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吸积盘

8．6．2 吸积盘
引力中相对论性效应是通过无量纲量 $\frac{G M}{R c^2}$ 来标志的．对于太阳，这个量是 $10^{-6}$ ，可以说非常小，但仍然有各种观测效应。实际上，太阳系中各种对广义相对论的检验是我们能够拥有的尺度最大的直接观测实验。对于球对称黑洞，这个量取上限为 0.5 ，而对于中子星，这个量大约是 0.2 ．这两者中引力的相对论性效应都是非常重要的，无法忽视．为了讨论方便，我们在这里不考虑旋转，仍然可以用史瓦西度规来描述时空几何．在这种致密天体附近的物质，比如说一颗伴星，将受到引力的作用被吸引到致密天体上，这个过程称为吸积．如果是双星系统，轨道能量由于引力波辐射被释放出去，轨道的大小会因此发生改变．

更一般地，伴星的质量远小于致密天体（如黑洞），因此其外层物质（主要是气体）被黑洞吸引过去，其质量被加到了黑洞上．然而由于角动量守恒，这些物质并不是直接掉到黑洞里，而是在黑洞外面形成吸积盘．在吸积盘中有很丰富的物理过程，存在各种耗散机制使其中的粒子损失能量和角动量而最终被致密天体吞签．通过对粒子测地线的研究，我们知道存在最内层稳定圆周轨道，超过它以后粒子就无法摆脱吸引而很快地掉到黑洞中．在粒子的能量损耗中，如果致密天体拥有太阳大小的质量，则辐射主要
集中在 X 射线波段。如果黑洞是超大质量的，比如说在星系核心处的黑洞，其质量可能有 $10^6 \sim 10^9 M_{\odot}$ ，则吸积盘的温度要冷得多。对它的研究将有助于了解活动星系核，如类星体的物理。

实际上，在吸积盘中的气体做圆周轨道运动．磁流体力学（magnetohydrodynamic）不稳定性造成湍流，其黏滞性将会使气体慢慢损失角动量。由此，气体慢慢向内运动，损失引力势能而被加热。最终，气体中粒子的角动量损失到无法让粒子保持在最内层稳定圆周轨道上，粒子将做螺旋运动而很快地被中心物体捕获。我们可以估算一下粒子的辐射效率。最大的效率由粒子在最内层稳定圆周轨道上的引力束缚能与粒子的静止质量之比给出。这相当于粒子静止地从无穷远处损失能量到达最内层稳定圆周轨道上．在最内层稳定圆周轨道 $r=6 G M$ 上，粒子的守恒能量与粒子静止质量之比为

$$
\frac{E}{m_0 c^2}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \approx 0.943,
$$

所以吸积盘的最大辐射效率为

$$
\epsilon_{\mathrm{acc}} \approx 1-0.943=5.7 \% .
$$

而通过核反应，如氢元素核聚变到氦元素释放能量的效率为

$$
\epsilon_{\text {nuclear }} \approx 0.7 \% .
$$
由此可见，吸积盘释放能量的效率比氢原子核燃烧释放能量的效率高 10 倍左右．所以，高致密星体的＂吸积功率＂会导致某些宇宙中最暴烈的现象发生。

另一方面，通过观测吸积盘中粒子的运动及粒子发射的光谱可以帮助我们了解致密天体的几何信息．例如，吸积盘的一个特征温度是 $T \sim 10^7 \mathrm{~K}$ ，此时一些重元素，如铁仍然可以束缚电子．这些高度电离的原子吸收 X 射线发射荧光（fluorescence）．对于铁原子，这将导致能量为 6.4 keV 的光子，给出一个位于 X 射线波段中间的谱线．由于两种相对论性效应，光子的频率将被移动：一种是时空本身产生的引力红移，另一种是物质运动导致的多普勒移动．因为在吸积盘中不同位置处以不同运动状态发射的光子频率移动不同，所以我们实际上观测到的光谱并非一根谱线，而是一个大大被拓宽的谱带．这个谱带的形状包含吸积盘附近几何的信息，而来自吸积盘最内层轨道的光子的信息将有助于我们了解引力的强场区域。

下面我们讨论在吸积盘光子发射中两个比较简单的红移现象．首先，我们假定黑洞是非旋转的，可以通过史瓦西时空来描述，而吸积盘正好处于 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 的极薄平面上．如图 8.9 所示，设 $\omega_{\star}$ 是辐射光子的自然频率，而 $\omega_{\infty}$ 是无穷远观测者观测到的频率，它

![图片](/uploads/2025-12/40b188.jpg)
 
 依赖于发射源的位置（ $r, \phi$ ）．源的 4－速度为 $\widehat{u}_{\mathrm{s}}(r, \phi)$ ，而发射时光子的 4－动量为 $\widehat{P}(r, \phi)$ ．对观测者而言，其4－速度为 $\widehat{u}_0$ ，而接收到的光子4－动量为 $\widehat{P}(\infty)$ 。对于一个在无穷远的静止观测者 $u_0^\mu=(1,0,0,0)=\xi^\mu$ ，其中 $\xi^\mu$ 是基灵矢量 $\partial_t$ 的分量，我们需要计算

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\frac{\widehat{u}_0 \cdot \widehat{P}(\infty)}{\widehat{u}_s \cdot \widehat{P}} .
$$

发射器做圆周运动，其角速度为

$$
\Omega(r)=\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\left(G M / r^3\right)^{1 / 2},
$$

而4－速度为

$$
u_{\mathrm{s}}^\mu=\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}, 0,0, \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \tau}\right)=u_{\mathrm{s}}^t(1,0,0, \Omega(r)) .
$$

由 4－速度的归一化条件 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-1$ ，得

$$
u_{\mathrm{s}}^t=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}-r^2 \Omega^2\right)^{-1 / 2}=\left(1-\frac{3 G M}{r}\right)^{-1 / 2} .
$$

另一方面，由基灵矢量定义的光子的守恒量为

$$
E=-\widehat{P} \cdot \widehat{\xi}, \quad L=\widehat{P} \cdot \widehat{\eta}
$$

定义物理量人射参数 $b=|L / E|$ ，有

$$
\begin{gathered}
\widehat{u}_0 \cdot \widehat{P}(\infty)=\widehat{\xi} \cdot \widehat{P}(\infty)=-E, \\
\widehat{u}_{\mathrm{s}} \cdot \widehat{P}=u_{\mathrm{s}}^t(\widehat{\xi}+\Omega(r) \widehat{\eta}) \cdot \widehat{P} \\
=u_{\mathrm{s}}^t(-E+\Omega(r) L) \\
\Rightarrow \frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\left(u_{\mathrm{s}}^t(1 \pm \Omega(r) b)\right)^{-1},
\end{gathered}
$$

这里＂－＂代表＂相向发射＂，即发射器相向于观测者运动，而＂＋＂代表背向发射，即发射器发射光子时正远离观测者。

如果发射器在 $\phi=0, \pi$ 时发射光子，则 $b=0$ ，所以 $L=0$ ，而

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\left(1-\frac{3 G M}{r}\right)^{1 / 2} .
$$

这对应于发射器相对于观测者做横向运动．此时，无论光子在何处发射，都被红移了．注意与单纯的引力红移比较，这里还包含横向多普勒移动的红移效应。

另一个比较特殊的情形是 $\phi=\pi / 2$＂背向＂运动，或者 $\phi=-\pi / 2$＂相向＂运动．此时光子具有

$$
E=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}, \quad L=r^2 \sin ^2 \theta \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} \lambda},
$$

所以

$$
b=\frac{r^2\left|P^\phi(r, \phi)\right|}{\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) P^t(r, \phi)}
$$

由于 $P^r\left(r, \pm \frac{\pi}{2}\right)=0$ 且 $\widehat{P} \cdot \widehat{P}=0$ ，有

$$
-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(P^t\right)^2+r^2\left(P^\phi\right)^2=0 \Rightarrow b=r\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1 / 2}
$$

以及红移

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\left(1-\frac{3 G M}{r}\right)^{1 / 2}\left(1 \pm\left(\frac{r}{G M}-2\right)^{-1 / 2}\right)^{-1} .
$$

当 $G M / r$ 较小时，可做展开
$$
\begin{aligned}
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}} & =1 \mp\left(\frac{G M}{r}\right)^{1 / 2}-\frac{G M}{2 r}+\cdots \\
& =1 \mp v+\frac{1}{2} v^2-\frac{G M}{r}+\cdots
\end{aligned}
$$

其中 $v=\Omega r=(G M / r)^{1 / 2}$ 是源的局部速度．上面的表达式中 $\mp v+\frac{1}{2} v^2$ 来自多普勒移动，而 $-\frac{G M}{r}$ 来自引力红移，最终的红移是两者的叠加。

观测到的谱带来源于不同半径处发射的光子．对于最内层圆周轨道 $r=6 G M$ 上发射的光子：

（1）吸积盘 $\phi=\pi / 2$ 处＂背向＂发射，

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.47
$$

观测到的光子频率最小。
（2）吸积盘 $\phi=-\pi / 2$ 处＂相向＂发射，

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\sqrt{2}
$$

观测到的光子频率变大，实际上发生了蓝移。这来自多普勒移动的蓝移效应超过了引力红移的效应。
（3）吸积盘 $\phi=0, \pi$ 处，

$$
\frac{\omega_{\infty}}{\omega_{\star}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71
$$

在背向发射时，多普勒移动的红移效应最明显，与引力红移效应相结合，得到的红移最大．在实验中，如果观测到这个最小频率，那就说明光子是从 ISCO 轨道发射出的，这意味着中心的天体应该是一个黑洞，而非其他致密天体．因为对于其他致密天体，其表面半径都会比 ISCO 轨道大，在其上发射的光子接收到时频率不会那么低。

如果中心致密星体有旋转，我们看到光子频率的下限可以更低．一般而言，我们看到的 $6.4-\mathrm{keV}$ 谱带有一个最小频率，其值依赖于中心致密星体的大小、转动以及吸积盘相对于我们的倾斜角。进一步地，谱带的形状还会受到相对论聚光效应和其他可能的辐射源的影响．相对论聚光效应也会增加谱带中蓝端的强度．

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