最后更新: 2025-12-14 10:47 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

测地进动

8.5 测地进动

上一节对广义相对论实验检验的讨论都是基于对太阳系中行星运动的传统天文观测．实际上，随着航天技术的进步，人们设计了更加精巧的实验来验证广义相对论．在本节中我们讨论如何利用陀螺仪来检验引力的相对论效应。

在弯曲时空中，一个矢量沿着闭合路径平行移动回到起点，移动后的矢量与原来的矢量是不同的．矢量间的差异反映了时空的弯曲程度．这提供了我们研究时空弯曲的一个新思路．比如说，我们可以研究转动刚体的自旋（spin）矢量的变化．

一个具有自旋的小探测体称为陀螺仪。我们知道如果忽略引力的影响，一个无摩擦支架上的陀螺仪的自旋方向不随支架的移动而变化，也就是说陀螺仪的自旋是平行移动的．然而由于陀螺仪是一个有尺度的物体，由于引潮力会导致一个潮汐扭矩，它将导致陀螺仪的自旋并非严格的平行移动，而会发生进动 ${ }^{(7)}$ 。我们希望探测的是爱因斯坦广义相对论所预言的相对论进动，这个进动非常微小．如果上述的潮汐进动无法避免，

它将完全覆盖掉相对论进动效应．为此，我们必须选择严格球对称的陀螺仪，此时，潮汐进动可以避免 ${ }^{(8)}$ 。因此，在下面的讨论中我们忽略陀螺仪本身的尺度，而把它当作有自旋的点粒子来处理．

一个做自由落体运动的物体，其运动方程是测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha u^\beta u^\gamma=0
$$

而伴随着陀螺仪的是其自旋矢量，这是一个类空 4－矢量 $\widehat{s}(\tau)$ ．在陀螺仪的局部惯性系中，我们有

$$
\left\{\begin{array}{l}
s^\alpha=(0, s), \\
u^\alpha=(1, \mathbf{0})
\end{array} \quad \Rightarrow \widehat{s} \cdot \widehat{u}=0\right.
$$

由于这是一个标量关系，在任何参考系中都应该成立．而自旋矢量本身的大小 $s_*=$

$(s \cdot s)^{1 / 2}$ 是一个运动常数，与陀螺仪的自旋角动量有关 ${ }^{(9)}$ ．对于一个角动量大小为常数的物体，其角动量方向的运动称为进动．

我们先考虑陀螺仪方程．这是陀螺仪自旋矢量应该满足的方程．在局部惯性系中，我们有 $\frac{\mathrm{d} s^\alpha}{\mathrm{d} \tau}=0$ 。在弯曲时空中，我们需要把偏导数换成协变导数：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \rightarrow \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d} \tau}$ 。利用等效原理，我们得到所谓的陀螺仪方程．

陀螺仪方程

$$
\frac{\mathrm{d} s^\alpha}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha s^\beta u^\gamma=0
$$

这个方程是 $\widehat{s}$ 的线性方程，与其大小无关，而只与其方向相关．实际上，这个方程告诉我们 $\widehat{s}$ 是如何沿测地线平行移动的．因此，$\widehat{s} \cdot \widehat{s}$ 和 $\widehat{s} \cdot \widehat{u}$ 沿测地线都是保持不变的．

下面我们讨论测地进动（geodesic precession）现象．考虑一个球对称的时空及其中的一个圆周轨道．我们集中讨论在 $\theta=\pi / 2$ 的平面上半径为 $R$ 的圆周运动．此时，有

$$
u^\phi=\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} \tau}=\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau}=\Omega u^t, \quad \Omega^2=\frac{G M}{R^3},
$$

所以粒子的 4－速度为

$$
\begin{aligned}
u^\mu & =u^t(1,0,0, \Omega) \\
u^t & =(1-3 G M / R)^{-1 / 2}
\end{aligned}
$$

由陀螺仪方程可知

$$
\frac{\mathrm{d} s^\theta}{\mathrm{d} \tau}=0 .
$$

假定在赤道面上，$s$ 初始时都指向 $r$ 方向，$s^\theta(0)=0$ ，我们总有自旋矢量保持在赤道面上，

$$
s^\theta=0 .
$$

再考虑到 $\widehat{s} \cdot \widehat{u}=0$ ，我们得到

$$
s^t=R^2 \Omega\left(1-\frac{2 G M}{R}\right)^{-1} s^\phi .
$$

这样陀螺仪方程变为

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} s^r}{\mathrm{~d} t}-(R-3 G M) \Omega s^\phi & =0, \\
\frac{\mathrm{~d} s^\phi}{\mathrm{d} t}+\frac{\Omega}{R} s^r & =0 .
\end{aligned}
$$

由这两个方程可以得到一个二阶微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 s^\phi}{\mathrm{d} t^2}+\left(1-\frac{3 G M}{R}\right) \Omega^2 s^\phi=0 .
$$

利用新参量 $\Omega^{\prime 2}=\left(1-\frac{3 G M}{R}\right) \Omega^2$ ，上面方程的解可以写作

$$
\begin{aligned}
& s^r(t)=s_*\left(1-\frac{2 G M}{R}\right)^{1 / 2} \cos \left(\Omega^{\prime} t\right) \\
& s^\phi(t)=-s_*\left(1-\frac{2 G M}{R}\right)^{1 / 2}\left(\frac{\Omega}{\Omega^{\prime} R}\right) \sin \left(\Omega^{\prime} t\right)
\end{aligned}
$$

陀螺仪经过一个周期 $P=2 \pi / \Omega$ 后回到起点，然而其自旋矢量的指向并未回到初始状态，而是与原方向有一个夹角．经过一个周期后自旋矢量转动的角度满足

$$
\cos \Delta \phi=\left[\widehat{e}_r \cdot\left(\frac{\widehat{s}(t)}{s_*}\right)\right]_{t=P}=\cos \left[2 \pi\left(1-\frac{3 G M}{R}\right)^{1 / 2}\right],
$$

因此，经过一个周期后夹角为

$$
\Delta \phi=2 \pi\left[1-(1-3 G M / R)^{1 / 2}\right] .
$$

这里得到的角度是对于无穷远观测者而言的，然而由于圆周运动时速度与径向垂直，因此对于与陀螺仪共动的观测者，发现的偏转角一样．

这种自旋矢量随测地线运动的进动现象称为测地进动．测地进动也被称为德西特－福克尔（de Sitter－Fokker）效应，最早由德西特在1916年提出．他最初的想法是考虑地月系统在太阳引力场中的测地进动．地月系统可以看作在太阳引力场中自由下落的陀螺仪．在太阳系中，由于 $G M / R \ll 1$ ，有

$$
\Delta \phi \approx 2 \pi\left(\frac{3 G M}{2 R}\right)=\frac{3 \pi G M}{c^2 R}
$$

这个陀螺仪的自转轴是月球的地心轨道轴，在太阳引力下会发生进动，进动率为每年 $0.0192^{\prime \prime}$ ．尽管这个进动非常微小，但可以通过地月激光测距来探测．通过激光测距对月球近地点方向的精确测量，证实了测地进动，精度偏差约 $0.7 \%$ 。

测地进动现象可以更好地利用环绕地球的卫星来实验．对于一个掠过地球表面的卫星，其周期是 $\tau=2 \pi \sqrt{\frac{R_{\oplus}^3}{G M}}$ ，因此每年自旋矢量的进动角累加为

$$
\left.\Delta \phi\right|_{\text {年 }} \approx \frac{3\left(G M_{\oplus}\right)^{3 / 2}}{2 c^2} \frac{1}{R_{\oplus}^{5 / 2}} .
$$

地球的半径大约是 $R_{\oplus}=6.38 \times 10^3 \mathrm{~km}$ ，卫星绕地球的周期大约是 84.5 min ，每年卫星可以绕地球 $6.2 \times 10^3$ 次，所以每年自旋矢量的进动角为 $8.4^{\prime \prime}$ ．而对于轨道半径 $R>R_{\oplus}$的卫星，其上陀螺仪自旋矢量每年的进动角

$$
\left.\Delta \phi\right|_{\text {年 }} \approx \frac{3\left(G M_{\oplus}\right)^{3 / 2}}{2 c^2} \frac{1}{R_{\oplus}^{5 / 2}}\left(\frac{R_{\oplus}}{R}\right)^{5 / 2} .
$$

如果卫星的高度为 650 km ，陀螺仪每年的进动角为 $\Delta \phi=6.6^{\prime \prime}$ ．由于地球的旋转，这个值会有一点小的修正．尽管这个值很小，但利用 Gravity Probe B 可以测量，精度偏差可以达到 $0.01 \%$ ．实际测量的精度偏差约 $0.28 \%$ ，与理论预言符合得很好．

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