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黑洞热力学与黑洞定律

10.4 黑洞热力学

实际上，黑洞事件视界的面积总是增加的，此即黑洞第二定律．这是由于黑洞总是吸引物质进人视界，而经典上没有物质能够逃离黑洞的事件视界。对于球对称史瓦西黑洞而言，视界面积与黑洞的质量平方成正比，因此吸收了外界物质以后黑洞质量增加，视界面积当然也总是增大的。而对于旋转克尔黑洞，情况要稍微复杂一些。由于彭罗斯过程存在，黑洞的质量可以减小，其视界面积有可能减小（6）然而实际上，即使对于克尔黑洞，彭罗斯过程也不可能使黑洞视界面积减小．

对于克尔黑洞，其外视界面积为

$$
A=4 \pi\left(r_{+}^2+a^2\right)=8 \pi \mu\left(\mu+\sqrt{\mu^2-a^2}\right) .
$$

易见，在吸收粒子以后，面积的变化为

$$
\delta A=\frac{8 \pi}{\kappa}\left(\delta M-\Omega_{\mathrm{H}} \delta J\right),
$$

其中

$$
\kappa=\frac{\sqrt{\mu^2-a^2}}{2 \mu r_{+}}
$$
称为表面引力，而 $\Omega_{\mathrm{H}}=\frac{a}{2 \mu r_{+}}$是视界处的转动角速度．上一节的讨论告诉我们，$\delta M \geqslant \Omega_{\mathrm{H}} \delta J$ ，因此 $\delta A \geqslant 0$ ．我们可以定义一个正比于黑洞视界面积的不可约质量

$$
\begin{aligned}
M_{\mathrm{irr}}^2 & =\frac{A}{16 \pi G^2} \\
& =\frac{1}{4 G^2}\left(r_{+}^2+a^2\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(M^2+\sqrt{M^4-(M a / G)^2}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(M^2+\sqrt{M^4-(J / G)^2}\right) .
\end{aligned}
$$

它与原来的质量间的关系为

$$
M^2=M_{\mathrm{irr}}^2+\frac{J^2}{4 M_{\mathrm{irr}}^2}
$$

显然，这个不可约质量是不会减少的，

$$
\delta M_{\mathrm{irr}}>0 .
$$

彭罗斯过程可以减少黑洞的质量和角动量，但不能减少不可约质量．我们可以计算出从克尔黑洞中抽取能量的最大值．通过彭罗斯过程，黑洞的质量和角动量减少，直到转动黑洞的角动量为零，黑洞成为一个球对称史瓦西黑洞．由于史瓦西黑洞能够拥有的最小质量必须比原黑洞的不可约质量大，因此能够释放的最大能量为

$$
M-M_{\mathrm{irr}}=M-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(M^2+\sqrt{M^4-(J / G)^2}\right)^{1 / 2} .
$$
最极端的情形是我们从一个极端克尔黑洞中抽取能量，直到它变成一个史瓦西黑洞．在此情况下，$J=G M^2$ ，我们能够得到原来黑洞约 $29 \%$ 的能量。

在讨论克尔黑洞的彭罗斯过程中，我们得到了黑洞视界面积的变化公式

$$
\delta A=\frac{8 \pi}{\kappa}\left(\delta M-\Omega_{\mathrm{H}} \delta J\right),
$$

其中 $\kappa$ 称为表面引力，可以证明它是一个常数．我们可以把（10．173）式写作

$$
\delta M=\frac{\kappa}{8 \pi} \delta A+\Omega_{\mathrm{H}} \delta J .
$$

这就是黑洞第一定律．
下面我们讨论黑洞第二定律的两个物理后果．一个是关于黑洞碰撞中能量的可能损耗，另一个是对黑洞分裂的限制．

（1）黑洞碰撞中的质量／能量转化率．
考虑两个质量分别为 $M_1, M_2$ 的黑洞碰撞，最终形成一个质量为 $M_3$ 的黑洞，辐射掉的能量是 $M_1+M_2-M_3$ ，而效率为

$$
\eta=\frac{M_1+M_2-M_3}{M_1+M_2}=1-\frac{M_3}{M_1+M_2} .
$$

假定初始的两个黑洞都是球对称黑洞，$A_1=16 \pi M_1^2, A_2=16 \pi M_2^2$ ，面积不减定理要求

$$
A_3 \geqslant 16 \pi\left(M_1^2+M_2^2\right) .
$$

但是 $16 \pi M_3^2 \geqslant A_3$（等号在晚些时候才成立），所以

$$
M_3 \geqslant \sqrt{M_1^2+M_2^2} .
$$

因此转换率被限制，

$$
\eta \leqslant 1-\frac{\sqrt{M_1^2+M_2^2}}{M_1+M_2} \leqslant 1-\frac{1}{\sqrt{2}} .
$$

辐射能可以用来做功，所以面积不减定理对可以从黑洞中抽取的能量给出了限制，类似于热力学第二定律对热机效率的限制．

（2）黑洞不可能分裂．
假设一个黑洞可以分裂成两个，$M_3 \rightarrow M_1+M_2$ ．面积不减定理告诉我们

$$
M_3 \leqslant \sqrt{M_1^2+M_2^2} \leqslant M_1+M_2
$$

但能量守恒要求 $M_3 \geqslant M_1+M_2\left(M_3-M_1-M_2\right.$ 的质量被辐射掉），矛盾．
黑洞第一定律可以与通常的热力学第一定律

$$
\mathrm{d} U=T \mathrm{~d} S+\text { 做功项 }
$$

比较．很自然地我们可以把 $\Omega_{\mathrm{H}} \delta J$ 当作＂做功项＂，则会发现以下的对应关系：

$$
A \sim S, \quad \kappa \sim T .
$$

如果参考其他的一些关于黑洞的知识，我们可以得到普通热力学定律与黑洞热力学定律的对应。

第零定律 $T$ 在热平衡态中是一个常数 $\leftrightarrow \kappa$ 在稳态黑洞的视界处是一个常数．
第一定律 $\mathrm{d} U=T \mathrm{~d} S+$ 做功 $\leftrightarrow \delta M=\frac{\kappa}{8 \pi} \delta A+\Omega_{\mathrm{H}} \delta J$ ．
第二定律 熵增原理 $\delta S>0 \leftrightarrow \delta A>0$ ，黑洞面积不减．

第三定律 不可能通过有限步物理过程使温度达到绝对零度，即 $T=0 \leftrightarrow$ 不可能通过任何有限步物理过程使 $\kappa=0$ ．

第三定律中 $\kappa=0$ 对应着极端黑洞，其中裸奇点将出现，因此第三定律实际上就是宇宙监督法则．

上面讨论中一个惊人的结果是黑洞具有熵和温度．这个熵是真实的，还是只是数学上的类比？如果我们把一杯热咖啡和一杯冷咖啡混合，这将增加世界的嫡．但如果我们把混合物倒人黑洞中，从而抹去了熵增加的痕迹，这样可以减少外界的熵．此时，整个系统的熵是如何变化的？这是 1970 年时普林斯顿大学的惠勒教授向年轻的贝肯斯坦（Bekenstein）提出的问题．惠勒指出一个在黑洞外部的观测者可以向黑洞扔熵不为零的物质从而减少黑洞外部的熵，因此如果只考虑黑洞的外部，热力学第二定律将被破坏．贝肯斯坦经过研究发现，黑洞必须具有熵，如果考虑黑洞的熵，则整个系统的熵还是增加的，而且黑洞的熵正比于黑洞视界的面积：

$$
S_{\mathrm{BH}} \propto A .
$$

稍后，霍金进一步研究，确定了比例系数，从而建立了黑洞的嫡公式．
贝肯斯坦－霍金嫡公式

$$
S=\frac{k_{\mathrm{B}} A}{4 \hbar G},
$$

其中 $k_{\mathrm{B}}$ 是玻尔兹曼常数．

贝肯斯坦－霍金熵的比例系数中普朗克常数的存在说明黑洞的熵是量子力学效应，而且无法通过取经典极限 $\hbar \rightarrow 0$ 来得到经典对应．黑洞的熵遵从面积律而非体积律有着深远的物理意义。首先，通常的局域物理规律描述的系统，其熵是满足体积律的，这意味着量子引力不能够通过简单的局域相互作用来描述．其次，黑洞的面积律实际上体现了量子引力的全息原理．黑洞的自由度可以通过其视界上的自由度来给出．这暗示着在量子引力中，一个引力体系的物理可以通过其边界上自由度的物理来刻画。 1993 年，诺贝尔物理学奖得主特霍夫特（＇t Hooft）提出了量子引力的全息原理． 1994年，萨斯坎德（Susskind）进一步发展了这个全息原理．关于全息原理的综述，参见文献 ［58］．1997年，马尔达西纳（Maldacena）提出了 AdS／CFT 对应关系 ${ }^{[59,60]}$ ，具体实现了量子引力的全息原理．简而言之，AdS／CFT 对应告诉我们：在 AdS 时空中的量子引力理论与 AdS 边界上的一个共形不变的量子场论等价．它把一个高维的引力理论与低维的量子场论联系起来，为研究量子引力和量子场论中的很多棘手问题提供了新的思路和方法．AdS／CFT 对应成为过去二十多年里理论物理研究中最重要的方向之一．

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