最后更新: 2025-12-20 14:57 查看: 26 次纠错评论(0) 课件开VIP

弱场近似下转动物体的时空几何

第十章 克尔黑洞

在前几章中我们学习了球对称时空的各种性质．这些球对称时空，特别是史瓦西时空，对一个没有旋转的恒星外部来说是很好的近似，毕竟这些大质量的星体如果没有旋转就会是非常好的球形，因为引力几乎抹平了各种形变．特别是对于黑洞而言，如果没有旋转也不携带电荷，则史瓦西时空是其严格的时空几何．然而，在自然界中不存在严格没有旋转的星体，在它们的形成过程中，由于角动量守恒，星体都会有一定程度的自转．譬如，太阳的自转周期是 27 天，且有十万分之一对球形的偏差．实际上，这个偏差会对牛顿势有影响，从而影响行星的运动，造成进动。

一个有转动物体的外部时空几何不仅依赖物体的质量 $M$ ，还依赖物体的角动量 $J$ 。在本章中我们将学习转动时空几何及其物理性质。我们首先在弱场近似下讨论转动对时空几何的影响，之后我们将介绍一个真空爱因斯坦方程描述的转动时空 ——克尔时空．在克尔时空中存在一些新的物理现象，如惯性系拖曳、彭罗斯过程等．
10.1 弱场近似下转动物体的时空几何
带转动物体的外部时空几何，不仅依赖物体的质量，还依赖物体的运动．如果转动角速度 $\Omega$ 不大，转动时空相对于球对称的偏差是 $O(\Omega)$ 量级．由于离心加速度是 $O\left(\Omega^2\right)$ ，因此物体的形状在角速度的一阶并没有发生改变．换句话说，对于慢转动，物体的形状改变非常小，我们可以认为其仍然是球形。但此时物体外部的时空几何已经依赖于转动，时空曲率不仅依赖物体的质量密度，也依赖物体的运动状态．来自物体运动的效应大小是 $O\left(\frac{v}{c} \frac{G M}{R c^2}\right)$ ，这将导致引磁效应 ${ }^{(1)}$（gravitomagnetic effect）．

10．1．1 弱场近似与电动力学
如果物体的转动速度并不快，我们可以利用弱场近似来讨论其外部的时空几何．在弱场近似下，爱因斯坦方程的形式是

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu},
$$

其中 $\bar{h}_{\mu \nu}$ 是迹相反的扰动，

$$
\bar{h}_{\mu \nu}=h_{\mu \nu}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} h .
$$

一般来说，广义相对论中的物质可以由理想流体来很好地近似．理想流体的能动张量为

$$
T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu} .
$$

如果我们只考虑非相对论性的物质，如尘埃，则压强近似为零，而且组成物质的单元的运动速度远小于光速，其 4 －速度为 $u^\mu=\left(1, v^i / c\right)$ ，其中 $v^i \ll c$ ．由此，在能动张量的分量中

$$
T_{00}=\rho, \quad T_{0 i}=-\rho v_i / c, \quad T_{i j} \propto v_i v_j / c^2
$$

我们可以忽略 $T_{i j}$ 分量，而保留 $T_{00}$ 和 $T_{0 i}$ 分量．因此，度规扰动中 $\bar{h}_{i j}=0$ ，而

$$
\begin{aligned}
& \square \bar{h}_{00}=-\frac{16 \pi G}{c^2} \rho, \\
& \square \bar{h}_{0 i}=-\frac{16 \pi G}{c^2} T_{0 i} .
\end{aligned}
$$
这里 $\bar{h}_{0 i}=h_{0 i}$ ，它们比 $h_{00}$ 有一个 $v / c$ 的压低因子．此时，我们有 $\bar{h}=-\bar{h}_{00}$ ，因此

$$
h_{00}=h_{i i}=\frac{1}{2} \bar{h}_{00} .
$$

在下面的讨论中，我们令

$$
h_{00}=-2 \Phi / c^2, \quad \bar{h}_{0 i}=h_{0 i}=A_i / c .
$$

此外，我们假定尘埃的物质分布不随时间变化，即 $\partial_t \rho=0$ 。从上面的讨论出发我们可以计算出非零克里斯托弗符号：

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{i 0}^0 & =\frac{1}{c^2} \nabla_i \Phi, \\
\Gamma_{00}^i & =\frac{1}{c^2} \nabla_i \Phi+\frac{1}{c} \partial_t A_i, \\
\Gamma_{i 0}^k & =\frac{1}{2 c}\left(A_{k, i}-A_{i, k}\right), \\
\Gamma_{i m}^k & =-\frac{1}{c^2}\left(-\delta_{i m} \nabla_k \Phi+\delta_i^k \nabla_m \Phi+\delta_m^k \nabla_i \Phi\right), \\
\Gamma_{i m}^0 & =-\frac{1}{2 c}\left(A_{i, m}+A_{m, i}\right) .
\end{aligned}
$$

考虑粒子在弱场下的运动．粒子的测地线方程为

$$
\frac{\mathrm{d} u_\mu}{\mathrm{d} \tau}+\left(h_{\mu \alpha, \beta} u^\alpha u^\beta-\frac{1}{2} h_{\alpha \beta, \mu} u^\alpha u^\beta\right)=0 .
$$

如果背景时空存在一个类时基灵矢量，从而使 $\partial_0 h_{\alpha \beta}=0$ ，则粒子的能量守恒．如果考虑非相对论性极限，$v^i=\frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{~d} t} \ll 1, \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau} \approx 1$ ，我们可以忽略 $v^2$ 项．然而可能有 $h \times v$ 这种项，它们大概是 $\frac{G M}{r} \sqrt{\frac{G M}{r}}$ ，比 $v^2$ 项大。当然在最低阶近似下，这两种项都可以忽略，我们得到牛顿近似。如果我们保留 $h \times v$ 项，而认为 $v^i v^i \approx 0$ 可以忽略，则测地线方程为

$$
\frac{\mathrm{d} u_\mu}{\mathrm{d} t}+\left(h_{\mu 0, l}-h_{0 l, \mu}\right) v^l+\frac{1}{2}\left(2 h_{0 \mu, 0}-h_{00, \mu}\right)=0 .
$$

由此可得

$$
\frac{\mathrm{d} v_i}{\mathrm{~d} t}=-\left(\partial_i \Phi+\partial_t A_i\right)+\left(\partial_i A_l-\partial_l A_i\right) v_l
$$

定义

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{g}=-\nabla \Phi-\partial_t \boldsymbol{A}, \\
& \boldsymbol{b}=\nabla \times \boldsymbol{A},
\end{aligned}
$$

则粒子的测地线方程可写作

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{g}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{b} .
$$

由此可见，粒子运动所受的力与电动力学中的洛伦兹力类似：$g$ 是牛顿引力场，类似于静电场； $\boldsymbol{b}$ 类似于磁场，称为引磁场．

进一步地，我们可以研究一下 $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{b}$ 满足的运动方程．由它们的定义可得到以下两个方程：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\nabla \cdot \boldsymbol{b}=0, \\
\nabla \times \boldsymbol{g}+\frac{\partial \boldsymbol{b}}{\partial t}=\mathbf{0} .
\end{array}\right.
$$

它们看起来很像麦克斯韦方程组中的两个．此外从爱因斯坦方程出发，在弱场近似下，有

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 h^{00} & =-8 \pi G T^{00} \\
\nabla^2 h^{0 i} & =-16 \pi G T^{0 i}
\end{aligned}
$$
可得

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{g} & =-4 \pi G \rho, \\
\nabla \times \boldsymbol{b} & =-\frac{16 \pi G}{c^2} \boldsymbol{j},
\end{aligned}
$$

其中 $j=\rho v$ 称为动量密度或者能量流密度，对应电动力学中的坡印亭（Poynting）矢量．因此我们得到了与源有关的另外两个麦克斯韦方程．能量密度的分布确定引力场，而能量流密度类似于电流诱导引磁场。以上类比都是在稳态时空下对平直时空做微扰得到的．如果 $\partial_0 h_{\alpha \beta} \neq 0$ ，则上述与电动力学的类比就没有那么好了．此外，注意到上面方程中正比于 $\rho$ 的项的符号是负的，这是因为对于＂同荷＂物体，引力是吸引的，而非排斥的。另一方面，在引磁场相关的方程中，流 $j$ 前面的比例系数差一个 4 倍的因子，这来自度规扰动是自旋为 2 的，而非自旋为 1 的场。简而言之，在弱场近似下考虑稳态时空以及非相对论性的物质源，我们发现引力场与电磁场惊人地相似．实际上我们可以考虑与电动力学中的规范势做类比，则牛顿引力势类比于静电势，而矢量势类比于度规张量的 $(0 i)$ 分量：

$$
\Phi_{\mathrm{e}} \leftrightarrow \Phi_{\mathrm{g}}=-\frac{1}{2} h_{00}, \quad A_{\mathrm{e} i} \leftrightarrow A_i .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：慢转动下的外部时空

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)