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慢转动下的外部时空

10．1．2 慢转动下的外部时空
下面我们来讨论物质转动对外部时空的影响．首先，扰动满足的方程（10．1）是一个线性波动方程，可以利用格林函数方法来求解：

$$
\bar{h}_{\mu \nu}(t, \boldsymbol{x})=\frac{4 G}{c^4} \int \frac{T_{\mu \nu}(t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|, \boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \mathrm{d}^3 y
$$

其中对 $y$ 的积分是对物质分布的区域进行积分．如果我们考虑稳态的时空，则扰动与时间无关，

$$
\bar{h}_{\mu \nu}(\boldsymbol{x})=\frac{4 G}{c^4} \int \frac{T_{\mu \nu}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \mathrm{d}^3 y .
$$

由此可得

$$
\begin{aligned}
\Phi(\boldsymbol{x}) & =-G \int \frac{\rho(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \mathrm{d}^3 y \\
A_i(\boldsymbol{x}) & =4 G \int \frac{T_{0 i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \mathrm{d}^3 y
\end{aligned}
$$

而时空的线元可以写作

$$
\mathrm{d} s^2=-(1+2 \Phi) \mathrm{d} t^2+2 A_i \mathrm{~d} t \mathrm{~d} x^i+(1-2 \Phi)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right) .
$$

如果考虑距离源足够远地方的扰动，我们可以使用多极展开

$$
\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \approx \frac{1}{r}+\frac{x_i}{r^2} \frac{y^i}{r}+\cdots .
$$

由此，如果我们选择质心坐标系，有

$$
\begin{aligned}
& \Phi=-\frac{G M}{r}, \quad M=\int \rho \mathrm{d}^3 y \\
A_i & =4 G \int T_{0 i}\left(\frac{1}{r}+\frac{x_j}{r^2} \frac{y^j}{r}+\cdots\right) \mathrm{d}^3 y \\
& \approx 4 G \int \frac{T_{0 i} x_j y^j}{r^3} \mathrm{~d}^3 y \\
& =\frac{4 G}{r^3} x_j \int T_{0 i} y^j \mathrm{~d}^3 y
\end{aligned}
$$

我们可以引进源的总角动量

$$
\boldsymbol{J}=\int(\boldsymbol{y} \times \boldsymbol{p}) \mathrm{d}^3 y
$$

其中 $p_i=-T_{0 i}=\rho v_i$ ．我们发现

$$
\begin{aligned}
A_i & =-\frac{2 G}{r^3}(\boldsymbol{J} \times \boldsymbol{x})_i \\
& =\frac{2 G}{r^3} \varepsilon_{i j k} x^j J^k
\end{aligned}
$$

（1）柱对称物质分布外的时空几何．
我们考虑绕 $z$ 轴转动的有质量物体，且其物质分布是柱对称的。我们以大写字母 $X^i$ 来描述物质分布，其中 $X^3$ 即是 $z$ 。我们可以利用 $X^1-X^2$ 平面上的极坐标来讨论问题．在此坐标下，

$$
T_{01}=-\frac{\rho v_x}{c}=-\frac{\rho v}{c} \sin \alpha, \quad T_{02}=-\frac{\rho v_y}{c}=-\frac{\rho v}{c} \cos \alpha,
$$

因此，我们很容易发现 $\int T_{01} \mathrm{~d}^3 X=0, \int X^1 \frac{\mathrm{~d} X^1}{\mathrm{~d} t}=0, \int X^3 \frac{\mathrm{~d} X^1}{\mathrm{~d} t}=0$ ，然而 $\int X^2 \frac{\mathrm{~d} X^1}{\mathrm{~d} t} \neq$ 0．这样就有

$$
\bar{h}_{01}=\frac{4 G}{c^2} \frac{y}{r^3} \int X^2 T_{01} \mathrm{~d}^3 X=-\frac{4 G}{c^2} \frac{y}{r^3} \int X^2 T^{01} \mathrm{~d}^3 X
$$

同理，有

$$
\bar{h}_{02}=-\frac{4 G}{c^2} \frac{x}{r^3} \int X^1 T^{02} \mathrm{~d}^3 X,
$$

而物质分布的总角动量为

$$
J^3=\int\left(X^1 P^2-X^2 P^1\right) \mathrm{d}^3 X=c \int\left(X^1 T^{02}-X^2 T^{01}\right) \mathrm{d}^3 X
$$

因此，对于柱对称分布的物质有

$$
\begin{aligned}
& \bar{h}_{01}=\frac{2 G}{c^3} \frac{y}{r^3} J^3 \\
& \bar{h}_{02}=-\frac{2 G}{c^3} \frac{x}{r^3} J^3
\end{aligned}
$$

（2）球对称物质分布外的时空几何．
如果物质分布具有球对称性，则有

$$
\bar{h}_{0 i}=\frac{2 G}{c^3 r^3} \varepsilon_{i k m} x^k J^m
$$

此时，在线性近似下，度规的各个分量为

$$
\begin{aligned}
& g_{00}=-\left(1-\frac{2 G M}{r c^2}\right), \\
& g_{i k}=\left(1+\frac{2 G M}{r c^2}\right) \delta_{i k}, \\
& g_{0 i}=\frac{2 G}{r^3 c^3} \varepsilon_{i k m} x^k J^m .
\end{aligned}
$$

此时，角动量只有一个沿 $z$ 的分量．注意这个解并非爱因斯坦方程的严格解．
因此，当球对称物体的转动比较慢时，其外部时空几何可以近似为

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} s_{\text {Sch }}^2-\frac{4 G J}{c^3 r^2} \sin ^2 \theta(r \mathrm{~d} \phi)(c \mathrm{~d} t)+O\left(J^2\right)
$$

物体的角动量可以估算为

$$
J \approx I \Omega \approx M R^2 \Omega \approx M R v,
$$

其中 $v$ 是转动线速度，由此

$$
\frac{4 G J}{c^3 R^2} \approx \frac{G M}{R c^2} \frac{v}{c}
$$

这种项导致的物理效应称为引磁效应．这类比于电动力学中，场不仅可以通过电荷分布来得到，也可以通过电流来产生．（10．35）式右边第一项是史瓦西度规，在弱场展开中度规的涨落包含引力势项，类比于静电势，而第二项中有一个 $v / c$ 压低因子。因此，与电磁学比较，这一项类似于磁场，即运动的物质产生了引磁场．

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