最后更新: 2025-12-08 19:25 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

群的同构定理

本章介绍群的同构定理、群的自同构群、群中的共轭关系、群方程、 $p$ 群的性质、群作用、西罗定理、群的直和、分析有限群的结构，介绍伯恩赛德引理及其在计数问题中的应用．
3.1 群的同构定理

在正规子群、商群以及同态和同构映射之间，存在着一些极为重要的内在联系．通过这些联系，我们将看到正规子群和商群在群研究中的重要作用．

由上节知，同态的核是正规子群，而且每个正规子群也都是某个同态的核。特别地，设 $H$ 是群 $G$ 的任一正规子群，则存在群 $G$ 到其商群 $G / H$ 的自然同态

$$
\varphi(a)=a H,
$$

使得 $\operatorname{Ker}(\varphi)=H$ ．
下面的定理进一步给出了同态和正规子群的关系．
定理 3．1．1（同态基本定理，第一同构定理）设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群的满同态，令 $N=\operatorname{Ker}(\sigma)$ ，则 $G / N$ 与 $G^{\prime}$ 同构．更一般地，设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，则 $G / N$ 与 $\sigma(G)$ 同构．

证明 设 $\varphi: G \rightarrow G / N$ 是自然同态．我们有图 3－1 的两个满同态 $\sigma$ 和 $\varphi$ ；

![图片](/uploads/2025-12/fb2462.jpg)
 
  图中虚线表示我们要找的一个同构．定义 $\psi(x N)=\sigma(x)$ ．
注意到

$$
\begin{array}{ll}
x N=y N \quad & \text { 当且仅当 } x^{-1} y \in N \\
& \text { 当且仅当 } \sigma\left(x^{-1} y\right)=1 \\
& \text { 当且仅当 } \sigma(x)=\sigma(y),
\end{array}
$$

故 $\psi$ 是单射．显然，$\psi$ 还是满射，故 $\psi$ 是双射．
又因为

$$
\psi(x N \cdot y N)=\psi(x y N)=\sigma(x y)=\sigma(x) \sigma(y)=\psi(x N) \cdot \psi(y N),
$$

故 $\psi$ 是为群 $G / N$ 到 $G^{\prime}$ 的同构，且有 $\psi \varphi(x)=\psi(x N)=\sigma(x)$ ，即 $\psi \varphi=\sigma$ 。
更一般地，若 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，则在 $\sigma$ 的作用下，$\sigma: G \rightarrow \sigma(G)$ 是群的满同态，同态核仍然是 $N$ ，故 $G / N$ 与 $\sigma(G)$ 同构．

定理 3．1．1 说明，群同态的同态象都与某个商群同构．因为在同构作用下群的代数性质完全一样，所以研究一般群同态前后群的性质，就转化为研究自然同态前后群的性质，即转化为研究群和它

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