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引力透镜效应

8.6 相对论性天体物理

在天体物理中，很多时候只需要牛顿引力就足够了。然而对于中子星这样的星体，其相对论性效应可能非常显著，需要在广义相对论的框架下来讨论问题．在本节中我们基于史瓦西时空简单地介绍几种可能的相对论性效应．

8．6．1 引力透镜效应
引力透镜效应在天文学和宇宙学中有非常重要的意义．利用它我们可以了解源和 ＂透镜＂的物理性质，也可以研究时空的大尺度结构。引力透镜效应的物理原理非常简单：光在引力场中的偏折导致我们观测到的像与源比较发生了变化，而产生引力场的星体或者星系的作用类似于一个透镜。

前面的研究告诉我们在史瓦西时空中，光线的偏转角是 $\alpha=\frac{4 G M}{c^2 b}=\frac{2 R_{\mathrm{s}}}{b}$ ，其中 $R_{\mathrm{s}}$ 是史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2}$ ．如果引力透镜效应是通过宇宙学尺度下的星系产生的，一些典型尺度如下：

$$
\begin{array}{r}
M \sim 10^{11} M_{\odot}, \quad R_s \sim 10^{11} \mathrm{~km}, \\
D_{\mathrm{S}} \sim D_{\mathrm{L}} \sim D_{\mathrm{LS}} \sim 1 \mathrm{Gpc} \sim 3 \times 10^{22} \mathrm{~km},
\end{array}
$$

其中 $D_{\mathrm{S}}$ 是源到观测者间的距离，$D_{\mathrm{L}}$ 是透镜到观测者的距离，$D_{\mathrm{LS}}$ 是透镜到源的距离．这里用到的长度单位 pc（parsec，秒差距）是星系和星系外（extragalatic）天文学中的标准单位 ${ }^{(10)}$ ，

$$
1 \mathrm{pc}=3.086 \times 10^{13} \mathrm{~km} \text {, 或者 } 3.262 \mathrm{ly} \text {. }
$$

星系中两颗恒星的典型距离是几 pc ，星系的典型大小是 kpc 尺度，星系间的典型距离是 Mpc 尺度，而我们可见宇宙的大小是 Gpc 尺度。

在对引力透镜效应的实际讨论中，由于 $R_{\mathrm{s}} \ll D_{\mathrm{L}}, D_{\mathrm{S}}, D_{\mathrm{LS}}$ ，我们经常使用所谓的 ＂薄透镜近似＂：
（1）在远离透镜的地方光线直线传播；
（2）所有的偏转发生在透镜处；
（3）源和透镜都近似为点．
如图 8.7 所示，实际上 $\alpha, \theta_{\mathrm{S}}, \theta_{\mathrm{I}}$ 都非常小，由此我们可以很容易得到透镜方程

$$
\theta_{\mathrm{I}} D_{\mathrm{S}}=\theta_{\mathrm{S}} D_{\mathrm{S}}+\alpha D_{\mathrm{LS}}
$$

![图片](/uploads/2025-12/b4429f.jpg)
 
 由于 $b \approx \theta_{\mathrm{I}} D_{\mathrm{L}}$ ，有

$$
\theta_{\mathrm{I}}=\theta_{\mathrm{S}}+\frac{\theta_{\mathrm{E}}^2}{\theta_{\mathrm{I}}},
$$

其中

$$
\theta_{\mathrm{E}}=\left(2 R_{\mathrm{s}} \frac{D_{\mathrm{LS}}}{D_{\mathrm{S}} D_{\mathrm{L}}}\right)^{1 / 2}
$$

称为爱因斯坦角．当 $D_{\mathrm{S}} \approx D_{\mathrm{LS}} \gg D_{\mathrm{L}}=D$ ，即透镜离我们较近时，$\theta_{\mathrm{E}}^2 \approx \frac{2 R_{\mathrm{s}}}{D}$ ．考虑一个特殊的例子．当源、透镜和观测者在同一条直线上时，$\theta_{\mathrm{S}}=0$ ，所以 $\theta_{\mathrm{I}}=\theta_{\mathrm{E}}$ ．观测者看到的像是在一个圆环上，称为爱因斯坦环（Einstein ring），如图 8.8 所示．

![图片](/uploads/2025-12/e1eb42.jpg)
 
 爱因斯坦角 $\theta_{\mathrm{E}}$ 给出了引力透镜现象中典型的角尺度，它只依赖于源与透镜、观测者间的距离，以及透镜的质量。如果＂透镜＂质量 $M$ 接近于太阳质量 $M_{\odot}$ ，有 $R_{\mathrm{s}} \sim$ 1 km ，而观测者、透镜与源之间的距离是星系的尺度，$D_{\mathrm{L}} \sim D_{\mathrm{S}} \sim D_{\mathrm{LS}} \sim 10 \mathrm{kpc} \sim 10^{17} \mathrm{~km}$ ，则 $\theta_{\mathrm{E}} \sim\left(10^{-3}\right)^{\prime \prime}$ ，非常小，远远超出了望远镜的分辨率．这种在星系内由太阳质量大小的星体产生的透镜现象称为微透镜（microlensing）．此时，虽然无法通过角分辨率区分像，但是由于透镜和源的相对运动，像的亮度会随时间变化．微引力透镜的一个重要应用是研究所谓晕内大质量高密度天体（massive astrophysical compact halo objects，简记为 MACHOs）．这些木星大小的物体，可以是白矮星、中子星或者黑洞。它们的质量可以是 $10^{-2} M_{\odot}$ 到几个 $M_{\odot}$ 。这类天体可以解释星系晕中的暗物质。由于它们是暗的，很少甚至不发光，很难被探测到，引力相互作用导致的微透镜效应可以帮助我们探测它们。

而对于质量 $M \sim 10^{11} M_{\odot}$ 的透镜，$\theta_{\mathrm{E}} \sim 1^{\prime \prime}$ ，这导致宏透镜（macrolensing）现象．在宇宙学中我们可以利用哈勃定律来帮助我们确定透镜（如类星体）的质量。由哈勃定律

$$
c z_{\mathrm{L}}=H_0 D_{\mathrm{L}}, \quad c z_{\mathrm{S}}=H_0 D_{\mathrm{S}}
$$

其中 $H_0$ 是哈勃常数，$z_{\mathrm{L}}, z_{\mathrm{S}}$ 分别代表着透镜和源所在处的红移因子，我们可以得到透镜的质量

$$
M=\frac{c^3}{4 G H_0} \frac{z_{\mathrm{S}} z_{\mathrm{L}}}{z_{\mathrm{S}}-z_{\mathrm{L}}} \theta_{\mathrm{E}}^2
$$

一般而言，源、透镜和观测者不在一条直线上，此时，观测者会看到两个像，相对
 
角度为

$$
\theta_{ \pm}=\frac{1}{2}\left[\theta_{\mathrm{S}} \pm\left(\theta_{\mathrm{S}}^2+4 \theta_{\mathrm{E}}^2\right)^{1 / 2}\right]
$$

显然 $\theta_{-}<\theta_{\mathrm{E}}$ 而 $\theta_{+}>\theta_{\mathrm{E}}$ ．如果透镜是透明、扩展的，则来自源的光线可能直接穿透透镜，观测者就可以看到奇数个像．从上面的公式可以看出，$\theta_{ \pm}$与光的频率无关，因此是无色差的．

对于有限角尺度的像，其形状和亮度都是引力透镜中最重要的性质．其角分布的大小为

$$
\Delta \theta_{ \pm}=\frac{1}{2}\left(1 \pm \frac{\theta_{\mathrm{S}}}{\left(\theta_{\mathrm{S}}^2+4 \theta_{\mathrm{E}}^2\right)^{1 / 2}}\right) \Delta \theta_{\mathrm{S}}
$$

其中 $\Delta \theta_{\mathrm{S}}$ 是源本身的角分布．而在亮度方面，亮度与像张成的立体角成正比，与 $\theta_{+}$相应的像亮度更大，即 $I_{+}>I_{-}$．而总的亮度与原来源的亮度之比为

$$
\begin{aligned}
\frac{I_{\mathrm{tot}}}{I_*} & =\frac{\sin \theta_{+} \Delta \theta_{+}+\sin \theta_{-} \Delta \theta_{-}}{\sin \theta_{\mathrm{S}} \Delta \theta_{\mathrm{S}}} \approx \frac{\theta_{+} \Delta \theta_{+}+\theta_{-} \Delta \theta_{-}}{\theta_{\mathrm{S}} \Delta \theta_{\mathrm{S}}} \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{\theta_{\mathrm{S}}}{\left(\theta_{\mathrm{S}}^2+4 \theta_{\mathrm{E}}^2\right)^{1 / 2}}+\frac{\left(\theta_{\mathrm{S}}^2+4 \theta_{\mathrm{E}}^2\right)^{1 / 2}}{\theta_{\mathrm{S}}}\right)>1,
\end{aligned}
$$

也就是说，引力透镜效应总是提高源的亮度．当 $\theta_{\mathrm{S}} \approx 0$ 时，亮度的提高是惊人的．

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