最后更新: 2025-12-10 21:50 查看: 10 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伯恩赛德引理及其应用

3.5 伯恩赛德引理及其应用＊

本节进一步讨论有限群对有限集合作用的轨道数计数，并给出它在一些与对称性有关的计数问题中的应用。

一般群作用下的轨道个数可以按照如下的伯恩赛德（Burnside）引理计算．
伯恩赛德引理 设有限群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上，则 $X$ 在 $G$ 作用下的轨道数为

$$
N=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g),
$$

其中 $\chi(g)=|\{x \in X \mid g(x)=x\}|$ 为 $g$ 在 $X$ 上的不动点数，和式是对每一个群元素求和。

证明 设 $X=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}, G=\left\{g_1, g_2, \cdots, g_m\right\}$ ，将 $G$ 作用于 $X$ 上的不动点情况用表 3－1 表示出来，表的行序号为 $X$ 的元素：$x_1 \cdots x_j \cdots x_n$ ，表的列序号为 $G$ 的元素：$g_1 \cdots g_i \cdots g_m$ ，表中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记为 $E_{i j}$ ，并令

$$
E_{i j}= \begin{cases}1, & \text { 当 } g_i\left(x_j\right)=x_j, \\ 0, & \text { 否则 },\end{cases}
$$

其中 $i=1,2, \cdots, m, j=1,2, \cdots, n$ ．
把表 3－1 的每一行上的元素加起来，其和正好是 $g_i$ 的不动点数目 $\chi\left(g_i\right)$ ，把每一列的元素加起来，其和正好是 $\left|G_{x_j}\right|$ ．于是得到 $\sum_{x \in X}\left|G_x\right|=\sum_{g \in G} \chi(g)$ ．

![图片](/uploads/2025-12/8b66a0.jpg)
 
 由于 $X$ 是有限集，在 $G$ 的作用下形成的轨道数是有限的，故可设 $X$ 在 $G$ 作用下的轨道为 $\Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_N$ ．可把卡式左边的和式先对同一轨道上的元素 $x$ 对应的 $\left|G_x\right|$ 相加，然后再对不同的轨道相加，即 $\sum_{x \in X}\left|G_x\right|=\sum_{k=1}^N \sum_{x \in \Omega_k}\left|G_x\right|$ ．

由于 $G_{g(x)}=g G_x g^{-1},\left|G_{g(x)}\right|=\left|G_x\right|$ ，即同一轨道上的稳定子群的阶数相同，故 $\sum_{x \in \Omega_k}\left|G_x\right|=\left|\Omega_k\right|\left|G_x\right|=|G|$ ，所以

$$
\sum_{x \in X}\left|G_x\right|=\sum_{k=1}^N|G|=N|G|=\sum_{g \in G} \chi(g) .
$$

例 3．5．1 设集合 $X=\{1,2,3,4,5\}$ ，群 $G=\{(1),(12),(345),(354),(12) (345),(12)(354)\}$ ，则 $X$ 在 $G$ 作用下的所有轨道和稳定子群为

$$
\left.\left.\begin{array}{c}
1^G=\{1,2\}, G_1=G_2=\left\{(1),\left(\begin{array}{lll}
3 & 4 & 5
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
3 & 5 & 4
\end{array}\right)\right\}, \\
3^G=\{3,4,5\}, G_3=G_4=G_5=\{(1),(1
\end{array}\right)\right\},
$$

由此可见，$X$ 恰有两个轨道。
另一方面，利用伯恩赛德引理，我们可以分别计算 $G$ 的每一个元素在 $X$ 上的不动点数如下：

$$
\begin{gathered}
\chi((1))=5, \quad \chi((12))=3, \quad \chi((345))=\chi((354))=2, \\
\chi((12)(345))=\chi((12)(345))=0 .
\end{gathered}
$$

故轨道数 $N=\frac{1}{6}(5+3+2+2)=2$ ，这与直接计算的结果一致．
利用伯恩赛德引理，可以解决与对称性相关的一些计算问题．
下面考虑如下的项链计数问题：设有 $n$

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