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引力透镜效应

8.6 相对论性天体物理

在天体物理中，很多时候只需要牛顿引力就足够了。然而对于中子星这样的星体，其相对论性效应可能非常显著，需要在广义相对论的框架下来讨论问题．在本节中我们基于史瓦西时空简单地介绍几种可能的相对论性效应．

8．6．1 引力透镜效应
引力透镜效应在天文学和宇宙学中有非常重要的意义．利用它我们可以了解源和 ＂透镜＂的物理性质，也可以研究时空的大尺度结构。引力透镜效应的物理原理非常简单：光在引力场中的偏折导致我们观测到的像与源比较发生了变化，而产生引力场的星体或者星系的作用类似于一个透镜。

前面的研究告诉我们在史瓦西时空中，光线的偏转角是 $\alpha=\frac{4 G M}{c^2 b}=\frac{2 R_{\mathrm{s}}}{b}$ ，其中 $R_{\mathrm{s}}$ 是史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2}$ ．如果引力透镜效应是通过宇宙学尺度下的星系产生的，一些典型尺度如下：

$$
\begin{array}{r}
M \sim 10^{11} M_{\odot}, \quad R_s \sim 10^{11} \mathrm{~km}, \\
D_{\mathrm{S}} \sim D_{\mathrm{L}} \sim D_{\mathrm{LS}} \sim 1 \mathrm{Gpc} \sim 3 \times 10^{22} \mathrm{~km},
\end{array}
$$

其中 $D_{\mathrm{S}}$ 是源到观测者间的距离，$D_{\mathrm{L}}$ 是透镜到观测者的距离，$D_{\mathrm{LS}}$ 是透镜到源的距离．这里用到的长度单位 pc（parsec，秒差距）是星系和星系外（extragalatic）天文学中的标准单位 ${ }^{(10)}$ ，

$$
1 \mathrm{pc}=3.086 \times 10^{13} \mathrm{~km} \text {, 或者 } 3.262 \mathrm{ly} \text {. }
$$

星系中两颗恒星的典型距离是几 pc ，星系的典型大小是 kpc 尺度，星系间的典型距离是 Mpc 尺度，而我们可见宇宙的大小是 Gpc 尺度。

在对引力透镜效应的实际讨论中，由于 $R_{\mathrm{s}} \ll D_{\mathrm{L}}, D_{\mathrm{S}}, D_{\mathrm{LS}}$ ，我们经常使用所谓的 ＂薄透镜近似＂：
（1）在远离透镜的地方光线直线传播；
（2）所有的偏转发生在透镜处；
（3）源和透镜都近似为点．
如图 8.7 所示，实际上 $\alpha, \theta_{\mathrm{S}}, \theta_{\mathrm{I}}$ 都非常小，由此我们可以很容易得到透镜方程

$$
\theta_{\mathrm{I}} D_{\mathrm{S}}=\theta_{\mathrm{S}} D_{\mathrm{S}}+\alph

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