最后更新: 2025-12-20 15:14 查看: 23 次纠错评论(0) 课件开VIP

克尔几何

在前面的讨论中我们假定物体的转动较慢，对时空几何的改变较小．实际上，大多数天体都有较快的转动，因此我们需要对由此导致的时空几何变化有更准确的了解。此时，由于有转动，时空不再是静止的．如果假定转动是稳定的，时空仍然是稳态的，具有一个类时基灵矢量 $\partial_t$ 。另一方面，由于转动不变性，时空具有轴对称性。不妨假设转动轴是 $z$ 轴，而 $\phi=x^3$ 是类空转动角，则 $\partial_\phi$ 是基灵矢量．注意，在球对称时空中，除了类时基灵矢量外，我们还有一个二维球面的转动不变性，而在转动时空中，这个 $\mathrm{SO}(3)$ 对称性破缺到 $\mathrm{U}(1)$ 上．利用这两个基灵对称性，我们总可以取度规系数是另外两个坐标的函数，即 $g_{\mu \nu}\left(x^1, x^2\right)$ ．而如果要求时空几何在时间反演 $t \rightarrow-t$ 以及转动反向 $\phi \rightarrow-\phi$ 下不变，则有

$$
g_{01}=g_{02}=g_{13}=g_{23}=0
$$

因此，线元可以写作

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00} \mathrm{~d} t^2+2 g_{03} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} \phi+g_{33} \mathrm{~d} \phi^2+\left[g_{11}\left(\mathrm{~d} x^1\right)^2+2 g_{12} \mathrm{~d} x^1 \mathrm{~d} x^2+g_{22}\left(\mathrm{~d} x^2\right)^2\right]
$$

由于二维黎曼流形是共形平直的，$\left(x^1, x^2\right)$ 描述的子流形度规为 $g_{a b}=\Omega^2(x) \eta_{a b}$ 。令 $x^1=r, x^2=\theta$ ，则

$$
\mathrm{d} s^2=-A \mathrm{~d} t^2+B(\mathrm{~d} \phi-\omega \mathrm{d} t)^2+C \mathrm{~d} r^2+D \mathrm{~d} \theta^2
$$

其中 $A, B, C, D$ 和 $\omega$ 是 $r, \theta$ 的任意函数．这里我们利用极坐标来给出二维流形的可能度规．这个线元是稳态旋转物体外时空可能具有的度规．注意，我们现在使用的坐标是相对于无穷远观测者而言．

在此时空中考虑光子在固定的 $(r, \theta)$ 处，沿着 $\pm \phi$ 两个方向发射的不同．此时光子的零路径满足方程

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2=0 & \Rightarrow g_{t t} \mathrm{~d} t^2+2 g_{t \phi} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} \phi+g_{\phi \phi} \mathrm{d} \phi^2=0 \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}=-\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}} \pm\left(\left(\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}}\right)^2-\frac{g_{t t}}{g_{\phi \phi}}\right)^{1 / 2}
\end{aligned}
$$

如果 $g_{t t}<0, \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}$ 可正可负，也就是说光子可以自由地沿着正 $\phi$ 方向或者负 $\phi$ 方向运动，可与时空旋转方向相同或者相逆。而如果 $g_{t t}>0, \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}$ 与 $-g_{t \phi}$ 同号，也就是说光子的运动方向必然与时空旋转方向一致．在 $g_{t t}=0$ 的曲面上，我们发现

$$
\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\left\{\begin{array}{l}
-\frac{2 g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}}=2 \omega, \\
0 .
\end{array}\right.
$$

从（10．96）式可以看出，对于无穷远观测者而言，与时空旋转方向一致发射的光子的角速度更快，而反向发射的光子看起来是在固定的角度上径向发射的．由 $g_{t t}=0$ 定义的曲面称为稳态极限面（stationary limit surface）．而在稳态极限面内，$g_{t t}>0$ ，没有粒子能够固定在某 $(r, \theta, \phi)$ 位置，必须和时空一起转动．这一点也可以通过考虑某个有质量粒子的运动看出．假定这个粒子在某固定 $(r, \theta, \phi)$ 位置，其 4 －速度 $u^\mu=\left(u^t, 0,0,0\right)$必须满足

$$
\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-1,
$$

但由于 $g_{t t}>0$ ，这是不可能满足的．这就是把 $g_{t t}=0$ 定义的曲面称为稳态极限面的原因．

另一方面，$g_{t t}=0$ 定义的曲面还是一个无穷大红移面．前面的讨论告诉我们，一个从固定在 $A$ 点的发射器发射、固定在 $B$ 点的接收器接收的光子，其频率的变化为

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\left(\frac{g_{t t}(A)}{g_{t t}(B)}\right)^{1 / 2} .
$$

当 $g_{t t}(A) \rightarrow 0$ 时，$\nu_{\mathrm{R}} \rightarrow 0$ ，即接收到的光子频率为零，被无穷大红移了．在史瓦西时空中，$g_{t t}=0$ 给出 $r=R_{\mathrm{s}}$ ，正好与事件视界重叠．而在稳态时空中无穷大红移面通常与事件视界是不同的。

一个事件视界的定义要求它一定是一个零曲面，即这个曲面上每点的法矢量都是一个零矢量．对于一个由 $f\left(x^\mu\right)=0$ 定义的曲面，其法（余）矢量为 $n_\mu=\nabla_\mu f=\partial_\mu f$ 。如果要求该曲面是零曲面，则 $g^{\mu \nu} n_\mu n_\nu=0$ ．由于一个指向未来的粒子或者光子只能
沿一个方向穿过 3 维零曲面，这个零曲面可能构成了事件视界．在一个稳态时空中，这个曲面可能是 $f(r, \theta)=0$ ．由零曲面条件可知

$$
\begin{aligned}
& g^{\mu \nu} \partial_\mu f \partial_\nu f=0 \\
\Rightarrow & g^{r r}\left(\partial_r f\right)^2+g^{\theta \theta}\left(\partial_\theta f\right)^2=0
\end{aligned}
$$

选择坐标使 $f(r, \theta)=f(r)$ ，则有 $g^{r r}\left(\partial_r f\right)^2=0$ ．也就是说，事件视界由 $g^{r r}=0$ 或者 $g_{r r}=\infty$ 确定．对于史瓦西时空，这个条件正好也给出史瓦西半径 $r=R_{\mathrm{s}}$ ．

度规（10．94）并未被要求满足爱因斯坦方程，而只是从对称性出发给出了限制．如果进一步要求度规满足真空爱因斯坦方程 $R_{\mu \nu}=0$ ，我们发现方程本身并不能唯一地确定所有的度规系数，与球对称的情形有所不同．这是因为轴对称比球对称要弱得多，不足以确定整个度规．比如，同样具有轴对称的宇宙弦也满足爱因斯坦方程．因此，我们需要额外的要求：
（1）时空是渐近闵氏的，即 $r \rightarrow \infty$ 时度规回到闵氏度规；
（2）存在一个光滑的凸事件视界，在其外几何是非奇异的．
在这两个要求下，可以证明轴对称时空是唯一的，可以通过克尔时空几何来描述．
卡特—罗宾森（Carter－Robinson）定理 如果（ $M, g$ ）是渐近平直稳态和轴对称真空时空，在一个事件视界上和视界外是非奇异的，则 $(M, g)$ 属于由两个参数来刻画的克尔解．这两个参数分别是质量和角动量．

实际上，这个定理中轴对称的假设并不必要，后来霍金和瓦德（Wald）证明了对于黑洞，稳态就可以导出轴对称性．由于稳态对应系统处于平衡态，因此可以期待引力塌缩的最终状态形成稳态时空。上述唯一性定理说明，如果塌缩成一个黑洞，则这个黑洞唯一地由质量和角动量来刻画 ${ }^{(2)}$ 。这意味着引力场中除了单极矩和偶极矩以外，所有的多极矩都被辐射掉了。单极矩对应系统的总质量，而偶极矩由于引力场的自旋为 2无法被辐射掉。

在所谓的博耶尔－林德奎斯特（Boyer－Lindquist）坐标下，克尔时空几何的线元可写作

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\mathrm{d} t^2+\frac{\rho^2}{\Delta} \mathrm{~d} r^2+\rho^2 \mathrm{~d} \theta^2+\left(r^2+a^2\right) \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2 \\
& +\frac{2 G M r}{\rho^2}\left(a \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi-\mathrm{d} t\right)^2
\end{aligned}
$$

其中

$$
\Delta(r)=r^2-2 G M r+a^2, \quad \rho^2(r, \theta)=r^2+a^2 \cos ^2 \theta .
$$

度规（10．100）中各个参数的物理意义如下：$M$ 是转动物体的质量，$a$ 是克尔参数，定义为

$$
a=J / M,
$$

标志着物体的转动快慢 ${ }^{(3)}$ 。如果定义 $\Sigma^2 \equiv\left(r^2+a^2\right)^2-a^2 \Delta \sin ^2 \theta$ ，则度规（10．100）可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\frac{\rho^2 \Delta}{\Sigma^2} \mathrm{~d} t^2+\frac{\Sigma^2 \sin ^2 \theta}{\rho^2}(\mathrm{~d} \dot{\phi}-\omega \mathrm{d} t)^2+\frac{\rho^2}{\Delta} \mathrm{~d} r^2+\rho^2 \mathrm{~d} \theta^2,
$$

其中 $\omega=2 G M r a / \Sigma^2$ ．从此度规的形式可以很清楚地看出时空是绕着 $\phi$ 轴做转动的．度规逆的相应分量是

$$
\begin{gathered}
g^{r r}=\frac{\Delta}{\rho^2}, \quad g^{\theta \theta}=\frac{1}{\rho^2}, \quad g^{t t}=-\frac{\Sigma^2}{\rho^2 \Delta}, \\
g^{\phi t}=-\frac{2 G M a r}{\rho^2 \Delta}, \quad g^{\phi \phi}=-\frac{a^2 \sin ^2 \theta-\Delta}{\rho^2 \Delta \sin ^2 \theta} .
\end{gathered}
$$

如果把上面线元中的函数 $\Delta$ 换作

$$
\Delta(r)=r^2-2 G M r+a^2+e^2,
$$

其中

$$
e=\sqrt{Q^2+P^2},
$$

$Q$ 和 $P$ 分别是电荷和磁荷，则线元描述的是克尔－纽曼时空．对于这个时空，麦克斯韦 1 形式场为

$$
A=\frac{Q r\left(\mathrm{~d} t-a \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi\right)-P \cos \theta\left[a \mathrm{~d} t-\left(r^2+a^2\right) \mathrm{d} \phi\right]}{\rho} .
$$

克尔－纽曼解是一个三参数解，依赖于 $M, J, e$ ．当 $a=0$ 时，这个解退化到 RN 解．与克尔解一样，这个解有一个离散对称性

$$
t \rightarrow-t, \quad \phi \rightarrow-\phi .
$$

如果取 $\phi \rightarrow-\phi$ ，则等效地相当于改变了 $a$ 的符号，也就改变了黑洞转动的方向．不失一般性，我们可以假定 $a>0$ ．由于在天体物理中，星体都是电中性的，因此克尔解具
有更强的物理意义．在下面的讨论中我们集中关注克尔时空的物理性质．需要注意的是，与球对称时空不同，我们尚未发现星体内部的轴对称解可以与星体外部的真空爱因斯坦方程的克尔解光滑连接在一起。

从线元的具体形式中很容易得到时空所拥有的两个基灵矢量 $\partial_t$ 和 $\partial_\phi$ ，分别记作

$$
\widehat{\xi}=\partial_t, \quad \widehat{\eta}=\partial_\phi .
$$

注意，矢量 $\partial_t$ 并不与 $t=$ 常数的超曲面正交，实际上也不与任何超曲面正交，因此这个度规是稳态的而非静态的。对克尔时空来说，不只有上面的基灵矢量，还有基灵张量，满足 $\nabla_{(\sigma} \xi_{\left.\mu_1 \cdots \mu_n\right)}=0$ ．基灵张量中最简单的是度规张量和基灵矢量的张量积．在克尔几何中，我们可以定义 $(0,2)$ 张量

$$
\xi_{\mu \nu}=2 \rho^2 l_{(\mu} n_{\nu)}+r^2 g_{\mu \nu},
$$

其中 $l_\mu$ 和 $n_\mu$ 是零矢量，

$$
\begin{aligned}
l^\mu & =\frac{1}{\Delta}\left(r^2+a^2, \Delta, 0, a\right) \\
n^\mu & =\frac{1}{2 \rho^2}\left(r^2+a^2,-\Delta, 0, a\right)
\end{aligned}
$$

满足 $l^\mu n_\mu=-1$ 。利用这些零矢量可以构造纽曼－彭罗斯标架，方便讨论很多物理问题。
下面我们来讨论不同极限下克尔度规的行为．首先，在转动较慢时，我们可以只保留 $a$ 的一阶项，得到度规

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} s_{\text {Sch }}^2-\frac{4 G J}{r} \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi \mathrm{~d} t .
$$

这正是我们前面用于讨论楞瑟－塞灵进动时用到的度规．也就是说在转动较慢时，我们可以忽略转动造成的物体形变，而认为物体仍然是球形的．这个度规在处理很多天体物理问题时非常有用．如果进一步假定相对论效应较小，或者说引力较弱，可以使用度规

$$
\mathrm{d} s^2=-(1-2 G M / r) \mathrm{d} t^2+(1+2 G M / r)\left(\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2\right)-\frac{4 G J}{r} \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi \mathrm{~d} t
$$

利用直角坐标系可写作

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right) \mathrm{d} t^2+\left(1+R_{\mathrm{s}} / r\right)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right) \\
& -\frac{4 G J}{r^3}(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x) \mathrm{d} t,
\end{aligned}
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ．

其次，我们讨论一下克尔时空在 $M \rightarrow 0$ 下的行为．为此，我们引进所谓的克尔－斯其德坐标来讨论．这组坐标是这样定义的：

$$
\begin{aligned}
x+\mathrm{i} y & =(r+\mathrm{i} a) \sin \theta \exp \left[\mathrm{i} \int\left(\mathrm{~d} \phi+\frac{a}{\Delta} \mathrm{~d} r\right)\right] \\
z & =r \cos \theta \\
\tilde{t} & =\int\left(\mathrm{d} t+\frac{r^2+a^2}{\Delta} \mathrm{~d} r\right)-r
\end{aligned}
$$

这隐含着径向函数 $r=r(x, y, x)$ 满足

$$
r^4-\left(x^2+y^2+z^2-a^2\right) r^2-a^2 z^2=0
$$

在这组坐标下，度规可写作

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\mathrm{d} \tilde{t}^2+\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2 \\
& +\frac{2 M r^3}{r^4+a^2 z^2}\left[\frac{r(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)-a(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)}{r^2+a^2}+\frac{z \mathrm{~d} z}{r}+\mathrm{d} \tilde{t}\right]^2
\end{aligned}
$$

显然在 $M \rightarrow 0$ 时，时空回到了闵氏时空．当 $r=$ 常数时，$x, y, z$ 与 $r, \theta, \phi$ 的关系变为

$$
\begin{aligned}
& x=\left(r^2+a^2\right)^{1 / 2} \sin \theta \cos \phi \\
& y=\left(r^2+a^2\right)^{1 / 2} \sin \theta \sin \phi \\
& z=r \cos \theta
\end{aligned}
$$

上面的坐标对于 $r=$ 常数的超曲面满足

$$
\frac{x^2+y^2}{r^2+a^2}+\frac{z^2}{r^2}=1
$$

这是一个绕 $z$ 轴旋转的椭球面．当 $r=0$ 时，必须有 $z=0$ ，即为赤道面，而似乎有

$$
x^2+y^2=a^2
$$

这是一个半径为 $a$ 的圆．这里我们不能简单地以（10．120）式判定这是一个圆，而需要以坐标间的关系来分析：$r=0$ 时，$x, y$ 仍然依赖 $\theta, \phi$ 两个方向，且

$$
x^2+y^2=a^2 \sin ^2 \theta
$$

因此这是一个圆盘而非圆．另一方面，当 $\theta=$ 常数时，

$$
\frac{x^2+y^2}{a^2 \sin ^2 \theta}-\frac{z^2}{a^2 \cos ^2 \theta}=1
$$

这是一个双曲面．
与史瓦西度规一样，克尔度规也可以用于描述转动黑洞的时空几何．我们可以分析一下在这个时空中可能的内禀奇点．我们发现 $\rho=0$ 是一个内禀奇点，它对应着

$$
\rho^2=r^2+a^2 \cos ^2 \theta=0,
$$

这要求

$$
r=0 \text {, 且 } \theta=\frac{\pi}{2} \text {. }
$$

我们已经知道 $r=0$ 是一个坐标半径为 $a$ 的圆盘，而 $\theta=\pi / 2$ 是这个圆盘的外延，因此奇点的形状是一个圆环：$x^2+y^2=a^2, z=0$ ．如图 10.2 所示．

![图片](/uploads/2025-12/3e8b30.jpg)

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