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弱场近似下转动物体的时空几何

第十章 克尔黑洞

在前几章中我们学习了球对称时空的各种性质．这些球对称时空，特别是史瓦西时空，对一个没有旋转的恒星外部来说是很好的近似，毕竟这些大质量的星体如果没有旋转就会是非常好的球形，因为引力几乎抹平了各种形变．特别是对于黑洞而言，如果没有旋转也不携带电荷，则史瓦西时空是其严格的时空几何．然而，在自然界中不存在严格没有旋转的星体，在它们的形成过程中，由于角动量守恒，星体都会有一定程度的自转．譬如，太阳的自转周期是 27 天，且有十万分之一对球形的偏差．实际上，这个偏差会对牛顿势有影响，从而影响行星的运动，造成进动。

一个有转动物体的外部时空几何不仅依赖物体的质量 $M$ ，还依赖物体的角动量 $J$ 。在本章中我们将学习转动时空几何及其物理性质。我们首先在弱场近似下讨论转动对时空几何的影响，之后我们将介绍一个真空爱因斯坦方程描述的转动时空 ——克尔时空．在克尔时空中存在一些新的物理现象，如惯性系拖曳、彭罗斯过程等．
10.1 弱场近似下转动物体的时空几何
带转动物体的外部时空几何，不仅依赖物体的质量，还依赖物体的运动．如果转动角速度 $\Omega$ 不大，转动时空相对于球对称的偏差是 $O(\Omega)$ 量级．由于离心加速度是 $O\left(\Omega^2\right)$ ，因此物体的形状在角速度的一阶并没有发生改变．换句话说，对于慢转动，物体的形状改变非常小，我们可以认为其仍然是球形。但此时物体外部的时空几何已经依赖于转动，时空曲率不仅依赖物体的质量密度，也依赖物体的运动状态．来自物体运动的效应大小是 $O\left(\frac{v}{c} \frac{G M}{R c^2}\right)$ ，这将导致引磁效应 ${ }^{(1)}$（gravitomagnetic effect）．

10．1．1 弱场近似与电动力学
如果物体的转动速度并不快，我们可以利用弱场近似来讨论其外部的时空几何．在弱场近似下，爱因斯坦方程的形式是

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu},
$$

其中 $\bar{h}_{\mu \nu}$ 是迹相反的扰动，

$$
\bar{h}_{\mu \nu}=h_{\mu \nu}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} h .
$$

一般来说，广义相对论中的物质可以由理想流体来很好地近似．理想流体的能动张量为

$$
T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu} .
$$

如果我们只考虑非相对论性的物质，如尘埃，则压强近似为零，而且组成物质的单元的运动速度远小于光速，其 4 －速度为 $u^\mu=\left(1, v^i / c\right)$ ，其中 $v^i \ll c$ ．由此，在能动张量的分量中

$$
T_{00}=\rho, \quad T_{0 i}=-\rho v_i / c, \quad T_{i j} \propto v_i v_j / c^2
$$

我们可以忽略 $T_{i j}$ 分量，而保留 $T_{00}$ 和 $T_{0 i}$ 分量．因此，度规扰动中

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