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代数元、超越元、单扩张

6.2 代数元、超越元、单扩张

本节先介绍域 $F$ 上代数元和超越元的概念，再分析添加代数元或者超越元 $\alpha$时单扩张 $F(\alpha)$ 的性质．

定义6．2．1 设 $E$ 是 $F$ 的一个扩域，$\alpha \in E$ ．如果存在 $F$ 上的非零多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个代数元．否则，称 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个超越元．特别地，有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的代数元称为代数数，超越元称为超越数．

例如，$\sqrt{2}$ 是代数数，而圆周率 $\pi$ 和自然对数的底 e 等都是超越数。
定义6．2．2 扩域 $F(\alpha)$ 称为域 $F$ 的单扩张。特别地，如果 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个代数元，则称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单代数扩张；如果 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个超越元，则称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单超越扩张．

例如， $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 是有理数域 $\mathbf{Q}$ 的一个单代数扩张，而 $\mathbf{Q}(\pi)$ 是 $\mathbf{Q}$ 的一个单超越扩张．

定义 6．2 ． 3 如果 $f(\alpha)=0$ ，也称 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根，$f(x)$ 为 $\alpha$ 的一个零化多项式．$\alpha$ 的首项系数为 1 的次数最低的零化多项式称为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式。称 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式 $f(x)$ 的次数为 $\alpha$ 的次数．

例6．2 ． 1 虚部单位 i 为有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的 2 次代数元，它在 $\mathbf{Q}$ 上的极小多项式为 $x^2+1$ ．
例 6．2 ． $2 \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的 4 次代数元，它在 $\mathbf{Q}$ 上的极小多项式为 $x^4-10 x^2+1$ ．

容易证明 $\alpha$ 的极小多项式满足下面的性质。
性质 6．2 ． 1 设 $f(x)$ 为域 $F$ 上的代数元 $\alpha$ 的极小多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约，并且如果存在 $F[x]$ 上多项式 $h(x)$ 使得 $h(\alpha)=0$ ，则有 $f(x) \mid h(x)$ ．

证明（1）如果 $f(x)$ 可约，则存在比 $f(x)$ 次数更低的多项式 $g_i(x)$ 使得 $f(x)=g_1(x) g_2(x)$ ，于是有

$$
g_1(\alpha) g_2(\alpha)=f(\alpha)=0 .
$$

由于域 $F(\alpha)$ 没有零因子，故有 $g_1(\alpha)=0$ ，或者 $g_2(\alpha)=0$ ，于是 $\alpha$ 存在比 $f(x)$ 次数更低的零化多项式 $g_1(x)$ 或者 $g_2(x)$ ，这与 $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式矛盾．故 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约．
（2）对于多项式 $h(x)$ 和 $f(x)$ ，由带余除法，存在 $F[x]$ 上多项式 $q(x)$ 和 $r(x)$使得

$$
h(x)=f(x) q(x)+r(x)
$$

其中 $r(x)=0$ ，或者 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)$ ．
由于 $h(\alpha)=0, f(\alpha)=0$ ，故有 $r(\alpha)=0$ ，于是 $r(x)$ 也是 $\alpha$ 的零化多项式。由于 $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，故有 $r(x)=0$ ，从而 $f(x) \mid h(x)$ ．\＃

下面的定理给出了单扩张的性质．
定理6．2．1 设 $K / F$ 是一个域扩张，$\alpha \in K$ ，则有
（1）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的超越元，则 $F[\alpha] \cong F[x], F(\alpha) \cong F(x)$ ；
（2）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，$f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，则 $F(\alpha)=F[\alpha]$ ，且

$$
F(\alpha) \cong F[x] /(f(x))
$$

证明 先构造多项式环 $F[x]$ 到 $F[\alpha]$ 间的对应关系 $\eta: F[x] \rightarrow F[\alpha]$ 使得

$$
\eta(x)=\alpha, \quad \eta(f(x))=f(\alpha),
$$

容易证明 $\eta$ 为环的满同态，$\left.\eta\right|_F=\mathbf{1}_F$ ，且 $\operatorname{Ker}(\eta)=\{f(x) \in F[x] \mid \eta(f(x))=f(\alpha) =0\}$ ．

（1）如果 $\alpha$ 为超越元，则只有 0 为 $\alpha$ 的零化多项式，故 $\operatorname{Ker}(\eta)=\{0\}$ ，从而 $F[\alpha] \cong F[x]$ ，于是 $F[\alpha]$ 的商域 $F(\alpha)$ 也与 $F[x]$ 的商域 $F(x)$ 同构．
（2）如果 $\alpha$ 为代数元，$f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，则

$$
\operatorname{Ker}(\eta)=\{f(x) \in F[x] \mid \eta(f(x))=f(\alpha)=0\}=(f(x)),
$$

于是有

$$
F[\alpha] \cong F[x] /(f(x)) .
$$

由于 $f(x)$ 为 $F$ 上不可约多项式，$F[x] /(f(x))$ 是一个域，故 $F[\alpha]$ 也是一个域，即有

$$
F(\alpha)=F[\alpha] \text { 且 } F(\alpha) \cong F[x] /(f(x)) .
$$

下面分析单代数扩张 $F(\alpha)$ 中元素的形式以及 $F(\alpha)$ 中元素的运算．
设 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，由 $f(\alpha)=0$得

$$
\alpha^n=-\left(a_1 \alpha^{n-1}+\cdots+a_n\right)
$$

因此当 $m \geqslant n$ 时，$\alpha^m$ 经过（6．2．1）式逐次迭代，恒可表成 $1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}$ 的线性组合，因而 $F(\alpha)$ 的每个元素都可以表成关于 $\alpha$ 的次数不超过 $n$ 的多项式

$$
b_0+b_1 \alpha+\cdots+b_{n-1} \alpha^{n-1}, \quad b_i \in F
$$

的形式，而且表法唯一．$F(\alpha)$ 中元素相加按多项式加法相加，元素相乘按多项式相乘，乘得的结果，利用（6．2．1）式将 $\alpha$ 的高次幂 $\alpha^m(m \geqslant n)$ 逐次降低，使得结果最后表成（6．2．2）式的形式．

例如，$\sqrt{2}$ 是 $\mathbf{Q}$ 上的不可约多项式 $x^2-2$ 的根，故有

$$
\mathbf{Q}(\sqrt{2}) \cong(\mathbf{Q}[x]) /\left(x^2-2\right) \text { 且 } \mathbf{Q}(\sqrt{2})=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbf{Q}\} \text {. }
$$

下面介绍 $F$－同构的概念，并给出一类特殊的单代数扩张间的同构关系．
定义 6．2．4 设 $K_i / F(i=1,2)$ 为两个域扩张，若存在 $K_1$ 到 $K_2$ 的一个同构 （或同态）$\eta$ ，使得 $\eta$ 限制在 $F$ 上为恒等同构，则 $\eta$ 叫做一个 $F$－同构（或 $F$－同态）。

设 $\eta: K \rightarrow K \prime$ 是一个 $F$－同构，$\alpha \in K$ ，则 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元当且仅当 $\eta(\alpha)$是 $F$ 上的代数元，此时 $\alpha$ 和 $\eta(\alpha)$ 有相同的极小多项式。

定理 6．2．1 说明，如果 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，$f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，则 $F(\alpha) \cong F[x] /(f(x))$ ．反之，若 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约，则一定存在 $F$ 的一个扩域 $K$ 使得 $\alpha$ 是 $f(x)$ 在 $K$ 中的一个根．即有下面的根的存在性定理．

定理 6．2．2 设 $F$ 为一域，$f(x) \in F[x]$ 为一个不可约多项式，则存在 $F$ 的一个扩域 $K$ 使得 $\alpha$ 是 $f(x)$ 在 $K$ 中的一个根．

证明 因为 $f(x)$ 为 $F[x]$ 上的不可约多项式，故 $f(x)$ 生成的理想 $(f(x))$ 为极大理想，商环 $F[x] /(f(x))$ 构成一个域，记为 $K=F[x] /(f(x))$ ．

易验证映射 $a \mapsto \bar{a}=a+(f(x))$ 是域 $F$ 到 $K$ 的一个单同态，将 $a$ 与 $\bar{a}$ 等同，于是 $F$ 可以看成 $K$ 的一个子域．令 $\alpha=\bar{x}=x+(f(x))$ ，不妨设 $f(x)=a_0+ a_1 x+\cdots+x^n$ ，则有

$$
f(\alpha)=a_0+a_1 \alpha+\cdots+\alpha^n=\overline{a_0}+\overline{a_1} \cdot \bar{x}+\cdots+\overline{x^n}=\overline{f(x)}=\overline{0},
$$

所以 $\alpha$ 为 $f(x)$ 在 $K=F[x] /(f(x))$ 中的一个根．

\＃

注6．2．1 由于 $\alpha$ 为不可约多项式 $f(x)$ 的一个根，故由定理 6．2．1 的结论 （1）知 $F(\alpha) \cong F[x] /(f(x))$ ，故存在 $F$ 的一个单代数扩张 $F(\alpha)$ 使得 $f(x)$ 在 $F(\alpha)$中有一个根．

推论6．2．1 设 $F$ 为一域，$f(x)$ 为 $F[x]$ 上的不可约多项式．若 $\alpha, \beta$ 都是 $f(x)$ 的根，则 $F(\alpha)$ 和 $F(\beta)$ 之间有一个 $F$－同构 $\eta$ 使得 $\eta(\alpha)=\beta$ ．

证明 由于 $f(x)$ 为 $F[x]$ 上的不可约多项式，$\alpha, \beta$ 都是 $f(x)$ 的根，故 $f(x)$为 $\alpha, \beta$ 在 $F$ 上的极小多项式．因此由定理6．2．1 的结论（2）可以得到
$$
F(\alpha) \cong F[x] /(f(x)) \text { 且 } F(\beta) \cong F[x] /(f(x)),
$$

其中 $\alpha, \beta$ 都与 $\bar{x}$ 对应．故存在 $F$－同构 $\eta$ 使得 $F(\alpha) \cong F(\beta)$ 并且 $\eta(\alpha)=\beta . \quad \#$

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