最后更新: 2025-12-23 10:57 查看: 23 次纠错评论(0) 课件开VIP

彭罗斯过程

10．3．4 彭罗斯过程
在克尔黑洞中，无穷大红移面 $r_{S^{+}}$与事件视界 $r_{+}$并不重合，存在一个中间区域，这个区域称为能层（ergoregion），如图 10.3 所示。在这个区域中，$g_{t t}>0$ ，也就是说 $\partial_t$ 并非一个类时矢量，$t$ 不再是一个好的时间坐标．一个观测者在这个区域中无法在 $(r, \theta, \phi)$ 上保持固定，也就是说必须随着黑洞的旋转而运动．然而，在能层中观测者还没有进入视界，可以自由地选择进入或者远离视界，也可以从稳态极限面中出来．彭罗斯指出，在能层中可以抽取克尔黑洞的转动能量．这也是能层一词的来源（5）．
 ![图片](/uploads/2025-12/fa8e01.jpg)
 
 彭罗斯设想的过程如下．假设一个无穷远处固定位置的观测者向黑洞发射粒子 $A$进人克尔黑洞的能层中．对无穷远观测者，粒子 $A$ 的能量为

$$
E^{(A)}=-\widehat{P}^{(A)}(\mathcal{E}) \cdot \widehat{u}_{\mathrm{obs}}=-P_t^{(A)}(\mathcal{E}),
$$

其中 $u_{\mathrm{obs}}^\mu=(1,0,0,0)$ 是观测者的 4－速度．假定在能层中 $\mathcal{D}$ 处粒子发生衰变，$A \rightarrow B+ C$ 。由爱因斯坦的等效原理，局域地粒子的 4－动量守恒：$\widehat{P}^{(A)}(\mathcal{D})=\widehat{P}^{(B)}(\mathcal{D})+\widehat{P}^{(C)}(\mathcal{D})$ ．如果粒子 $C$ 回到无穷远处，观测者发现其能量为

$$
E^{(C)}=-P_t^{(C)}(\mathcal{R})=-P_t^{(C)}(\mathcal{D}),
$$

最后一个等式来自观测者的 4－速度正好是时空的基灵矢量．同理，粒子 $A$ 的能量在无穷远处与在衰变处的相同，$P_t^{(A)}(\mathcal{D})=P_t^{(A)}(\mathcal{E})$ ，因此有

$$
E^{(C)}=P_t^{(B)}(\mathcal{D})+E^{(A)} .
$$

另一方面，$P_t^{(B)}=\widehat{e}_t \cdot \widehat{P}^{(B)}$ 而 $\widehat{e}_t \cdot \widehat{e}_t=g_{t t}$ ．如果 $B$ 逃出 $r_{S^{+}}$，则

$$
g_{t t}<0 \Rightarrow \widehat{e}_t \text { 是类时的, }
$$

因此

$$
-P_t^{(B)}=E^{(B)}>0 \Rightarrow E^{(C)}<E^{(A)} .
$$

也就是说，出射粒子 $C$ 的能量小于人射粒子 $A$ 的能量．但是如果 $B$ 无法逃出 $r_{S^{+}}$，反而掉进黑洞视界中，在能层内 $g_{t t}>0, \widehat{e}_t$ 是一个类空矢量，所以 $P_t^{(B)}$ 可正可负．如果 $P_t^{(B)}>0$ ，则

$$
E^{(C)}>E^{(A)},
$$

即出射粒子的能量大于人射粒子能量．这样一种从能层抽取能量的过程称为彭罗斯过程，如图 10.4 所示．

![图片](/uploads/2025-12/ee13d2.jpg)
 
由于能量守恒，多余的能量不能无缘无故地产生，彭罗斯过程中粒子实际上从克尔黑洞抽取了能量．更准确地说，彭罗斯过程通过降低黑洞的角动量抽取了转动能．当粒子 $B$ 掉进事件视界后，黑洞的质量和角动量都发生变化：

$$
M \rightarrow M-P_t^{(B)} / c^2, \quad J \rightarrow J+P_\phi^{(B)} .
$$

由于 $P_t^{(B)}>0, P_\phi^{(B)}<0$ ，粒子 $B$ 使黑洞的质量和角动量都减少．为了看出 $P_\phi^{(B)}<0$ ，我们可以考虑一个在能层内固定于 $r$ 和 $\theta$ 处的观测者，具有 4 －速度

$$
u^\mu=u^t(1,0,0, \Omega), \quad \Omega=\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t .
$$

该观测者看到粒子的能量是正的：

$$
\begin{aligned}
& E^{(B)}=-P_\mu^{(B)} u^\mu=-u^t\left(P_t^{(B)}+P_\phi^{(B)} \Omega\right)>0 \\
\Rightarrow & P_t^{(B)}+P_\phi^{(B)} \Omega<0 \\
\Rightarrow & P_\phi^{(B)}<-P_t^{(B)} / \Omega .
\end{aligned}
$$
因此，$P_t^{(B)}>0 \Rightarrow P_\phi^{(B)}<0$ ，即落人黑洞的粒子如果 $P_t^{(B)}>0$ 则必然有负的角动量，从而减少了黑洞的角动量．

如果彭罗斯过程持续发生，使黑洞的转动能被一直提取，直到其角动量为零，最终转动黑洞变成一个史瓦西黑洞．上面的讨论中对角动量的限制应该对能层中所有的观测者都成立．能层中最大角速度是在外视界 $r=r_{+}$处，$\Omega_{\max }=\Omega_{\mathrm{H}}$ ．这将导致

$$
\delta J \leqslant \frac{\delta M}{\Omega_{\mathrm{H}}}, \text { 或 } \delta M \geqslant \delta J \Omega_{\mathrm{H}} \text {, }
$$

其中

$$
\delta M=-P_t^{(B)}, \quad \delta J=P_\phi^{(B)} .
$$

不等式（10．164）无论 $P_t^{(B)}$ 是正是负都成立．当 $P_t^{(B)}$ 是负时，粒子的角动量可正可负，但不能太大，被这个不等式所限制．对于彭罗斯过程，$\delta J, \delta M<0$ ．这个关系对能在多大程度上减少黑洞的角动量给出了限制，最理想的情况是 $\delta J=\delta M / \Omega_{\mathrm{H}}$ ．

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