最后更新: 2025-12-20 15:07 查看: 16 次纠错评论(0) 课件开VIP

自旋进动的一般性讨论

＊10．2．3 自旋进动的一般性讨论
我们已经讨论了陀螺仪的两种进动现象：测地进动以及楞瑟－塞灵进动．前者与转动无关，后者源自时空转动的惯性系拖曳．为了讨论方便，前面的讨论都是分别考虑这两种现象，在本节中我们对陀螺仪的进动进行一般性的研究。

陀螺仪的自旋 4－矢量与其 4－速度矢量垂直，即有 $\widehat{s} \cdot \widehat{u}=0$ ，因此可得

$$
s_0=-\frac{1}{c} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} t} s_i .
$$

另一方面，陀螺仪的平行移动给出陀螺仪方程

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{s}}{\mathrm{~d} \tau}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} s_\mu}{\mathrm{d} \tau}=\Gamma_{\mu \nu}^\lambda s_\lambda \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \tau} .
$$

由此可得

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} s_i}{\mathrm{~d} t} & =\left(\Gamma_{i \nu}^0 s_0+\Gamma_{i \nu}^k s_k\right) \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} t} \\
& =\left(-\Gamma_{i 0}^0 \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}-\frac{1}{c} \Gamma_{i m}^0 \frac{\mathrm{~d} x^m}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}+c \Gamma_{i 0}^k+\Gamma_{i m}^k \frac{\mathrm{~d} x^m}{\mathrm{~d} t}\right) s_k
\end{aligned}
$$

而自旋矢量的运动方程为

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{s}}{\mathrm{~d} t}= & \frac{2}{c^2}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s}) \nabla \Phi-\frac{1}{c^2}(\nabla \Phi \cdot \boldsymbol{s}) \boldsymbol{v}+\frac{1}{c^2}(\nabla \Phi \cdot \boldsymbol{v}) \boldsymbol{s} \\
& +\frac{c}{2}[\boldsymbol{s} \times(\nabla \times \boldsymbol{A})]
\end{aligned}
$$

上式中最后一项与速度 $v$ 无关，只与转动物体的角动量有关，它将导致楞瑟－塞灵效应．为了求解上面的方程，我们需要一点技巧．首先，自旋 4－矢量的大小是不变的，因此

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(g^{\mu \nu} s_\mu s_\nu\right)=0 & \Rightarrow g^{00}\left(s_0\right)^2+g^{i k} s_i s_k \approx \text { 常数 } \\
& \Rightarrow s^2-\frac{2 \Phi}{c^2} s^2-\frac{1}{c^2}(v \cdot s) \approx \text { 常数. }
\end{aligned}
$$

其次，令

$$
\boldsymbol{s}=\left(1+\frac{\Phi}{c^2}\right) \boldsymbol{\sigma}+\frac{1}{2 c^2} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\sigma}),
$$

如果保留领头阶项，则易见

$$
\boldsymbol{s}^2=\left(1+\frac{2 \Phi}{c^2}\right) \boldsymbol{\sigma}^2+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\sigma})
$$

再考虑（10．54）式，可见 $\boldsymbol{\sigma}^2$ 在忽略次领头阶效应的情况下是一个常数，可以表示成

$$
\boldsymbol{\sigma}=\left(1-\frac{\Phi}{c^2}\right) \boldsymbol{s}-\frac{1}{2 c^2} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s})
$$

利用 $\boldsymbol{\sigma}$ 而非原来的自旋矢量 $\boldsymbol{s}$ 来讨论问题将更加简便．由（10．57）式可见，

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{s}}{\mathrm{~d} t}-\frac{1}{c^2} \frac{\mathrm{~d} \Phi}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{s}-\frac{1}{2 c^2} \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s})-\frac{1}{2 c^2} \boldsymbol{v}\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t} \cdot \boldsymbol{s}\right) .
$$

利用

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\nabla \Phi \cdot \boldsymbol{v}=\nabla \Phi \cdot \boldsymbol{v}, \\
& \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t}=\nabla \Phi,
\end{aligned}
$$

其中用到了牛顿势与时间无关，再由（10．53）式，我们可以得到
$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{\sigma},
$$

其中

$$
\boldsymbol{\Omega}=-\frac{c}{2} \nabla \times \boldsymbol{A}+\frac{3}{2 c^2} \boldsymbol{v} \times \nabla \Phi .
$$

对于一个球对称分布的物体，有

$$
\Phi=-\frac{G M}{r}, \quad \boldsymbol{A}=\frac{2 G}{r^3 c^3} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{J}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\Omega} & =-\frac{c}{2} \nabla \times\left(\frac{2 G}{r^3 c^3} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{J}\right)+\frac{3 G M}{2 c^2} \boldsymbol{v} \times \nabla\left(\frac{1}{r}\right) \\
& =\frac{2 G}{r^3 c^2}\left(\frac{3(\boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}}{r^2}-\boldsymbol{J}\right)+\frac{3 G M}{2 c^2 r^3} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}
\end{aligned}
$$

（10．63）式中第一项与陀螺仪的运动速度无关，只依赖转动物体的角动量，给出楞瑟－塞灵效应，而第二项依赖物体的质量和陀螺仪的运动，给出德西特－福克尔效应，或者测地进动．引进物体的转动惯量 $I$ ，角动量可写作 $J=I \omega$ ，有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\Omega} & =\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}+\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{dS}} \\
\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}} & =\frac{2 G I}{r^3 c^2}\left(\frac{3(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}}{r^2}-\boldsymbol{J}\right) \\
\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{dS}} & =\frac{3 G M}{2 c^2 r^3} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}
\end{aligned}
$$

从楞瑟－塞灵效应的表达式可以看出，引磁场与电动力学中由于磁偶极矩产生的磁场类似．在电动力学中，我们知道如果一个带电粒子绕另一个有磁偶极矩 $\boldsymbol{m}$ 的粒子运动，这个粒子的角动量将发生进动．磁偶极矩产生的磁场为

$$
\boldsymbol{B}=\frac{3 \boldsymbol{e}_r\left(\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{m}\right)-\boldsymbol{m}}{r^3},
$$

其中 $\boldsymbol{e}_r=\frac{\boldsymbol{r}}{r}$ ，而耦合为

$$
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{m}^{\prime} \times \boldsymbol{B},
$$

这里的 $m^{\prime}$ 是粒子本身的磁矩．类似地，球对称转动物体产生的引磁场为

$$
\boldsymbol{b}=-4 G \frac{3 \boldsymbol{e}_r\left(\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{J}\right)-\boldsymbol{J}}{2 r^3},
$$

而自旋与它的耦合为

$$
\tau_{\mathrm{g}}=\frac{s}{2} \times b
$$

楞瑟－塞灵效应和德西特－福克尔效应都是弯曲时空中的自旋进动效应。陀螺仪的运动都是测地运动．然而，在量子力学中电子自旋存在托马斯进动．这种进动来自电子的运动并非简单的直线。因此，如果陀螺仪受到其他相互作用而偏离测地运动，则它应该会有托马斯效应．考虑一个在平直时空中运动的陀螺仪，它可能受其他相互作用而不沿测地线运动．假设其世界线为 $x^\mu(\tau)$ ．在陀螺仪的共动参考系中自旋4－矢量是类空的 $\widehat{s}=(0, s(\tau))$ ，与 4－速度垂直．自旋 4－矢量的变化率为

$$
\frac{\mathrm{d} s^\mu}{\mathrm{d} \tau}=k u^\mu .
$$

这是由于沿着世界线 $\hat{s} \cdot \hat{s}=$ 常数，所以其变化率必然与原来的自旋 4－矢量垂直，因此与 4－速度平行．$k$ 是一个待定的量．由 $\widehat{s} \cdot \widehat{u}=0$ 可得 $k=\widehat{s} \cdot \widehat{a}$ ，即

$$
\frac{\mathrm{d} s^\mu}{\mathrm{d} \tau}=u^\mu(\widehat{s} \cdot \widehat{a}) .
$$

托马斯进动的来源在于两个洛伦兹变换并不等价于一个洛伦兹变换，还应该包含一个额外的转动．考虑实验室参考系，它与陀螺仪的共动参考系间通过洛伦兹变换相联系，陀螺仪的运动速度为 $\boldsymbol{v}$ 。在实验室参考系 $S_{\mathrm{o}}$ 中，

$$
\left.s^\mu\right|_{S_{\mathrm{o}}}=\left(\frac{\gamma}{c} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s}, \boldsymbol{s}+\frac{\gamma^2}{c^2(\gamma+1)}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s}) \boldsymbol{v}\right),
$$

而

$$
\begin{aligned}
u^\mu & =\left(\gamma, \frac{\gamma}{c} \boldsymbol{v}\right) \\
a^\mu & =\left(\dot{\gamma}, \frac{\dot{\gamma}}{c} \boldsymbol{v}+\frac{\gamma}{c} \dot{\boldsymbol{v}}\right)
\end{aligned}
$$

由此得

$$
\widehat{s} \cdot \widehat{a}=\frac{\gamma}{c}\left(\dot{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{s}+\frac{\gamma^2}{c^2(\gamma+1)}(\dot{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{v})(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{s})\right) .
$$

经过一些有点烦琐的计算，最终我们得到

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{s}}{\mathrm{~d} \tau}=\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{T}} \times \boldsymbol{s}
$$

其中

$$
\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{T}}=\frac{\gamma^2}{\gamma+1} \frac{\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{a}}{c^2}
$$

在最低阶，有

$$
\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{T}} \approx \frac{1}{2 c^2}(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{a})=\frac{1}{2 m c^2}(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{F}) .
$$

注意这里讨论的是在狭义相对论的框架下平直时空中陀螺仪的进动，它所受的力 $\boldsymbol{F}$ 可以是通常的引力，也可以是别的力．如果是引力，且引力源是球对称分布的，则

$$
\boldsymbol{F}_{\mathrm{g}}=-\frac{G M m}{r^3} \boldsymbol{r}
$$

可与前面讨论的德西特－福克尔进动做比较，但两者的数值差三倍，这是因为托马斯进动完全是一个狭义相对论效应，对于非引力系统才准确。

实际上，无论是在平直时空还是在弯曲时空中陀螺仪自旋矢量随其世界线的变化都由方程（10．70）来描述，即陀螺仪方程为

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{\mathrm{~s}}}{\mathrm{~d} \tau}=\widehat{u}(\widehat{s} \cdot \widehat{a})
$$

当没有其他相互作用时，陀螺仪沿测地线运动，$\widehat{a}=0$ ，我们得到之前的陀螺仪方程．当存在其他相互作用时，陀螺仪的运动不是简单的测地运动，则方程的右边也有贡献．上面的讨论显示非零加速度导致了托马斯进动．因此，在一般情形下，陀螺仪的进动可以由如下方程给出：

$$
\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\Omega \times s,
$$

其中

$$
\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{dS}}+\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}} .
$$

我们可以分析一下如何在实验上把德西特进动与楞瑟－塞灵进动区分开．从上面．的讨论可见，$\Omega_{\mathrm{dS}}$ 与地球的转动无关，因此对所有半径相同的轨道都是一样的，无论这个圆周轨道是沿着赤道面，还是经过两极，抑或是介于二者之间．然而陀螺仪的自旋矢量方向很重要。令 $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}=|\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}| \boldsymbol{h}$ ，其中 $\boldsymbol{h}$ 是与轨道面垂直的单位矢量，因此 $\Omega_{\mathrm{dS}} \propto \boldsymbol{h}$ ，而 $\delta s_{\mathrm{dS}} \propto h \times s$ ．为了使自旋矢量的变化最大化，自旋矢量必须在轨道面上．

如果圆周轨道正好在赤道面上，而自旋矢量也在其上，则 $s \perp \omega$ ，即陀螺仪的自旋矢量与地球的自旋矢量垂直，而 $\boldsymbol{h} / / \boldsymbol{\omega}$ ，所以有

$$
\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}=0 \Rightarrow \boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}} \propto \boldsymbol{\omega}, \quad \delta \boldsymbol{s}_{\mathrm{LT}} \propto \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{s} .
$$

由此可见 $\delta s_{\mathrm{LT}} / / \delta s_{\mathrm{dS}}$ ，也就是说这两种进动是叠加在一起的，我们无法把它们区分开来。

如果圆周运动的轨道是在穿过极点的平面上，对于楞瑟－塞灵进动有两部分的贡献：

$$
\begin{aligned}
\delta s_{\mathrm{LT}} \text { (i) } & \propto \boldsymbol{r} \times s, \\
\delta s_{\mathrm{LT}} \text { (ii) } & \propto \omega \times s .
\end{aligned}
$$

为了使 $\delta s_{\mathrm{LT}}$（ii）最大化，我们使 $s$ 与地球的自旋矢量保持垂直，也就是说 $s$ 保持在一个方向上，在穿过极点时与赤道面平行．由此可知 $\delta s_{\mathrm{LT}}$（ii）$/ / h$ ，也就是说陀螺仪的自旋矢量是倾向于离开轨道面的．另一方面，$\delta s_{\mathrm{dS}} \sim s \times h$ ，即来自测地进动的自旋矢量的变化还在轨道面内．所以两种进动的效应是完全不同的，可以单独测量．

实际上，在楞瑟－塞灵进动中， $\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}$ 沿轨道不停地变化，我们需要对一个轨道周期取平均：

$$
\left\langle\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right\rangle=\frac{G I}{c r^3}\left\langle\frac{3(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}}{r^2}-\boldsymbol{\omega}\right\rangle .
$$

我们不妨把地球的转动矢量取做沿 $z$ 方向， $\boldsymbol{\omega}=\omega \boldsymbol{k}$ ，这样

$$
\langle\boldsymbol{r}(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r})\rangle=\frac{\omega r^2}{2} \boldsymbol{k}
$$

由 $I=\frac{2}{5} M R^2$ ，我们得到

$$
\left\langle\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right\rangle=\frac{G M R^2 \omega}{5 c^2 r^3}=0.065^{\prime \prime}\left(\frac{R}{r}\right)^3 / \text { 年. }
$$

如果卫星高度是 650 km ，则

$$
\left\langle\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right\rangle=0.048^{\prime \prime} / \text { 年. }
$$

楞瑟－塞灵进动来自惯性系的拖曳效应，也就是说我们可以把惯性系看作一个流体，转动物体浸人这个流体中，物体的转动导致了惯性系的转动。沿不同的轨道运动，进动也不同：

$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right)_{\mathrm{pole}} & =\frac{2 G I}{c^2 r^3} \boldsymbol{\omega} \\
\left(\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right)_{\mathrm{eq}} & =-\frac{G I}{c^2 r^3} \boldsymbol{\omega}
\end{aligned}
$$

如果在地球表面 $r=R_{\oplus}$ ，则

$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right)_{\mathrm{pole}} & =\frac{4 G M}{5 c^2 R_{\oplus}} \boldsymbol{\omega}=5.52 \times 10^{-10} \boldsymbol{\omega}, \\
\left(\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{LT}}\right)_{\mathrm{eq}} & =-\frac{2 G M}{5 c^2 R_{\oplus}} \boldsymbol{\omega}=-2.76 \times 10^{-10} \boldsymbol{\omega} .
\end{aligned}
$$

陀螺仪的进动现象可以通过卫星上搭载的实验装置来检验．利用卫星引力探测器对爱因斯坦的广义相对论进行探测有很长的历史．在20世纪60－70年代，Gravity Probe A 对引力红移进行了检验．在 1976 年得到的结果中，实验和理论的偏差是 $1.4 \times 10^{-4}$ ．而从 1964 年至 2004 年，美国航空航天局（NASA）和斯坦福大学联合开发的 Gravity Probe B 对德西特－福克尔效应和楞瑟－塞灵效应进行了检验．经过细致的数据分析，该研究在 2013 年公布了实验结果，得到 $\delta \phi_{\mathrm{dS}}=(6.6018 \pm 0.018)^{\prime \prime} /$ 年，偏差为 $0.28 \%$ ，而 $\delta \phi_{\mathrm{LT}}=(0.0372 \pm 0.0072)^{\prime \prime} /$ 年，偏差为 $19 \%$ ．其他关于陀螺仪进动的实验结果如下：
（1）地月激光测距实验：德西特测地进动精度偏差达到 $0.7 \%$ ．
（2）对 LAGEOS 和 LAGEOS II 空间飞船的激光测距：楞瑟－塞灵惯性系拖曳效应偏差为 $10 \% \sim 30 \%$ ．

图 10.1 是 Gravity Probe B 实验的示意图，其中的进动率是理论计算的结果．

![图片](/uploads/2025-12/2c2bba.jpg)

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