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素域和域的扩张

域是一个具有双重群结构的代数系统，它既是一个加法交换群，非零元素又构成一个乘法交换群，加法和乘法由分配律相联系。有理数域、实数域、复数域是常见的几类数域，模素数 $p$ 的剩余类环 $\mathbf{Z}_p$ 是一类有限域。对于域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ ，当 $f(x)$ 为不可约多项式时，商环 $F[x] /(f(x))$ 也构成一个域．本章将介绍域扩张的基本概念，重点介绍单扩张、有限扩张、代数扩张、正规扩张、可分扩张等基本概念和性质，并简单介绍伽罗瓦理论及其应用．
6.1 素域和域的扩张
4.2 节介绍了环和域的特征，特征刻画的是单位元 $e$ 在加法群中的阶．对于整环和域，其特征要么为 0 ，要么为素数 $p$ ．设 $F$ 为一个域，$e$ 为其单位元，则 $e$ 在 $F$中生成一个子环 $R_0=\{n e \mid n \in \mathbf{Z}\}$ ，映射 $\varphi: n \rightarrow n \cdot e$ 为环 $\mathbf{Z}$ 到 $R_0$ 的满同态，且有下面的结论：

定理6．1．1 设 $F$ 是一域，如果 $\operatorname{char}(F)=0$ ，那么 $F$ 包含一子域与有理数域 $\mathbf{Q}$ 同构。如果 $\operatorname{char}(F)=p \neq 0$ ，那么 $F$ 包含一子域与 $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ 同构。

证明 定义整数环 $\mathbf{Z}$ 到 $F$ 的映射 $\sigma$ 为

$$
\sigma(n)=n e,
$$

容易验证，$\sigma$ 是一个环同态．

如果 $\operatorname{char}(F)=p \neq 0$ ，那么 $\operatorname{Ker}(\sigma)=p \mathbf{Z}$ ，而 $\sigma$ 的象为 $R_0=\{0, e, 2 e, \cdots$ ， $(p-1) e\}$ ．由环同态基本定理，有 $R_0 \cong \mathbf{Z} / p \mathbf{Z}=\mathbf{Z}_p$ ．因为 $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ 是 $p$ 元域，故 $R_0$也是 $p$ 元域。

如果 $\operatorname{char}(F)=0$ ，那么 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\{0\}$ ，从而 $\sigma$ 是单射，于是 $\sigma$ 的象 $R_0 =\{n e \mid n \in \mathbf{Z}\} \cong \mathbf{Z}$ ．当 $n \neq 0$ 时，$n e \neq 0, \sigma$ 可以扩充定义到有理数 $\mathbf{Q}$ 上，即有

$$
\sigma\left(\frac{m}{n}\right)=(n e)^{-1}(m e) .
$$

事实上，若 $\frac{m}{n}=\frac{m^{\prime}}{n^{\prime}}$ ，则有 $m n^{\prime}=m^{\prime} n$ ，从而 $(m e)\left(n^{\prime} e\right)=\left(m^{\prime} e\right)(n e)$ ，于是有

$$
(n e)^{-1}(m e)=\left(n^{\prime} e\right)^{-1}\left(m^{\prime} e\right), ~ \text { 即 } \sigma\left(\frac{m}{n}\right)=\sigma\left(\frac{m^{\prime}}{n^{\prime}}\right) .
$$

因此上面的定义是合理的．
$\sigma$ 的象

$$
F_0=\left\{(n e)^{-1}(m e) \mid n, m \in \mathbf{Z}, n \neq 0\right\}
$$

显然是 $F$ 的一个子域，它与有理数域 $\mathbf{Q}$ 同构，故定理的结论成立．

\＃

定理 6．1．1 表明，在同构意义下，任意一个域必然包含域 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{Z}_p$ 中的一个作为子域，其中 $p$ 为素数．因此，可以认为有理数域 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{Z}_p$ 是一些最小的域，它们统称为素域。

容易看出，域 $F$ 的素域是 $F$ 的一切子域的交，是 $F$ 的最小的子域．特征相同的域至少有一个共同的子域即素域，特征不同的素域彼此不同构，从而特征不同的域也互不同构。

关于域 $F$ 的特征，还有性质：
（1）若 $\operatorname{char}(F)=0$ ，则 $n \cdot a=0$ 当且仅当 $a=0$ 或 $n=0$ ；
（2）若 $\operatorname{char}(F)=p$ ，则对任意 $a, b \in F$ ，有 $(a+b)^p=a^p+b^p$ ．
下面介绍域扩张的基本概念．
定义 6．1．1 设 $K, F$ 是域．若 $F$ 是 $K$ 的子域，则称 $K$ 为 $F$ 的扩域（或扩张），记为 $F \leqslant K$ 或者 $F \subseteq K$（也称为域扩张 $K / F$ ）．$K$ 的包含 $F$ 的任一子域叫做域扩张 $K / F$ 的中间域．

显然任一域 $F$ 都可以看成其素域上的扩张．

定义 6．1．2 设 $K$ 是域 $F$ 的扩域，$S$ 是 $K$ 的一个非空子集，记 $F(S)$ 为 $K$中包含 $F$ 和 $S$ 的一切子域的交，叫做在 $F$ 上添加 $S$ 得到的子域，或叫做 $S$ 在 $F$上生成的子域。

用 $F[S]$ 表示在 $F$ 上添加 $S$ 得到的多项式环，则 $F[S]$ 的商域就是 $F(S)$ ．
特别，当 $S$ 为有限子集 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$ 时，$F(S)$ 记作 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，叫做添加元素 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 于 $F$ 所得的子域。显然，有

$$
\begin{aligned}
F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta_1, \cdots, \beta_s\right) & =F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)\left(\beta_1, \cdots, \beta_s\right) \\
& =F\left(\beta_1, \cdots, \beta_s\right)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right) .
\end{aligned}
$$

若 $n=1$ ，则称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的一个单扩域（或单扩张），$\alpha$ 称为 $F(\alpha)$ 的定义元．
下一节将专门讨论单扩张的性质．

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