最后更新: 2025-12-14 10:47 查看: 4 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

测地进动

8.5 测地进动

上一节对广义相对论实验检验的讨论都是基于对太阳系中行星运动的传统天文观测．实际上，随着航天技术的进步，人们设计了更加精巧的实验来验证广义相对论．在本节中我们讨论如何利用陀螺仪来检验引力的相对论效应。

在弯曲时空中，一个矢量沿着闭合路径平行移动回到起点，移动后的矢量与原来的矢量是不同的．矢量间的差异反映了时空的弯曲程度．这提供了我们研究时空弯曲的一个新思路．比如说，我们可以研究转动刚体的自旋（spin）矢量的变化．

一个具有自旋的小探测体称为陀螺仪。我们知道如果忽略引力的影响，一个无摩擦支架上的陀螺仪的自旋方向不随支架的移动而变化，也就是说陀螺仪的自旋是平行移动的．然而由于陀螺仪是一个有尺度的物体，由于引潮力会导致一个潮汐扭矩，它将导致陀螺仪的自旋并非严格的平行移动，而会发生进动 ${ }^{(7)}$ 。我们希望探测的是爱因斯坦广义相对论所预言的相对论进动，这个进动非常微小．如果上述的潮汐进动无法避免，

它将完全覆盖掉相对论进动效应．为此，我们必须选择严格球对称的陀螺仪，此时，潮汐进动可以避免 ${ }^{(8)}$ 。因此，在下面的讨论中我们忽略陀螺仪本身的尺度，而把它当作有自旋的点粒子来处理．

一个做自由落体运动的物体，其运动方程是测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha u^\beta u^\gamma=0
$$

而伴随着陀螺仪的是其自旋矢量，这是一个类空 4－矢量 $\widehat{s}(\tau)$ ．在陀螺仪的局部惯性系中，我们有

$$
\left\{\begin{array}{l}
s^\alpha=(0, s), \\
u^\alpha=(1, \mathbf{0})
\end{array} \quad \Rightarrow \widehat{s} \cdot \widehat{u}=0\right.
$$

由于这是一个标量关系，在任何参考系中都应该成立．而自旋矢量本身的大小 $s_*=$

$(s \cdot s)^{1 / 2}$ 是一个运动常数，与陀螺仪的自旋角动量有关 ${ }^{(9)}$ ．对于一个角动量大小为常数的物体，其角动量方向的运动称为进动．

我们先考虑陀螺仪方程．这是陀螺仪自旋矢量应该满足的方程．在局部惯性系中，我们有 $\frac{\mathrm{d} s^\alpha}{\mathrm{d} \tau}=0$ 。在弯曲时空中，我们需要把偏导数换成协变导数：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \rightarrow \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d} \tau}$ 。利用等效原理，我们得到所谓的陀螺仪方程．

陀螺仪方程

$$
\frac{\mathrm{d} s^\alpha}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha s^\bet

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