最后更新: 2025-12-24 10:01 查看: 26 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

排列组合常见模型-先选后排

## 排列组合常见模型-先选后排
先选后排是排列组合中处理复杂计数问题的核心思想，适用于 “先从整体中选取部分元素，再对选出的元素进行排列” 的场景。其本质是分步乘法计数原理的具体应用：先通过组合确定 “选哪些元素”，再通过排列确定 “元素的顺序”，最终的方法数 = 组合数 × 排列数。

当题目同时满足以下两个条件时，优先使用先选后排：
元素需要筛选：总数较多，需先从其中选出符合条件的部分元素；
顺序影响结果：选出的元素需要按特定要求排列（如排队、排位置、组成数字等）。
**常见场景**：
从若干人中选部分人排队；
从若干数字中选部分数字组成无重复数字的多位数；
从不同物品中选部分物品放入不同位置。

##  核心原理与公式
设从 $N$ 个不同元素中，选出 $k$ 个元素，再将这 $k$ 个元素进行全排列：
1.  **选**：从 $N$ 个元素中选 $k$ 个，组合数为 $\boldsymbol{C_{N}^{k}}$；
2.  **排**：将选出的 $k$ 个元素全排列，排列数为 $\boldsymbol{A_{k}^{k}=k!}$；
3.  **总方法数**：$\boldsymbol{C_{N}^{k} \times A_{k}^{k}=A_{N}^{k}}$（等价于从 $N$ 个元素中选 $k$ 个的排列数）。

延伸：若选出的 $k$ 个元素还需按**特殊限制**排列（如相邻、不相邻、定序），则“排”的步骤需结合捆绑法、插空法等技巧计算。

## 典型例题

`例`从10名学生中选3名参加校运会的跑步比赛，并确定第一、二、三名的顺序，有多少种不同的方法？

解：
方法一：先选后排
1.  **选**：从10人中选3人，组合数 $C_{10}^{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$；
2.  **排**：将3人排序确定名次，排列数 $A_{3}^{3}=6$；
3.  总方法数 = $120\times6=720$ 种。

方法二：直接排列
等价于从10人中选3人排列，即 $A_{10}^{3}=10\times9\times8=720$ 种。

`例` 从1,2,3,4,5,6这6个数字中选3个，组成无重复数字的三位数，要求百位数字大于十位数字，有多少种方法？

解：
1.  **选**：先从6个数字中选3个，组合数 $

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