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引磁场的物理效应

10.2 引磁场的物理效应

从上面的讨论中可见，引磁场与磁场有很大程度的相似性．在这一节中我们进一步讨论引磁场的物理效应．在电动力学中我们知道磁场与有非零磁矩的磁子之间存在耦合．在量子力学中，电子具有内禀自旋，它与磁场存在耦合，导致了反常塞曼（Zeeman）效应．更加仔细的分析显示，电子的自旋存在托马斯进动现象，参见我们之前的讨论．在广义相对论中，讨论的是经典力学，物体具有自旋，这些自旋与引磁场相互耦合，也存在各种自旋进动现象．

10．2．1 楞瑟—塞灵进动
引磁场导致的一个典型自旋进动效应就是楞瑟－塞灵（Lense－Thirring）进动．为简单起见，我们先考虑一个简化的情形．考虑一个陀螺仪在线元（10．35）所描述时空中的运动．我们关心的是转动的存在对陀螺仪自旋的影响．如果 $J=0$ ，则 $\widehat{s}$ 是不变的（因为有 $\phi \rightarrow-\phi$ 对称性）．这与前面我们讨论的陀螺仪测地进动现象不同．为了方便，我们可以转换到直角坐标系中来讨论：

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} s_{\mathrm{Sch}}^2-\frac{4 G J}{c^3 r^2}(c \mathrm{~d} t)\left(\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{r}\right)+O\left(J^2\right) .
$$

由于可能的效应领头阶修正 $\sim \frac{1}{c^3}$ ，在度规球对称部分中的 $\frac{G M}{r c^2}$ 不会有贡献，因此，我们可以设 $M=0$ 来简化讨论．在此简化下，假定陀螺仪的运动是沿 $z$ 轴，而陀螺仪自旋的指向是在 $x-y$ 平面上，

$$
u^\alpha=\left(u^t, 0,0, u^z\right), \quad s^\alpha=\left(0, s^x, s^y, 0\right)
$$

相关的联络系数为

$$
\left(\Gamma_{t y}^x\right)_{z \text { 轴 }}=\frac{2 G J}{c^2 z^3}=-\left(\Gamma_{t x}^y\right)_{z \text { 轴 }},
$$

陀螺仪方程变为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} s^x}{\mathrm{~d} t}=-\frac{2 G J}{c^2 z^3} s^y \\
& \frac{\mathrm{~d} s^y}{\mathrm{~d} t}=\frac{2 G J}{c^2 z^3} s^x
\end{aligned}
$$

这组方程将导致所谓的楞瑟－塞灵进动现象，进动率为 $\Omega_{\mathrm{LT}}=\frac{2 G J}{c^2 z^3}$ 。尽管陀螺仪的运动是沿 $z$ 轴，但在 $x-y$ 平面上的自旋矢量由于转动的存在发生了进动．这种进动来自惯性系的拖曳效应。在牛顿力学中，只有引力势，因此并没有转动造成的惯性系拖曳效应，也就是说楞瑟－塞灵进动是牛顿引力中没有的效应。

10．2．2 引磁时钟效应
与引磁场相关的另一个重要效应是引磁时钟效应．考虑在赤道面上的两个同时的钟，分别送到处于圆周轨道的飞船上，但沿相反方向运动．如果不考虑地球的转动，则回到原点时两个钟仍是同时的．但是如果我们考虑地球的转动，则结果有所不同．不妨设地球沿 $z$ 轴转动，$J=J e_z$ ，所以

$$
A_x=\frac{2 G}{r^3 c^3} y J, \quad A_y=-\frac{2 G}{r^3 c^3} x J, \quad A_z=0 .
$$

而地球外的度规场可写作

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\left(1-\frac{2 G M}{r c^2}\right) c^2 \mathrm{~d} t^2+\frac{4 G J}{r^3 c^2}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y) \mathrm{d} t \\
& +\left(1+\frac{2 G M}{r c^2}\right)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right) .
\end{aligned}
$$

在赤道面上的圆周运动， $\mathrm{d} \phi=\omega \mathrm{d} t$ ，由测地线方程可得

$$
\omega^2+\frac{2 G J}{r^3 c^2} \omega-\frac{G M}{r^3}=0,
$$

因此沿不同方向做圆周运动的飞船的角速度分别为

$$
\omega_{ \pm}=\sqrt{\left(\frac{G J}{r^3 c^2}\right)^2+\frac{G M}{r^3}} \pm \frac{G J}{r^3 c^2} .
$$

由 $\mathrm{d} s^2=-c^2 \mathrm{~d} \tau^2$ ，则有

$$
\mathrm{d} \tau^2 \approx \frac{1}{\omega^2}\left(1-\frac{3 G M}{r c^2}+\frac{6 G J \omega}{r c^4}\right) \mathrm{d} \phi^2,
$$

所以

$$
\mathrm{d} \tau \approx \frac{1}{\omega}\left(1-\frac{3 G M}{2 r c^2}+\frac{3 G J \omega}{r c^4}\right) \mathrm{d} \phi .
$$

由 $\phi$ 的周期性，我们得到绕圆周轨道一圈以后的周期

$$
T=\frac{2 \pi}{\omega}\left(1-\frac{3 G M}{2 r c^2}\right)+\frac{6 \pi G J}{r c^4},
$$

因此，沿不同方向做圆周运动的钟回到原点后时间的差为

$$
\begin{aligned}
T_{+}-T_{-} & =\left(\frac{1}{\omega_{+}}-\frac{1}{\omega_{-}}\right) 2 \pi\left(1-\frac{3 G M}{2 r c^2}\right) \\
& =\frac{2 J}{M c^2} 2 \pi\left(1-\frac{3 G M}{2 r c^2}\right) \\
& \approx \frac{4 \pi J}{M c^2} .
\end{aligned}
$$

注意，在领头阶这个差与牛顿引力常数无关！
对于地球，$J=\frac{2}{5} M R^2 \omega$ ，地球半径 $R \approx 6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$ ，角频率 $\omega \approx 7.3 \times 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1}$ ，所以

$$
T_{+}-T_{-} \approx 1.7 \times 10^{-7} \mathrm{~s} .
$$

这将作为 Gravity Probe C（lock）项目的科学目标．

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