最后更新: 2025-12-10 21:46 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

群在集合上的作用

3.4 群在集合上的作用
3.3 节介绍了群中元素、群的子群间的共轭关系，并分析了共轭类的性质．本节介绍更一般的群在集合上的作用的概念，并介绍轨道、轨道公式及其他性质。

定义 3．4．1 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一非空集合．若 $f: G \times X \rightarrow X$ 是映射且满足：对任意 $g_1, g_2 \in G, x \in X$ ，有
（1）$f(e, x)=x$ ；
（2）$f\left(g_1 g_2, x\right)=f\left(g_1, f\left(g_2, x\right)\right)$ ．
则 $f$ 称为群 $G$ 在集合 $X$ 上的一个作用，也称群 $G$ 作用在集合 $X$ 上．
上述群作用的定义中，对应关系 $f(g, x)$ 可以简记为 $g(x)$ ，按这个写法，定义中的条件就可以写成：
（1）$e(x)=x$ ；
（2）$g_1 g_2(x)=g_1\left(g_2(x)\right)$ ．
下面看几个例子．
例 3．4．1 设 $G$ 是一个群，取 $X=G$ ，定义

$$
g(x)=g x, \text { 对任意 } g, x \in G,
$$

这就给出了一个群在集合 $G$ 上的作用．这就是我们以前所谓的左平移变换．

例 3．4．2 设 $G$ 是一个群，取 $X=G$ ，定义

$$
g(x)=g x g^{-1} \text {, 对任意 } g, x \in G \text {, }
$$

这就是群上所谓的共轭变换．
例 3．4．3 设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的子群，取 $X=G / H=\{x H \mid x \in G\}$ 为 $G$ 关于 $H$ 的所有左陪集构成的集合，定义

$$
g(x H)=g x H \text {, 对任意 } g, x \in G \text {, }
$$

这就决定了群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用．由左陪集构成的集合通常称为群 $G$ 的一个齐性空间。

著名的凯莱定理说明，任意一个群 $G$ 都同 $G$ 上的一个双射变换群同构，即存在 $G$ 到对称群 $S(G)$ 的同态映射．下面的定理说明一般的群作用也可以诱导出群 $G$ 到对称群 $S(X)$ 的同态映射。

定理 3．4．1 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一非空集合，则存在群 $G$ 对集合 $X$ 的作用当且仅当存在群 $G$ 到 $S(X)$ 的同态．

证明 根据群作用的定义，如果群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，那么群的每个元素 $g$都对应集合 $X$ 到自身的一个映射：

$$
\sigma_g: x \rightarrow g(x) .
$$

由定义中的条件，我们有

$$
g^{-1}(g(x))=g^{-1} g(x)=1_G(x)=x, \quad g\left(g^{-1}(x)\right)=1_G(x)=x,
$$

故 $\sigma_g$ 为可逆映射，从而 $\sigma_g \in S(X)$ ，且 $\sigma_g^{-1}=\sigma_{g-1}$ ．
又因为 $\sigma_{g h}=\sigma_g \sigma_h$ ，故 $\psi: g \rightarrow \sigma_g$ 是群 $G$ 到 $S(X)$ 的一个同态映射．
反之，若存在同态映射 $\psi: G \rightarrow S(X)$ ，定义

$$
g(x)=\psi(g)(x) \text {, 对任意 } g \in G, x \in X \text {, }
$$

则它决定了群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用．
从上面的分析知，存在群 $G$ 对集合 $X$ 的作用当且仅当存在群 $G$ 到 $S(X)$ 的同态。

\＃

定义 3．4．2 设 $G$ 是群，$X$ 是一非空集合，则 $G$ 到 $S(X)$ 的同态 $\psi$ 称为 $G$在 $X$ 上的置换表示．若 $\operatorname{Ker}(\psi)=\{e\}$ ，则 $\psi$ 称为如实的（忠实的）．

对于例 3．4．1 中的群作用，容易验证同态核 $\operatorname{Ker}(\psi)=\{g \in G \mid$ 对任意 $x \in G$ ，有 $g x=x\}=\{e\}$ ，这个群作用是如实的．对于例 3．4．2 和例 3．4．3 中的群作用，容

易验证其同态核分别为
$\operatorname{Ker}(\psi)=\left\{g \in G \mid\right.$ 对任意 $x \in G$ ，有 $\left.g x g^{-1}=x\right\}=C(G)$,

$$
\operatorname{Ker}(\psi)=\{g \in G \mid \text { 对任意 } x \in G \text {, 有 } g x H=x H\}=\bigcap_{x \in G} x H x^{-1} \text {, }
$$

因此例 3．4．2 和例 3．4．3 中的群作用一般不是如实的．
定义 3．4．3 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，对任意 $x, y \in X$ ，定义

$$
x \sim y \text { 当且仅当存在 } g \in G \text {, 使 } y=g(x)
$$

可以证明 $\sim$ 是 $X$ 上的一个等价关系．元素 $x$ 所在的等价类 $\bar{x}$ 称为 $x$ 的 $G$－轨道，记为 $x^G$ ，或者 $O_x$ ．显然有

$$
x^G=\{g(x) \mid g \in G\} .
$$

在这个等价关系下，集合 $X$ 中的元素可以分解成不同的轨道的并，即有

$$
X=\bigcup_{x \in X} x^G \text {, 其中 } x \text { 取遍不同轨道的代表元. }
$$

若 $X$ 只含有一个轨道，即存在 $x \in X$ ，使得 $X=x^G$ ，则称 $G$ 对 $X$ 的作用是可迁的（或传递的），简称 $G$ 是可迁的．不难证明，例 3．4．1 和例 3．4．3 的群作用是可迁的（留作习题）．

另一方面，对任意 $x \in X$ ，显然 $x \in x^G$ 。若 $x^G=\{x\}$ ，则称 $x$ 为 $G$ 的一个不动点（也称 $x$ 为 $X$ 的一个不动点）．更一般地，若存在 $g \in G$ ，使得 $g(x)=x$ ，也称 $x$ 为 $g$ 的一个不动点．可以证明：$G$ 中以 $x$ 为不动点的所有元素的集合也构成 $G$ 的一个子群，这就是下面要介绍的稳定子群．

定义 3．4．4 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，对任意 $x \in X$ ，记

$$
G_x=\{g \in G \mid g(x)=x\},
$$

则 $G_x$ 是 $G$ 的一个子群，称为元素 $x$ 在 $G$ 中的稳定子群。
若对任意 $x \in X$ ，均有 $G_x=\{e\}$ ，则 $G$ 称为半正则的．若 $G$ 既是可迁的又是半正则的，则 $G$ 称为正则的．

考虑对称群 $S_n$ 或其子群对集合 $X=\{1,2, \cdots, n\}$ 的置换作用，则有下面的例子。

例 3．4．4 克莱因四元群 $\left\{f_1=(1), f_2=(12)(34), f_3=(13)(24), f_4=\right.$ （14）（23）$\}$ 对集合 $X=\{1,2,3,4\}$ 的置换作用是可迁的，其中

$$
1 \xrightarrow{(1)} 1, \quad 1 \xrightarrow{(12)(34)} 2, \quad 1 \xrightarrow{(13)(24)} 3, \quad 1 \xrightarrow{(14)(23)} 4,
$$

$X$ 中每个元素的稳定子群都是单位元群，故克莱因四元群是正则的．容易验证其子群 $\{(1),(12)(34)\}$ 不是可迁的但是半正则的，而群 $\{(1),(12)\}$ 既非可迁的又非半正则的．

类似于 4.3 节的讨论，可以证明轨道 $x^G$ 中的元素与 $G_x / G$ 中的元素存在一一对应，即有

定理 3．4．2 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，则对任意 $x \in X$ ，有

$$
\left|x^G\right|=\left[G: G_x\right],
$$

$$
\psi: g(x) \rightarrow g G_x
$$

可以证明 $\psi$ 是一个双射．事实上，我们有

$$
\begin{aligned}
g(x)=h(x) & \text { 当且仅当 } h^{-1} g(x)=x \\
& \text { 当且仅当 } h^{-1} g \in G_x, \text { 即 } g G_x=h G_x,
\end{aligned}
$$

\＃
推论 3．4．2 设 $G$ 是 $p$ 群，$G$ 作用在有限集合 $X$ 上，$|X|=n,(n, p)=1$ ，则 $X$ 中有不动点．

证明 设 $x_1^G, \cdots, x_m^G$ 是集合 $X$ 的全部轨道，则有

$$
n=|X|=\sum_{i=1}^m\left|x_i^G\right| .
$$

若 $X$ 没有不动点，则 $\left|x_i^G\right|>1$ ，且 $\left|x_i^G\right|||G|$ ．由于 $G$ 是 $p$ 群，故有 $p|\left|x_i^G\right|$ ，于是 $p \mid n$ ，这与 $(n, p)=1$ 矛盾，故 $X$ 必有不动点。

\＃

进一步，有
推论 3．4．3 设 $G$ 是 $p$ 群，$G$ 作用在有限集合 $X$ 上，$|X|=n$ ，记 $t$ 为 $X$ 中不动点的个数，则

$$
t \equiv n(\bmod p)
$$

定理 3．4．2 及其三个推论刻画了群作用下每个轨道的元素个数、不动点数与群及集合的元素个数之间的关系．
此外，还可以证明同一轨道中的元素的稳定子群是相互共轭的，即有
命题 3．4．1 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，若 $x \in X, g \in G$ ，则 $G g(x)=g G_x g^{-1}$ 。
证明 注意到

$$
\begin{aligned}
h \in G_{g(x)} & \text { 当且仅当 } h(g(x))=g(x) \\
& \text { 当且仅当 } g^{-1} h g(x)=x \\
& \text { 当且仅当 } g^{-1} h g \in G_x, \text { 即 } h \in g G_x g^{-1},
\end{aligned}
$$

故有 $G_{g(x)}=g G_x g^{-1}$ ．

\＃

本节的最后介绍群作用间的等价．
定义 3．4．5 设 $G$ 是一个群，$X, X^{\prime}$ 是两个非空集合，$G$ 作用在 $X$ 上，同时 $G$ 也作用在 $X^{\prime}$ 上．如果存在一一对应 $\varphi: X \rightarrow X^{\prime}$ ，使得

$$
\varphi(g(x))=g(\varphi(x))
$$

则称这两个作用是等价的．
群 $G$ 上的左平移和右平移作用是等价的．此外还可以证明下面的结论成立．
命题 3．4．2 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，$x \in X, x^G$ 是 $x$ 所在的轨道，$G_x$ 是 $x$ 的稳定子群，则群 $G$ 在 $x^G$ 上的作用与群 $G$ 在齐性空间上 $G / G_x$ 的作用等价．

证明 由轨道的定义，对任意 $y \in x^G$ 和任意 $g \in G$ ，显然有 $g(x) \in x^G$ ，故考虑 $G$ 在 $x^G$ 上的作用是有意义的．

对任意 $g_1, g_2 \in G$ ，注意到 $g_1(x)=g_2(x)$ 当且仅当 $g_2^{-1} g_1 \in G_x$ 当且仅当 $g_1 G_x=g_2 G_x$ ，故可以构造映射 $\psi: G / G_x \rightarrow x^G$ ，使得 $\psi\left(g G_x\right)=g(x)$ 。容易验证 $\varphi$ 为一一对应，且

$$
\psi\left(g\left(a G_x\right)\right)=\psi\left(g a G_x\right)=g a(x)=g\left(\psi\left(a G_x\right)\right),
$$

故 $G$ 在 $x^G$ 上的作用与群 $G$ 在齐性空间上 $G / G_x$ 的作用等价． \＃
由命题 3．4．2 知，群 $G$ 上可迁的群作用都与 $G$ 在齐性空间上 $G / G_x$ 的作用等价，其中 $x \in X, G_x$ 是 $x$ 的稳定子群．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：共轭关系、群方程

下一篇：伯恩赛德引理及其应用

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)