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群在集合上的作用

3.4 群在集合上的作用
3.3 节介绍了群中元素、群的子群间的共轭关系，并分析了共轭类的性质．本节介绍更一般的群在集合上的作用的概念，并介绍轨道、轨道公式及其他性质。

定义 3．4．1 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一非空集合．若 $f: G \times X \rightarrow X$ 是映射且满足：对任意 $g_1, g_2 \in G, x \in X$ ，有
（1）$f(e, x)=x$ ；
（2）$f\left(g_1 g_2, x\right)=f\left(g_1, f\left(g_2, x\right)\right)$ ．
则 $f$ 称为群 $G$ 在集合 $X$ 上的一个作用，也称群 $G$ 作用在集合 $X$ 上．
上述群作用的定义中，对应关系 $f(g, x)$ 可以简记为 $g(x)$ ，按这个写法，定义中的条件就可以写成：
（1）$e(x)=x$ ；
（2）$g_1 g_2(x)=g_1\left(g_2(x)\right)$ ．
下面看几个例子．
例 3．4．1 设 $G$ 是一个群，取 $X=G$ ，定义

$$
g(x)=g x, \text { 对任意 } g, x \in G,
$$

这就给出了一个群在集合 $G$ 上的作用．这就是我们以前所谓的左平移变换．

例 3．4．2 设 $G$ 是一个群，取 $X=G$ ，定义

$$
g(x)=g x g^{-1} \text {, 对任意 } g, x \in G \text {, }
$$

这就是群上所谓的共轭变换．
例 3．4．3 设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的子群，取 $X=G / H=\{x H \mid x \in G\}$ 为 $G$ 关于 $H$ 的所有左陪集构成的集合，定义

$$
g(x H)=g x H \text {, 对任意 } g, x \in G \text {, }
$$

这就决定了群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用．由左陪集构成的集合通常称为群 $G$ 的一个齐性空间。

著名的凯莱定理说明，任意一个群 $G$ 都同 $G$ 上的一个双射变换群同构，即存在 $G$ 到对称群 $S(G)$ 的同态映射．下面的定理说明一般的群作用也可以诱导出群 $G$ 到对称群 $S(X)$ 的同态映射。

定理 3．4．1 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一非空集合，则存在群 $G$ 对集合 $X$ 的作用当且仅当存在群 $G$ 到 $S(X)$ 的同态．

证明 根据群作用的定义，如果群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，那么群的每个元素 $g$都对应集合 $X$ 到自身的一个映射：

$$
\sigma_g: x \rightarrow g(x) .
$$

由定义中的条件，我们有

$$
g^{-1}(g(x))=g^{-1} g(x)=1_G(x)=x, \quad g\left(g^{-1}(x)\right)=1_G(x)=x,
$$

故 $\sigma_g$ 为可逆映射，从而 $\sigma_g \in S(X)$ ，且 $\sigma_g^{-1}=\sigma_{g-1}$ ．
又因为 $\sigma_{g h}=\sigma_g \sigma_h$ ，故 $\psi: g \rightarrow \sigma_g$ 是群 $G$ 到 $S(X)$ 的一个同态映射．
反之，若存在同态映射 $\psi: G \rightarrow S(X)$ ，定义

$$
g(x)=\psi(g)(x) \text {, 对任意 } g \in G, x \in X \text {, }
$$

则它决定了群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用．
从上面的分析知，存在群 $G$ 对集合 $X$ 的作用当且仅当存在群 $G$ 到 $S(X)$ 的同态。

\＃

定义 3．4．2 设 $G$ 是群，$X$ 是一非空集合，则 $G$ 到 $S(X)$ 的同态 $\psi$ 称为 $G$在 $X$ 上的置换表示．若 $\operatorname{Ker}(\psi)=\{e\}$ ，则 $\psi$ 称为如实的（忠

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