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后牛顿参数化极限

8．4．6 后牛顿参数化极限
如果我们从实验出发来考虑是否存在对广义相对论的修改，可以考虑我们研究得较好的太阳系实验。对于基于度规场的引力理论，在太阳系中产生引力的源较弱， $|\Phi| / c^2 \ll 1$ ，且运动速度很慢，$v^2 / c^2 \ll 1$ ，不同的引力理论都可以在同一个框架下来描述．前面我们看到，在广义相对论中球对称的解是史瓦西时空，但是如果我们不考虑具体的理论，而考虑一个更一般的静态球对称时空，其度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-B(r) \mathrm{d} t^2+A(r) \mathrm{d} r^2+r^2\left(\sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2+\mathrm{d} \theta^2\right) .
$$

在太阳系中我们可以定义唯一的无量纲量
$$
x \equiv \frac{G M_{\odot}}{r c^2},
$$

则上面度规中的待定函数可以展开为

$$
\begin{aligned}
& B(r)=1-2 \alpha x+2(\beta-\gamma) x^2+\cdots \\
& A(r)=1+2 \gamma x+\cdots
\end{aligned}
$$

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 称为后牛顿参数．从前面对牛顿极限的讨论知道，度规场的（ 00 ）分量与牛顿引力势相关，而其他分量的修正都不考虑。而在广义相对论的弱场近似下，我们

有 $\alpha=1, \gamma=1, \beta=1$ ．如果这些系数偏离以上的值，则意味着有超出广义相对论的修正项．上述的参数化方式称为后牛顿参数化（parametrized post－Newtonian，简记为 PPN）．原则上，上面的展开可以到更高阶，得到后后牛顿近似（post－post Newtonian approximation）．上面的度规也可以利用各向同性坐标写作 ${ }^{(6)}$

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\left(1-2 \alpha \frac{G M_{\odot}}{\rho c^2}+2 \beta\left(\frac{G M_{\odot}}{\rho c^2}\right)^2+\cdots\right) \mathrm{d} t^2 \\
& +\left(1+2 \gamma \frac{G M_{\odot}}{\rho c^2}\right)\left(\mathrm{d} \rho^2+\rho^2 \mathrm{~d} \Omega^2\right)
\end{aligned}
$$

利用这个度规，我们可以区分不同的引力理论．对球对称时空，这是一个标准化的参数化方法．如果我们关心对广义相对论的修正，不妨设 $\alpha=1$ ．假定粒子的运动总是测地运动，因此基于以上度规我们可以重新讨论上面的行星进动、光线偏折等实验。对于行星近日点进动，在上面的时空中，进动角为

$$
\delta \phi_{\mathrm{prec}}=\frac{1}{3}(2+2 \gamma-\beta) \frac{6 \pi G M}{c^2 a\left(1-e^2\right)}
$$

而对于光线偏折，如果人射参数仍为 $b$ ，偏转角为

$$
\delta \phi_{\mathrm{def}}=\frac{1+\gamma}{2} \frac{4 G M}{c^2 b}
$$

最后，对于引力导致的光线时间延迟，有

$$
\Delta t_{\text {延迟 }}=\frac{1+\gamma}{2} \frac{4 G M}{c^3}\left[\ln \left(\frac{4 R_{\mathrm{E}} R_{\mathrm{P}}}{R_0^2}\right)+1\right] .
$$

利用光线通过太阳产生的偏折对 PPN 参数给出了如下限制：

$$
\gamma=1.007 \pm 0.009 .
$$

利用时间延迟也可以给出限制．维京号飞船的实验给出

$$
\gamma=1.000 \pm 0.001,
$$

卡西尼号飞船在2002年6月6日至7月7日间的实验给出

$$
\gamma=1+(2.1 \pm 2.3) \times 10^{-5} .
$$

而利用水星近日点进动给出的限制为

$$
\beta=1.000 \pm 0.003 .
$$
 利用其他基于绕地卫星的试验，如 Gravity Probe B，也可以对 PPN 参数给出限制．
另一方面，PPN 极限可以看作球对称时空严格解的近似。实际上，对双星甚至双黑洞系统，其中的相对论性效应很强，但是仍然可以通过发展高阶修正很好地描述其中的物理现象．这在对引力波的研究中发挥了重要的作用．

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