最后更新: 2025-12-26 15:04 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

有限扩张和代数扩张

6.3 有限扩张和代数扩张

本节介绍有限扩张和代数扩张，这也是域扩张理论中最重要、最基础的两类扩张．

按照域中元素自然的加法和乘法，域 $F$ 上的扩张 $K$ 可以看作是 $F$ 上的一个线性空间，根据线性空间的维数可以如下定义有限扩张、无限扩张和扩张次数．

定义6．3．1 $F$ 上的域扩张 $K$ 可以看作是 $F$ 上的一个线性空间，$K$ 对 $F$ 的维数叫做扩张 $K / F$ 的次数，记作 $[K: F]$ ．若 $[K: F]<\infty$ ，则 $K / F$ 叫做有限扩张．否则，$K / F$ 叫做无限扩张．

定义6．3．2 设 $K / F$ 为一有限扩张，当 $K$ 作为 $F$ 上线性空间时，$K$ 对 $F$的一组基也叫做域扩张 $K / F$ 的一组基。

关于域上单扩张，容易证明下面的结论成立．
引理6．3．1 设 $K / F$ 为一域扩张，$\alpha \in K$ ，则 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数的当且仅当存在一个正整数 $m$ 使得 $1, \alpha, \cdots, \alpha^m$ 线性相关．进而，若 $\alpha$ 为 $F$ 上代数元，则 $\alpha$ 的次数等于使得 $1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ 在 $F$ 上线性相关的最小正整数 $n$ ．

推论6．3．1 设 $K / F$ 是一个域扩张，$\alpha \in K$ ，则有
（1）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的超越元，则 $F(\alpha)$ 为 $F$ 上的无限扩张；

（2）若 $\alpha$ 是 $F$ 上的 $n$ 次代数元，则 $F(\alpha)$ 为 $F$ 上的 $n$ 次扩张，且 $1, \alpha, \cdots$ ， $\alpha^{n-1}$ 是一组基．

下面介绍代数扩张的概念，并分析代数扩张和有限扩张的关系．
定义6．3．3 设域 $K$ 是 $F$ 上的一个扩张，如果 $K$ 的每个元素都是 $F$ 上的代数元，则称 $K / F$ 为代数扩张。

关于有限扩张和代数扩张，下面的结论成立：
定理 6．3．1 任一有限扩张 $K / F$ 是一代数扩张．
证明 设 $[K: F]=n$ ．对每个 $\alpha \in K, 1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ 在 $F$ 上线性相关，故存在 $F$ 上不全为零的元素 $c_0, c_1, \cdots, c_n$ ，使得

$$
c_0^n+c_1 \alpha+\cdots+c_n \alpha^n=0
$$

所以 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，故 $K / F$ 是代数扩张．

\＃

对于单扩张，由定理6．3．1和推论6．3．1容易验证下面的结论成立．
定理6．3．2 设 $K / F$ 为任一域扩张，$\alpha \in K$ ，则下列叙述是等价的：
（1）$F(\alpha) / F$ 是代数扩张；
（2）$\alpha$ 在 $F$ 上是代数的；
（3）$F(\alpha) / F$ 是有限扩张．
由定理 6．3．2 可以看出，当 $\alpha$ 为代数元时，$F(\alpha) / F$ 就是代数扩张，这也是称 $F(\alpha)$ 为单代数扩张的理由．

作为有限扩张的简单应用，我们分析一下有限域中元素的个数．
性质 6．3．1 有限域中元素的个数一定为素数的方幂．
证明 设 $K$ 为一个特征 $p$ 的有限域．于是 $K$ 包含 $\mathbf{F}_p$ 作为子域．$K$ 自然的可以看成 $\mathbf{F}_p$ 上的有限维线性空间．设 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数为 $n$ ，并设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为它的一基．于是 $K$ 的每个元素 $\beta$ 可以唯一地表成 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合

$$
\beta=c_1 \alpha_1+\cdots+c_n \alpha_n,
$$

其中 $c_i \in \mathbf{F}_p, c_1, \cdots, c_n$ 可以独立地取 $0,1, \cdots, p-1$ 等 $p$ 个值，因而 $K$ 恰由 $p^n$个元素组成。

因此 $K$ 的基数只能是它的特征 $p$ 的一个方幂，幂指数等于 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数，也就是域扩张 $K / \mathbf{F}_p$ 的扩张次数．

\＃

此外，还可以证明有限扩张具有传递性，且有下面的性质．
定理 6．3．3（次数定理）设 $F \subseteq E \subseteq K$ 为 $F$ 上的扩域链，则 $[K: F]$ 有限当且仅当 $[K: E]$ 和 $[E: F]$ 都有限．并且在这种情况下有次数关系

$$
[K: F]=[K: E][E: F] .
$$

证明 设 $K$ 为一个特征 $p$ 的有限域．于是 $K$ 包含 $\mathbf{F}_p$ 作为子域．$K$ 自然的可以看成 $\mathbf{F}_p$ 上的有限维线性空间．设 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数为 $n$ ，并设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为它的一基．于是 $K$ 的每个元素 $\beta$ 可以唯一地表成 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合

$$
\beta=c_1 \alpha_1+\cdots+c_n \alpha_n,
$$

其中 $c_i \in \mathbf{F}_p, c_1, \cdots, c_n$ 可以独立地取 $0,1, \cdots, p-1$ 等 $p$ 个值，因而 $K$ 恰由 $p^n$个元素组成。

因此 $K$ 的基数只能是它的特征 $p$ 的一个方幂，幂指数等于 $K$ 对 $\mathbf{F}_p$ 的维数，也就是域扩张 $K / \mathbf{F}_p$ 的扩张次数．

\＃

$$
[K: F]=[K: E][E: F] .
$$

令 $a_i=\sum_j b_{i j} \gamma_j, i=1,2, \cdots, m$ ，则

$$
a_i \in E \text {, 而且 } \sum_i a_i \beta_i=0 \text {. }
$$

由于 $\left\{\beta_i\right\}_i$ 为 $K / E$ 的一组基，故对任意 $i=1,2, \cdots, m$ ，有 $a_i=0$ ，即

$$
\sum_j b_{i j} \gamma_j=0 .
$$

又由于 $\left\{\gamma_j\right\}_j$ 为 $E / F$ 的一组基，故由 $\sum_j b_{i j} \gamma_j=0$ 知，对任意 $i=1,2, \cdots$ ， $m, j=1,2, \cdots, r$ ，有 $b_{i j}=0$ ．因此，$\left\{\beta_i \gamma_j\right\}_{i, j}$ 在 $F$ 上线性无关，它们构成 $K / F$ 的一组基，于是有

$$
[K: F]=m r=[K: E][E: F] .
$$

\＃

设 $K / F$ 为一有限扩张，$E / F$ 是 $K / F$ 的任一中间域，则 $[E: F] \leqslant[K: F]$ ，而且 $E=K$ 当且仅当 $[E: F]=[K: F]$ ．特别地，一个素数次扩张 $K / F$ 除 $K$ 和 $F$外没有其他中间域。

利用域扩张的次数定理，还可以得到下面的结论．
推论6．3．2 每个有限扩张 $K / F$ 有一个中间域的有限升链

$$
F=F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_r=K,
$$

使得 $F_{i+1} / F_i$ 为单代数扩张（称其为单代数扩张升链）．反之，若 $K / F$ 有一个单代数扩张升链，则 $K / F$ 是有限扩张．

证明（1）若 $K / F$ 是有限扩张，对扩张次数 $[K: F]$ 作归纳．
若 $[K: F]=1$ ，结论显然成立。
假设当 $[K: F]<n$ 时，结论成立，下面证明当 $[K: F]=n$ 时，结论也成立．
若 $[K: F]>1$ ，任取 $\alpha \in K$ ，但 $\alpha \notin F$ ，作 $F_1=F(\alpha)$ ，则 $F_1 / F$ 为单代数扩张且 $\left[F_1: F\right]>1$ ，从而 $\left[K: F_1\right]<[K: F]$ ．对有限扩张 $K / F_1$ ，由归纳假设知， $K / F_1$ 有一个单代数扩张升链

$$
F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_r=K,
$$

于是

$$
F \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_r=K
$$

就是 $K / F$ 的一个单代数扩张升链．
（2）反之，若 $K / F$ 有一个单代数扩张升链

$$
F=F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_r=K,
$$

则由定理 6．3．2 知，$F_{i+1} / F_i$ 都是有限扩张，再由定理 6．3．3 知，$K / F$ 是有限扩张．

\＃

由推论6．3．2 可以得到代数扩张也具有传递性，即有
定理6．3．4 代数扩张的代数扩张仍是代数扩张．特别地，域 $F$ 上的代数元 $\alpha, \beta$ 的和、差、积、商仍为 $F$ 上的代数元．

证明（1）设 $F \subseteq E \subseteq K$ 为扩域链，若 $K / E$ 和 $E / F$ 都是代数扩张，要证明 $K / F$ 也是代数扩张．

对任意 $\alpha \in K$ ，因为 $\alpha$ 在 $E$ 上是代数的，故 $\alpha$ 在 $E$ 上有正次数的极小多项式

$$
g(x)=x^r+a_1 x^{r-1}+\cdots+a_r, \quad a_i \in E .
$$

又因为 $E / F$ 是代数扩张，故 $a_i$ 都是 $F$ 上代数元．令

$$
F_0=F, \quad F_i=F_0\left(a_1, \cdots, a_i\right), \quad i=1,2, \cdots, r, \quad F_{r+1}=F_r(\alpha),
$$

则

$$
F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r \subset F_{r+1}
$$

是单代数扩张升链，故由推论 6．3．1 知，$F_{r+1} / F$ 为有限扩张，从而 $F_{r+1} / F$ 为代数扩张，于是 $F_{r+1}$ 中元素 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元．因此，$K / F$ 是代数扩张．
（2）设 $\alpha, \beta$ 为域 $F$ 上的代数元，则 $F(\alpha, \beta) / F(\alpha)$ 和 $F(\alpha) / F$ 都是单代数扩张，故由结论（1）知，$F(\alpha, \beta) / F$ 是代数扩张，从而 $F(\alpha, \beta)$ 中的元素 $\alpha \pm \beta, \alpha$ ． $\beta, \alpha / \beta$ 都是 $F$ 上的代数元。

\＃

定义6．3．4 设 $K / F$ 是一个域扩张，$K$ 中所有 $F$ 上的代数元构成一个中间域，称为 $F$ 在 $K$ 上的代数闭包。
$K$ 中任一不属于此代数闭包的元素在 $F$ 上都是超越的。
例如，复数域 $\mathbf{C}$ 是有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的域扩张． $\mathbf{C}$ 中代数数（如果复数 $\alpha$ 在 $\mathbf{Q}$上是代数的，则 $\alpha$ 叫做一个代数数）的全体，记作 $\overline{\mathbf{Q}}$ ，对加、减、乘、除封闭，因而 $\overline{\mathbf{Q}}$ 是 $\mathbf{C}$ 的一个子域，叫做代数数域。 $\overline{\mathbf{Q}}$ 是 $\mathbf{Q}$ 在 $\mathbf{C}$ 中的代数闭包。

最后介绍几个有限扩张的例子．
例6．3．1 求扩张次数 $[\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbf{Q}]$ ，并求 $\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的一组基．
解 因为 $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}), x^2-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上不可约，$x^2-3$ 在 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$上不可约，且 $\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ 分别为它们的根，所以

$$
[\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbf{Q}]=[\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbf{Q}(\sqrt{2})][\mathbf{Q}(\sqrt{2}): \mathbf{Q}]=2 \times 2=4
$$

此外，由次数定理的证明过程知， $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ 是 $\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的一组基。

例6．3．2 设 $E$ 是 $F$ 的扩域，$[E: F]=2^m(m \geqslant 1), p(x)$ 是 $F$ 上的一个 3次不可约多项式，则 $p(x)$ 在 $E$ 上也不可约．

证明（反证法）若 $p(x)$ 在 $E$ 上可约，因为 $\operatorname{deg}(p(x))=3$ ，设 $p(x)$ 在 $E$ 上有一个根 $\alpha$ ，由于 $p(x)$ 在 $F$ 上不可约，它也是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，故有

$$
[F(\alpha): F]=\operatorname{deg}(p(x))=3
$$

又因为 $F \subseteq F(\alpha) \subseteq E$ ，故由次数定理知，

$$
[E: F]=[E: F(\alpha)] \cdot[F(\alpha): F]=3[E: F(\alpha)]
$$

这与 $[E: F]=2^m$ 矛盾．故 $p(x)$ 在 $E$ 上也不可约．

\＃

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：代数元、超越元、单扩张

下一篇：分裂域和正规扩张

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)