最后更新: 2025-12-23 10:53 查看: 23 次纠错评论(0) 课件开VIP

黑洞的事件视界

10．3．1 视界
黑洞的事件视界由 $g^{r r}=0$ 或者 $g_{r r}=-\rho^2 / \Delta=\infty$ 给出．由 $\Delta=0$ 给出

$$
r_{ \pm}=\mu \pm\left(\mu^2-a^2\right)^{1 / 2}
$$

其中 $\mu=G M$ ，所以克尔黑洞有两个事件视界 $r_{ \pm}$．在 $r=r_{+}$处有一个零切矢量

$$
l^\alpha=\left(1,0,0, \Omega_{\mathrm{H}}\right),
$$

其中 $\Omega_{\mathrm{H}}$ 是黑洞相对于无穷远观测者而言在外视界处的角速度，

$$
\Omega_{\mathrm{H}}=\left.\omega\right|_{r=r_{+}}=\frac{a}{2 \mu r_{+}} .
$$

易见零矢量 $\widehat{l}$ 是构成视界的零测地线的切矢量：由测地线方程可知沿这些方向的光线总是在视界上运动．这些产生视界的光线以角速度 $\Omega_{\mathrm{H}}$ 相对于无穷远静止观测者运动．
令 $r=r_{ \pm}$且 $t=$ 常数，度规约化为

$$
\mathrm{d} \sigma^2=\rho_{ \pm}^2 \mathrm{~d} \theta^2+\left(\frac{2 \mu r_{ \pm}}{\rho_{ \pm}}\right)^2 \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2
$$

这并非一个球面的几何．实际上，它更像一个轴对称的椭球沿转动轴被压扁了，或者可以形象地理解为球面由于转动导致的离心力而变成了椭球面．外视界的存在意味着这是一个黑洞，其面积为

$$
A=8 \pi \mu r_{+}=8 \pi \mu\left(\mu+\sqrt{\mu^2-a^2}\right) .
$$

利用两个事件视界，时空可以分成三个区域：

$$
\text { I : } r_{+}<r<\infty, \quad \text { II : } r_{-}<r<r_{+}, \quad \text { III : } 0<r<r_{-} .
$$

注意，并非 $\mu$ 和 $a$ 的每一种取值都对应着一个黑洞，实际上，视界只有在参数满足以下条件时才存在：

$$
a^2<\mu^2 \Rightarrow\left(\frac{J}{M}\right)^2<(\mu)^2
$$

当 $a^2<\mu^2$ 时，奇点 $\rho=0$ 被视界包裹起来，满足宇宙监督法则．而当 $a^2=\mu^2$ 时， $r_{+}=r_{-}=\mu$ ，黑洞是一个极端黑洞．在我们的宇宙中已经发现了非常接近于极端性的黑洞，$a \approx 0.998 \mu$ ．而当 $a^2>\mu^2$ 时，没有视界存在，黑洞的奇点是裸的．这里的情形与 RN 黑洞类似．
对于克尔黑洞而言，无穷大红移面可以确定：

$$
\begin{aligned}
g_{t t}=0 & \Rightarrow r^2-2 \mu r+a^2 \cos ^2 \theta=0 \\
& \Rightarrow r_{S^{ \pm}}=\mu \pm\left(\mu^2-a^2 \cos ^2 \theta\right)^{1 / 2}
\end{aligned}
$$

这个红移面是轴对称的．当 $r=r_{S^{ \pm}}, t=$ 常数时，

$$
\mathrm{d} \sigma^2=\rho_{S^{ \pm}}^2 \mathrm{~d} \theta^2+\left(\frac{2 \mu r_{S^{ \pm}}\left(2 \mu r_{S^{ \pm}}+2 a^2 \sin ^2 \theta\right)}{\rho_{S^{ \pm}}^2}\right) \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2 .
$$

把这个度规嵌人三维欧氏空间中，我们发现它也是一个轴对称椭球面，沿转动轴被压扁．当 $a \rightarrow 0$ 时，取史瓦西极限：

$$
r_{S^{+}} \rightarrow r=R_{\mathrm{s}}, \quad r_{S^{-}} \rightarrow 0
$$

最后，我们来讨论一下基灵视界．基灵视界是时空中一个零超曲面，它与基灵矢量场垂直。在史瓦西时空中，＂类时＂基灵矢量 $\xi^\mu=\partial_t$ 在事件视界上变成零矢量，而
在事件视界内部变成类空的，因此基灵视界与事件视界重合。而在克尔时空中，＂类时＂基灵矢量 $\xi^\mu=\partial_t$ 的大小为 $\xi^\mu \xi_\mu=-\frac{1}{\rho^2}\left(\Delta-a^2 \sin ^2 \theta\right)$ ．在外事件视界处，$\xi^\mu \xi_\mu= \frac{a^2}{\rho^2} \sin ^2 \theta \geqslant 0$ ．所以，除了在南北极处基灵矢量是零矢量外，在外视界处基灵矢量是类空的．相应于 $\widehat{\xi}$ 的基灵视界由满足 $\xi^\mu \xi_\mu=0$ 的点给出：

$$
(r-\mu)^2=\mu^2-a^2 \cos ^2 \theta,
$$

这正好与无穷大红移面 $r_{S^{ \pm}}$重合．也就是说，稳态极限面或者无穷大红移面是一个基灵视界。这并不意味着克尔黑洞的事件视界不是一个基灵视界。实际上，此时的外事件视界也是一个基灵视界，只不过对应的基灵矢量是 $\partial_t+\Omega_{\mathrm{H}} \partial_\phi$ ．

我们可以引进类似于 AEF 的坐标来更仔细地研究克尔黑洞在视界 $r=r_{ \pm}$处的性质。我们引进所谓的克尔坐标 $\tilde{u}$ 和 $\chi$ ：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \tilde{u}=\mathrm{d} t+\frac{\left(r^2-a^2\right)}{\Delta} \mathrm{d} r \\
& \mathrm{~d} \chi=\mathrm{d} \phi+\frac{a}{\Delta} \mathrm{~d} r .
\end{aligned}
$$

由此可得新的克尔度规形式

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2= & -\frac{\left(\Delta-a^2 \sin ^2 \theta\right)}{\rho} \mathrm{d} \tilde{u}^2+2 \mathrm{~d} \tilde{\mathrm{u}} \mathrm{~d} r-\frac{2 a \sin ^2 \theta\left(r^2+a^2-\Delta\right)}{\rho} \mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \chi \\
& -2 a \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \chi \mathrm{~d} r+\frac{\left[\left(r^2+a^2\right)^2-\Delta a^2 \sin ^2 \theta\right]}{\rho} \sin ^2 \theta \mathrm{~d} \chi^2+\rho \mathrm{d} \theta^2 .
\end{aligned}
$$

这个度规在 $r=r_{ \pm}$处并不奇异，说明 $r=r_{ \pm}$只不过是坐标奇点．
10．3．2 观测者
在对克尔黑洞的讨论中，从下面三种观测者的角度来考虑问题是有帮助的．首先我们介绍零角动量观测者（ZAMOs）${ }^{(4)}$ 。由定义可知这样的观测者具有零角动量：如果 $\widehat{u}$ 是观测者的 4 －速度，则其角动量密度为 $L=\widehat{u} \cdot \widehat{\eta}$ ，因此零角动量意味着

$$
g_{\phi t} \dot{t}+g_{\phi \phi} \dot{\phi}=0,
$$

其中＂．＂表示对固有时求导．利用克尔度规，这意味着

$$
\Omega \equiv \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\omega=-\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}},
$$
因此，零角动量观测者具有角速度 $\omega$ ．随着观测者接近黑洞，这个角速度增加，而且与黑洞本身的转动同向．简而言之，零角动量观测者随着黑洞一起旋转．克尔黑洞的这个性质实际上对所有的转动物体都适用，称为惯性系的拖曳效应．在远离黑洞的地方， $\omega \approx 2 J / r^3$ ，在无穷远处这个效应完全消失．

克尔时空中第二类观测者是所谓的静止观测者。这类观测者的 4 －速度正比于基灵矢量 $\widehat{\xi}$ ，即

$$
u^\mu=\gamma(1,0,0,0),
$$

其中的 $\gamma=\left(-g_{00}\right)^{-1 / 2}$ 是一个归一化因子．这样的观测者必须通过外在的推动（如火箭）才能保持静止，其运动并非测地线．实际上，如前面所讨论的，静止观测者并非在克尔时空的任何位置都能定义，这是由于 $\widehat{\xi}$ 并非总是类时的，在稳态极限面内就无法定义。

最后我们考虑稳态观测者．这些观测者沿 $\phi$ 方向运动，具有固定的角速度 $\Omega$ 。他们的 4－速度为

$$
u^\mu=\gamma\left(\xi^\mu+\Omega \eta^\mu\right) .
$$

注意，$\widehat{\xi}+\Omega \widehat{\eta}$ 是两个基灵矢量的线性组合，还是一个基灵矢量．$\gamma$ 是归一化因子，

$$
\begin{aligned}
\gamma^{-2} & =-g_{\mu \nu}\left(\xi^\mu+\Omega \eta^\mu\right)\left(\xi^\nu+\Omega \eta^\nu\right) \\
& =-g_{t t}-2 \Omega g_{t \phi}-\Omega^2 g_{\phi \phi} \\
& =-g_{\phi \phi}\left(\Omega^2-2 \omega \Omega+g_{t t} / g_{\phi \phi}\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\omega=-g_{t \phi} / g_{t t}$ 是无穷远观测者看到黑洞的坐标角速度．稳态观测者也并非在克尔时空的任何地方都可以存在，由定义，这要求矢量 $\widehat{\xi}+\Omega \widehat{\eta}$ 是类时的，也就是说当 $\gamma^{-2} \leqslant 0$ 时，稳态观测者不存在．由 $\gamma^{-2}>0$ 给出以下条件：

$$
\Omega_{-}<\Omega<\Omega_{+}, \quad \Omega_{ \pm}=\omega \pm \sqrt{\omega^2-g_{t t} / g_{\phi \phi}}
$$

利用克尔度规的明显表达式，我们得到

$$
\Omega_{ \pm}=\omega \pm \frac{\Delta^{1 / 2} \rho^2}{\Sigma^2 \sin \theta}
$$

当稳态观测者具有 $\Omega=0$ 时，就成为了静态观测者，只能在稳态极限面外定义．进人稳态极限面，观测者必然具有非零的角速度．当观测者进一步从稳态极限面径向下降时， $\Omega_{-}$增加而 $\Omega_{+}$减小．最终我们达到 $\Omega_{-}=\Omega_{+}$，这意味着 $\Omega=\omega$ ，要求 $\Delta=0$ ，即抵达了事件视界．此时，观测者与黑洞的角速度相同，

$$
\Omega_{\mathrm{H}} \equiv \omega\left(r_{+}\right)=\frac{a}{r_{+}^2+a^2}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：克尔几何

下一篇：测地运动

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)