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第六章 域扩张理论及其应用
素域和域的扩张
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更新:
2025-12-26 14:58
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素域和域的扩张
域是一个具有双重群结构的代数系统,它既是一个加法交换群,非零元素又构成一个乘法交换群,加法和乘法由分配律相联系。有理数域、实数域、复数域是常见的几类数域,模素数 $p$ 的剩余类环 $\mathbf{Z}_p$ 是一类有限域。对于域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ ,当 $f(x)$ 为不可约多项式时,商环 $F[x] /(f(x))$ 也构成一个域.本章将介绍域扩张的基本概念,重点介绍单扩张、有限扩张、代数扩张、正规扩张、可分扩张等基本概念和性质,并简单介绍伽罗瓦理论及其应用. 6.1 素域和域的扩张 4.2 节介绍了环和域的特征,特征刻画的是单位元 $e$ 在加法群中的阶.对于整环和域,其特征要么为 0 ,要么为素数 $p$ .设 $F$ 为一个域,$e$ 为其单位元,则 $e$ 在 $F$中生成一个子环 $R_0=\{n e \mid n \in \mathbf{Z}\}$ ,映射 $\varphi: n \rightarrow n \cdot e$ 为环 $\mathbf{Z}$ 到 $R_0$ 的满同态,且有下面的结论: 定理6.1.1 设 $F$ 是一域,如果 $\operatorname{char}(F)=0$ ,那么 $F$ 包含一子域与有理数域 $\mathbf{Q}$ 同构。如果 $\operatorname{char}(F)=p \neq 0$ ,那么 $F$ 包含一子域与 $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ 同构。 证明 定义整数环 $\mathbf{Z}$ 到 $F$ 的映射 $\sigma$ 为 $$ \sigma(n)=n e, $$ 容易验证,$\sigma$ 是一个环同态. 如果 $\operatorname{char}(F)=p \neq 0$ ,那么 $\operatorname{Ker}(\sigma)=p \mathbf{Z}$ ,而 $\sigma$ 的象为 $R_0=\{0, e, 2 e, \cdots$ , $(p-1) e\}$ .由环同态基本定理,有 $R_0 \cong \mathbf{Z} / p \mathb
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