最后更新: 2025-12-26 15:00 查看: 8 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

代数元、超越元、单扩张

6.2 代数元、超越元、单扩张

本节先介绍域 $F$ 上代数元和超越元的概念，再分析添加代数元或者超越元 $\alpha$时单扩张 $F(\alpha)$ 的性质．

定义6．2．1 设 $E$ 是 $F$ 的一个扩域，$\alpha \in E$ ．如果存在 $F$ 上的非零多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个代数元．否则，称 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个超越元．特别地，有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的代数元称为代数数，超越元称为超越数．

例如，$\sqrt{2}$ 是代数数，而圆周率 $\pi$ 和自然对数的底 e 等都是超越数。
定义6．2．2 扩域 $F(\alpha)$ 称为域 $F$ 的单扩张。特别地，如果 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个代数元，则称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单代数扩张；如果 $\alpha$ 为 $F$ 上的一个超越元，则称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单超越扩张．

例如， $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 是有理数域 $\mathbf{Q}$ 的一个单代数扩张，而 $\mathbf{Q}(\pi)$ 是 $\mathbf{Q}$ 的一个单超越扩张．

定义 6．2 ． 3 如果 $f(\alpha)=0$ ，也称 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根，$f(x)$ 为 $\alpha$ 的一个零化多项式．$\alpha$ 的首项系数为 1 的次数最低的零化多项式称为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式。称 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式 $f(x)$ 的次数为 $\alpha$ 的次数．

例6．2 ． 1 虚部单位 i 为有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的 2 次代数元，它在 $\mathbf{Q}$ 上的极小多项式为 $x^2+1$ ．
例 6．2 ． $2 \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的 4 次代数元，它在 $\mathbf{Q}$ 上的极小多项式为 $x^4-10 x^2+1$ ．

容易证明 $\alpha$ 的极小多项式满足下面的性质。
性质 6．2 ． 1 设 $f(x)$ 为域 $F$ 上的代数元 $\alpha$ 的极小多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约，并且如果存在 $F[x]$ 上多项式 $h(x)$ 使得 $h(\alpha)=0$ ，则有 $f(x) \mid h(x)$ ．

证明（1）如果 $f(x)$ 可约，则存在比 $f(x)$ 次数更低的多项式 $g_i(x)$ 使得 $f(x)=g_1(x) g_2(x)$ ，于是有

$$
g_1(\alpha) g_2(\alpha)=f(\alpha)=0 .
$$

由于域 $F(\alpha)$ 没有零因子，故有 $g_1(\alpha)=0$ ，或者 $g_2(\alpha)=0$ ，于是 $\alpha$ 存在比 $f(x)$ 次数更低的零化多项式 $g_1(x)$ 或者 $g_2(x)$ ，这与 $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式矛盾．故 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约．
（2）对于多项式 $h(x)$ 和 $f(x)$ ，由带余除法，存在 $F[x]$ 上多项式 $q(x)$ 和 $r(x)$使得

$$
h(x)=f(x) q(x)+r(x)
$$

其中 $r(x)=0$ ，或者 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{

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