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有限扩张和代数扩张

6.3 有限扩张和代数扩张

本节介绍有限扩张和代数扩张，这也是域扩张理论中最重要、最基础的两类扩张．

按照域中元素自然的加法和乘法，域 $F$ 上的扩张 $K$ 可以看作是 $F$ 上的一个线性空间，根据线性空间的维数可以如下定义有限扩张、无限扩张和扩张次数．

定义6．3．1 $F$ 上的域扩张 $K$ 可以看作是 $F$ 上的一个线性空间，$K$ 对 $F$ 的维数叫做扩张 $K / F$ 的次数，记作 $[K: F]$ ．若 $[K: F]<\infty$ ，则 $K / F$ 叫做有限扩张．否则，$K / F$ 叫做无限扩张．

定义6．3．2 设 $K / F$ 为一有限扩张，当 $K$ 作为 $F$ 上线性空间时，$K$ 对 $F$的一组基也叫做域扩张 $K / F$ 的一组基。

关于域上单扩张，容易证明下面的结论成立．
引理6．3．1 设 $K / F$ 为一域扩张，$\alpha \in K$ ，则 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的当且仅当存在一个正整数 $m$ 使得 $1, \alpha, \cdots, \alpha^m$ 线性相关．进而，若 $\alpha$ 为 $F$ 上代数元，则 $\alpha$ 的次数等于使得 $1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ 在 $F$ 上线性相关的最小正整数 $n$ ．

推论6．3．1 设 $K / F$ 是一个域扩张，$\alpha \in K$ ，则有
（1）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的超越元，则 $F(\alpha)$ 为 $F$ 上的无限扩张；

（2）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的 $n$ 次代数元，则 $F(\alpha)$ 为 $F$ 上的 $n$ 次扩张，且 $1, \alpha, \cdots$ ， $\alpha^{n-1}$ 是一组基．

下面介绍代数扩张的概念，并分析代数扩张和有限扩张的关系．
定义6．3．3 设域 $K$ 是 $F$ 上的一个扩张，如果 $K$ 的每个元素都是 $F$ 上的代数元，则称 $K / F$ 为代数扩张。

关于有限扩张和代数扩张，下面的结论成立：
定理 6．3．1 任一有限扩张 $K / F$ 是一代数扩张．
证明 设 $[K: F]=n$ ．对每个 $\alpha \in K, 1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ 在 $F$ 上线性相关，故存在 $F$ 上不全为零的元素 $c_0, c_1, \cdots, c_n$ ，使得

$$
c_0^n+c_1 \alpha+\cdots+c_n \alpha^n=0
$$

所以 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，故 $K / F$ 是代数扩张．

\＃

对于单扩张，由定理6．3．1和推论6．3．1容易验证下面的结论成立．
定理6．3．2 设 $K / F$ 为任一域扩张，$\alpha \in K$ ，则下列叙述是等价的：
（1）$F(\alpha) / F$ 是代数扩张；
（2）$\alpha$ 在 $F$ 上是代数的；
（3）$F(\alpha) / F$ 是有限扩张．
由定理 6．3．2 可以看出，当 $\alpha$ 为代数元时，$F(\alpha) / F$ 就是代数扩张，这也是称 $F(\alpha)$ 为单代数扩张的理由．

作为有限扩张的简单应用，我们分析一下有限域中元素的个数．
性质 6．3．1 有限域中元素的个数一定为素数的方幂．
证明 设 $K$ 为一个特征 $p$ 的有限域．于是 $K$ 包含 $\mathbf{F}_p$ 作为子域．$K$ 自然的可以看成 $\mathbf{F}_p$ 上的有限维线性空间．设 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数为 $n$ ，并设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为它的一基．于是 $K$ 的每个元素 $\beta$ 可以唯一地表成 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合

$$
\beta=c_1 \alpha_1+\cdots+c_n \alpha_n,
$$

其中 $c_i \in \mathbf{F}_p, c_1, \cdots, c_n$ 可以独立地取 $0,1, \cdots, p-1$ 等 $p$ 个值，因而 $K$ 恰由 $p^n$个元素组成。

因此 $K$ 的基数只能是它的特征 $p$ 的一个方幂，幂指数等于 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数，也就是域扩张 $K / \mathbf{F}_p$ 的扩张次数．

\＃

此外，还可以证明有限扩张具有传递性，且有下面

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