先给出群的中心的概念。
定义 3．2．1 群 $G$ 的中心 $C(G)$ 定义为

$$
C(G)=\{x \in G \mid \text { 对任意 } g \in G, x g=g x\} \text {, }
$$

显然 $e \in C(G)$ ．若 $C(G)=\{e\}$ ，则称 $G$ 为无中心群．否则，称 $G$ 有非平凡的中心。

关于群的中心，容易证明 $C(G) \triangleleft G$ ，并且 $G$ 是交换群当且仅当 $C(G)=G$ ．
设 $G$ 为一个群，对任意 $a \in G$ ，映射 $\sigma_a: x \rightarrow a x a^{-1}$ 给出了群 $G$ 的一个自同构．称 $\sigma_a$ 为 $G$ 的（由 $a$ 诱导的）内自同构．可以证明，群 $G$ 的内自同构全体构成一个群，且有

定理 3．2．2 设 $\operatorname{Inn}(G)$ 是 $G$ 的全体内自同构组成的集合，则
（1） $\operatorname{Inn}(G) \triangleleft$ Aut $(G)$ ．
（2） $\operatorname{Inn}(G) \cong G / C(G)$ ．特别，当 $C(G)=\{e\}$ 时，有 $\operatorname{Inn}(G) \cong G$ ．
证明（1）先证 $\operatorname{Inn}(G)$ 是 $\operatorname{Aut}(G)$ 的子群．事实上，对任意 $\sigma_a, \sigma_b \in \operatorname{Inn}(G)$ ，有

$$
\sigma_a \sigma_b(x)=\sigma_a\left(\sigma_b(x)\right)=\sigma_a\left(b x b^{-1}\right)=a\left(b x b^{-1}\right) a^{-1}=(a b) x(a b)^{-1}=\sigma_{a b}(x),
$$

$$
\sigma_a \sigma_a^{-1}(x)=\sigma_a\left(a^{-1} x a\right)=a\left(a^{-1} x a\right) a^{-1}=x,
$$

故 $\sigma_a \sigma_b \in \operatorname{Inn}(G)$ ，且 $\left(\sigma_a\right)^{-1}=\sigma_a^{-1} \in \operatorname{Inn} G$ ，因此 $\operatorname{Inn}(G) \leqslant \operatorname{Aut}(G)$ ．
再证正规性．对任意 $\tau \in \operatorname{Aut}(G), \sigma_a \in \operatorname{Inn}(G)$ ，有

$$
\begin{aligned}
\tau \sigma_a \tau^{-1}(x) & =\tau \sigma_a\left(\tau^{-1}(x)\right)=\tau\left(a\left(\tau^{-1}(x)\right) a^{-1}\right)=\tau(a) x \tau\left(a^{-1}\right) \\
& =(\tau(a)) x(\tau(a))^{-1}=\sigma_{\tau(a)}(x)
\end{aligned}
$$

故 $\tau \sigma_a \tau^{-1}=\sigma_{\tau(a)} \in \operatorname{Inn}(G)$ ，因此 $\operatorname{Inn}(G) \triangleleft$ Aut $(G)$ ．
（2）令

$$
\psi: G \rightarrow \operatorname{Inn}(G), a \rightarrow \sigma_a
$$

显然 $\psi$ 为满射．又因为 $\psi(a b)=\sigma_{a b}=\sigma_a \sigma_b=\psi(a) \psi(b)$ ，故 $\psi$ 为满同态．
另一方面，我们有
$\operatorname{Ker}(\psi)=\left\{a \in G \mid \psi(a)=\sigma_a=e\right\}=\left\{a \in G \mid\right.$ 对任意 $x \in G$ ，有 $\left.a x a^{-1}=x\right\}=C(G)$,
故由同态基本定理知， $\operatorname{Inn}(G) \cong G / C(G)$ ．特别，当 $C(G)=\{e\}$ 时，有 $\operatorname{Inn}(G) \cong G$ ．

\＃

群 $G$ 的自同构群对于内自同构群的商群

$$
\operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G)
$$

称为群 $G$ 的外自同构群，记为 $\operatorname{Out}(G)$ ．

由定理 3．2．2 的结论知，当 $C(G)=\{e\}$ 时，有 $G \cong \operatorname{Inn}(G) \leqslant \operatorname{Aut}(G)$ ，此时可以认为 $G$ 是其自同构群 Aut $(G)$ 的子群．可以证明：

定理 3．2．3 若群 $G$ 的中心只含有单位元，则其自同构群 $\operatorname{Aut}(G)$ 的中心也只含有单位元素．即若 $C(G)=\{e\}$ ，则 $C(\operatorname{Aut}(G))=\left\{1_G\right\}$ ．

证明 若 $C(G)=\{e\}$ ，先证明与全体内自同构交换的自同构一定是单位自同构。

任取 $a \in G, \tau \in \operatorname{Aut}(G)$ ，设与 $a$ 对应的内自同构为 $\sigma_a \in \operatorname{Inn}(G)$ ，由定理 3．2．2 的证明知，

$$
\tau \sigma_a \tau^{-1}=\sigma_{\tau(a)} .
$$

若 $\tau \sigma_a=\sigma_a \tau$ ，那么 $\sigma_a=\sigma_{\tau(a)}$ ，即 $\tau(a) a^{-1} \in C(G)=\{e\}$ ．又因为 $C(G)= \{e\}$ ，故对任意 $a \in G$ ，有 $\tau(a)=a$ ．这就是说，$\tau$ 是单位自同构，因而 $C(\operatorname{Aut}(G))= \left\{1_G\right\}$ ．

\＃

这个结果说明，从一个中心是单位的群 $G$ 出发，作自同构群可以得到

$$
G \leqslant \operatorname{Aut}(G) \leqslant \operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(G)) \leqslant \cdots .
$$

维兰特（Wielandt）在 1951 年证明了上述群的升链在有限步后一定终止．即有限步后我们一定得到一个群，它的自同构都是内自同构．

若 $C(G)=\{e\}$ 并且 Aut $(G)=\operatorname{Inn}(G)$ ，则 $G$ 称为完全群．例如，可以证明 $S_3$ 是完全群，因为 $C\left(S_3\right)=\{(1)\}$ 且 Aut $\left(S_3\right) \cong S_3$ ．

需要说明的是，群 $G$ 的很多性质对自同构群 $\operatorname{Aut}(G)$ 可能是不成立的．
例 3．2．1 不同构的群的自同构群有可能同构．
比如，无限循环群与 3 阶循环群的自同构群都是 2 阶群。
例 3．2．2 交换群的自同构群可能为非交换群。
比如，克莱因四元群 $K$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(K) \cong S_3$ ．
例 3．2．3 无限群的自同构群可为有限群．
比如，无限循环群的自同构群的阶等于 2 。
对于一般群 $G$ ，求其自同构群 Aut $(G)$ 通常是困难的，然而对有限群 $G$ 的自同构群 Aut $(G)$ 的阶的上界及下界，数学工作者们做了许多有意义的探索工作．

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