最后更新: 2025-12-08 19:30 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

共轭关系、群方程

3.3 共轭关系、群方程

本节将介绍群 $G$ 中元素和子群的共轭关系，并分析其性质。为此，先给出群的中心化子和正规化子的概念．

定义3．3．1 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，集合

$$
C_G(H)=\{x \in G \mid \text { 对任意 } h \in H, x h=h x\}
$$

称为 $H$ 在 $G$ 中的中心化子．在不引起混淆的情况下，常把 $C_G(H)$ 简记为 $C(H)$ ．
关于中心化子，可以证明：$C(H) \leqslant G$ ，且对任意 $g \in G$ ，有

$$
C\left(g H g^{-1}\right)=g C_G(H) g^{-1} .
$$

特别地，也可以如下定义一个元素的中心化子，即有
定义3．3．2 设 $G$ 是一个群，$a \in G$ ，集合

$$
C_G(a)=\{x \in G \mid x a=a x\}
$$

称为 $a$ 在 $G$ 中的中心化子．在不引起混淆的情况下，常把 $C_G(a)$ 简记为 $C(a)$ ．
可以证明：$C_G(a) \leqslant G$ ，并且 $C_G(a)=G$ 当且仅当 $a \in C(G)$ ．
下面介绍子群的正规化子．
定义3．3．3 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，集合

$$
N_G(H)=\{x \in G \mid x H=H x\}
$$

称为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子．在不引起混淆的情况下，常把 $N_G(H)$ 简记为 $N(H)$ ．
关于正规化子，可以证明：$N(H) \leqslant G, H \triangleleft N(H)$ ，并且

$$
N(H)=G \text { 当且仅当 } H \text { 是 } G \text { 的正规子群. }
$$

容易看出 $C(H)$ 是 $N(H)$ 的子集，进而还可以证明 $C(H) \triangleleft N(H)$ ．
定义 3．3．4 设 $G$ 是一个群，$a, b$ 是 $G$ 中的两个元素．如果存在 $g \in G$ 使 $b=g a g^{-1}$ ，则称 $a$ 和 $b$ 是共轭的。

易知，$G$ 的元素之间的共轭关系是一个等价关系．

既然共轭关系是一个等价关系，那么 $G$ 的全部元素就按此关系分成若干个等价类，每个等价类叫做一个共轭元素类。同一个共轭元素类中的元素具有相同的阶．$a$ 所在的共轭元素类通常记为 $\bar{a}$ ，其中 $\bar{a}=\left\{g a g^{-1} \mid g \in G\right\}$ 。

例如，对称群 $S_3$ 中含有如下 3 个共轭元素类：

$$
\left.\overline{(1)}=\{(1)\}, \quad \overline{(1} 2)=\left\{\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
2 & 3
\end{array}\right)\right\}, \quad \overline{\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2
\end{array}\right)\right\} .
$$

对称群 $S_4$ 中含有如下 5 个共轭元素类：

$$
\begin{aligned}
& \overline{(1)}=\{(1)\}, \\
& \overline{(12)}=\{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\}, \\
& \overline{(12)(34)}=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \text {, } \\
& \overline{(1} 23)=\{(123),(132),(124),(142)

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