最后更新: 2025-12-23 10:54 查看: 17 次纠错评论(0) 课件开VIP

测地运动

10．3．3 测地运动
克尔时空中测地运动的讨论同样可以利用运动常数．一般而言，由于缺乏球对称性，克尔时空中的粒子无法保证是在一个平面上运动．表面上看，我们只有两个运动常数，似乎不足以把测地线的运动约化到一维．实际上，由于潜藏对称性的存在，我们还可以定义一个运动常数——卡特常数来简化我们的讨论．这里我们不准备对克尔时空中的测地线做完整的讨论，而只是关注在赤道面上的测地运动．可以证明粒子的轨道可以被限制在 $\theta=\pi / 2$ 的赤道面上．在此赤道面上的粒子，其运动在 $\theta \rightarrow \pi-\theta$ 下不变，所以 $u^\theta=0$ ，粒子可以等效地看作在如下度规中运动：

$$
\mathrm{d} s^2=-(1-2 \mu / r) \mathrm{d} t^2-\frac{4 a \mu}{r} \mathrm{~d} t \mathrm{~d} \phi+\frac{r^2}{\Delta} \mathrm{~d} r^2+\left(r^2+a^2+2 \mu a^2 / r\right) \mathrm{d} \phi^2 .
$$

由基灵对称性，我们可以定义粒子的守恒能量密度和角动量密度：

$$
\begin{aligned}
& E=-\widehat{\xi} \cdot \widehat{u}=-\left(g_{t t} u^t+g_{t \phi} u^\phi\right), \\
& L=\widehat{\eta} \cdot \widehat{u}=g_{\phi t} u^t+g_{\phi \phi} u^\phi,
\end{aligned}
$$

而粒子的 4 速度分量可写作

$$
\begin{aligned}
u^t & =\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}=\frac{1}{\Delta}\left(\left(r^2+a^2+2 \mu a^2 / r\right) E-\frac{2 \mu a}{r} L\right) \\
u^\phi & =\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} \tau}=\frac{1}{\Delta}\left((1-2 \mu / r) L+\frac{2 \mu a}{r} E\right) .
\end{aligned}
$$

利用 4 速度的归一化条件以及 $u^\theta=0$ ，我们最终得到

$$
\frac{E^2-1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2+V_{\mathrm{eff}}(r, E, L),
$$

这里

$$
V_{\mathrm{eff}}(r, E, L)=-\frac{\mu}{r}+\frac{L^2-a^2\left(E^2-1\right)}{2 r^2}-\frac{\mu(L-a E)^2}{r^3} .
$$

所以，粒子在赤道面上的运动同样被约化到一个势 $V_{\text {eff }}$ 中的一维运动．
我们也可以考虑光子的运动。此时光子的4－速度是零矢量 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=0$ ，其运动依赖入射参数 $b=|L / E|$ 。此外，其运动还依赖光子是顺着（co－rotating）黑洞的转动方向 （共转）还是逆着（counter－rotating）黑洞的转动方向（逆转），这由角动量密度 $L$ 的符号 $\sigma=\operatorname{sign}(L)$ 决定．最终我们得到径向方程

$$
\frac{1}{L^2}\left(\frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2=\frac{1}{b^2}-V_{\mathrm{eff}}(r, b, \sigma)
$$

其中

$$
V_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{r^2}\left(1-\left(\frac{a}{b}\right)^2-\frac{2 \mu}{r}\left(1-\sigma \frac{a}{b}\right)^2\right) .
$$

当 $a=0$ 时，回到史瓦西时空．显然，由于转动黑洞的惯性系拖曳效应，$\sigma>0$ 的共转光子与 $\sigma<0$ 的逆转光子的运动是不同的．

与史瓦西时空的情形类似，我们可以讨论克尔时空中各种测地运动问题：圆周运动、光子不稳定圆周运动的半径、光线偏折，以及束缚轨道的形状等．譬如说，对于 $a=\mu$ 的极端黑洞，光子的圆周轨道与光子相对于黑洞的旋转相联系：
（1）如果是共转，不稳定圆周轨道在 $r=\mu$ ；
（2）如果是逆转，不稳定圆周轨道在 $r=4 \mu$ ．
而对于有质量粒子的最内层稳定圆周轨道（ISCO），由

$$
\left.\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \tau}\right|_{r=R}=0 \Rightarrow \frac{E^2-1}{2}=V_{\mathrm{eff}}(R, E, L) .
$$

而圆周运动的径向加速度为零给出

$$
\left.\frac{\partial V_{\mathrm{eff}}}{\partial r}\right|_{r=R}=0,
$$

稳定性要求

$$
\left.\frac{\partial^2 V_{\mathrm{eff}}}{\partial r^2}\right|_{r=R} \geqslant 0 .
$$

如果没有转动，$a=0$ ，此时 $R=6 \mu$ ．这正是史瓦西黑洞中的 ISCO 轨道．如果黑洞是极端黑洞，$\frac{a}{\mu}=1$ ，我们有

$$
\begin{cases}R=\mu, & \text { 共转, } \\ R=9 \mu, & \text { 逆转. }\end{cases}
$$

对于极端黑洞共转 ISCO，粒子能量密度和角动量密度要满足

$$
E=\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad L=\frac{2 \mu}{\sqrt{3}}, \quad R_{\mathrm{ISCO}}=\mu
$$

粒子的束缚能密度是粒子在无穷远静止时的能量密度与该粒子在轨道上的能量密度之差。因此，粒子单位静止质量的束缚能是 $1-E$ ，在共转 ISCO 轨道上取最大值 $1-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 42 \%$ 。也就是说，如果从无穷远释放粒子到达 ISCO 轨道，粒子静止质量的 $42 \%$ 都要释放出去．这是一个惊人的数值，远远大于核反应的能量释放率．实际的天体
黑洞没有严格意义上的极端黑洞，但存在近极端黑洞，其 $a$ 比 $G M$ 略小，其中粒子到达 ISCO 轨道时的能量释放率也是惊人的。

利用粒子的测地运动可以讨论一下克尔黑洞的宇宙监督法则．宇宙监督法则告诉我们，黑洞的裸奇点不应该出现．因此，对于克尔黑洞而言，一个物理的黑洞必须有 $a \leqslant \mu$ 。而当 $a>\mu$ 时，尽管仍然是爱因斯坦方程的解，但这个解不是物理的，因为它没有视界来保护裸奇点．也就是说，当 $a>\mu$ 时，宇宙监督法则被破坏．假定存在一个极端克尔黑洞，$a=\mu$ ，我们让一个具有角动量密度 $L$ 和质量密度 $E$ 的粒子掉人黑洞中，黑洞的质量和角动量的变化为

$$
\left.\begin{array}{r}
\delta M=m E \\
\delta J=m L
\end{array}\right\} \Rightarrow \delta a \approx \frac{m}{M}(L-a E) .
$$

如果粒子的角动量 $L>2 E G M$ ，则

$$
\delta a>\frac{m}{M}(2 E G M-a E)=m E\left(2 G-\frac{a}{M}\right) \geqslant G \delta M .
$$

这样的话，可以有 $(a+\delta a)>G(M+\delta M)$ ，从而破坏了宇宙监督法则．以上讨论的问题在哪呢？问题在于当粒子的角速度较大时，它有可能无法被黑洞捕捉到．我们可以做定量的分析．从前面对粒子测地运动的讨论得知，径向运动可以约化为一个在有效势中的一维问题．当有效势 $V_{\text {eff }}$ 的最高处大于 $\frac{E^2-1}{2}$ 时，粒子无法被黑洞捕捉到，而是在转折点转向后飞回无穷远．由 $\frac{\partial V_{\text {eff }}}{\partial r}=0$ 可以确定极值点．对于取下界的情形
$L=2 G M E$ ，问题变得简单，$r=G M$ 是极大值点，此时 $V_{\mathrm{eff}}(r=G M)=\frac{E^2-1}{2}$ ．也就是说，在此情况下粒子做不稳定的圆周运动，即使微扰掉到黑洞里也不会破坏宇宙监督法则。而当 $L>2 G M E$ 时，粒子无法翻越势垒掉进黑洞里，其运动是被黑洞散射回无穷远处。由此可见，宇宙监督法则无法通过这种方式被破坏。

在结束测地运动的讨论之前，我们想指出，在克尔黑洞中存在闭合类时曲线（CTC）．克尔黑洞内禀奇点在环上，包围着一个圆盘区域．如果一个粒子穿过奇点的内部，将从另一个渐近平直区域出来．这个新的区域可以通过 $r<0$ 的克尔度规来描述，但此时 $\Delta$ 不会为零，所以没有事件视界．在新的时空中，在奇点环附近的区域存在闭合类时曲线．这一点可以从赤道面上绕 $\phi$ 的运动看出．我们可以保持 $t$ 和 $r$ 不变，因此这条路径的线元为

$$
\mathrm{d} s^2=\left(r^2+a^2+2 \mu a^2 / r\right) \mathrm{d} \phi^2 .
$$

当 $r$ 为负且绝对值比较小时，这个线元可以是负的，代表曲线是一条类时曲线．由于 $\phi$的周期性，我们得到了闭合类时曲线．

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