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分裂域和正规扩张

6.4 分裂域和正规扩张

代数基本定理告诉我们，复数域 $\mathbf{C}$ 上一元多项式环 $\mathbf{C}[x]$ 的每一个 $n(n \geqslant 1)$次多项式 $f(x)$ 在 $\mathbf{C}$ 中都有 $n$ 个根，即 $f(x)$ 在 $\mathbf{C}[x]$ 中能完全分解为一次因式的乘积

$$
f(x)=c\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad c, \alpha_i \in \mathbf{C} .
$$

对于任意域 $F$ 和 $F[x]$ 上的每一个 $n$ 次多项式 $f(x)$ ，也存在一个域 $E$ ，使得 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中能完全分解为一次因式的乘积，本节将要介绍的多项式的分裂域就是这样的一个域。

定义 6．4．1 取定一个基域 $F$ 和一个 $n(n \geqslant 1)$ 次多项式 $f(x) \in F[x]$ ，如果有一个域扩张 $E / F$ 满足
（1）$f(x)$ 在 $E[x]$ 内完全分解为一次因式的乘积

$$
f(x)=c\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad c, \alpha_i \in E ;
$$

（2）$E=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ．则 $E / F$ 叫做 $f(x)$ 的一个分裂域（也称 $E$ 为 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域）．

定理 6．4．1 设 $F$ 是域，每个正次数多项式 $f(x) \in F[x]$ 都有一个分裂域．
证明 对 $f(x)$ 的次数归纳。当 $\operatorname{deg} f(x)=1$ 时，$f(x)=c(x-\alpha), \alpha \in F$ ，显然 $F$ 本身就是 $f(x)$ 的一个分裂域．
定理 6．4．1 设 $F$ 是域，每个正次数多项式 $f(x) \in F[x]$ 都有一个分裂域．
证明 对 $f(x)$ 的次数归纳．当 $\operatorname{deg} f(x)=1$ 时，$f(x)=c(x-\alpha), \alpha \in F$ ，显然 $F$ 本身就是 $f(x)$ 的一个分裂域．

下面假设当 $\operatorname{deg} f(x)<n$（其中 $n>1$ ）时，$f(x)$ 有一个分裂域，要证明当 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 时，$f(x)$ 也有一个分裂域。

任取 $f(x)$ 的一个不可约因式 $p(x)$ ，根据 6.2 节的定理 6．2．2 和注 6．2．1，存在 $F$ 的一个单代数扩张 $K_1=F\left(\alpha_1\right)$ 使得 $p\left(\alpha_1\right)=0$ ．于是 $p(x)$ 在 $K_1$ 上析出一个一次因式，从而 $f(x)$ 在 $K_1$ 上至少析出一个一次因式．不妨设 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots \left(x-\alpha_r\right) f_1(x), f_1(x) \in K_1[x], \alpha_i \in K_1, i=1,2, \cdots, r, r \geqslant 1$ ．此时 $\operatorname{deg} f_1(x)<n$ ．

若 $f_1(x)$ 为常数，则 $K_1 / F$ 就是 $f(x)$ 的一个分裂域．若 $\operatorname{deg} f_1(x) \geqslant 1$ ，则由归纳假设，$f_1(x)$ 在 $K_1$ 上有一个分裂域 $E / K_1$ ．于是

$$
f_1(x)=c\left(x-\alpha_{r+1}\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad \alpha_i \in E, \quad i=r+1, \cdots, n,
$$

$$
\begin{aligned}
E=K_1\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right) & =F\left(\alpha_1\right)\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right) \\
& =F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)
\end{aligned}
$$

因此 $E / F$ 就是 $f(x)$ 的一个分裂域．

\＃

推论 6．4．1 设 $\operatorname{deg} f(x)=n$ ，则分裂域 $E / F$ 的次数不超过 $n!$ ．
下面证明分裂域的唯一性．
引理 6．4．1 设 $\sigma: F \rightarrow F^{\prime}$ 是域同构，则 $\sigma$ 可以延拓成多项式环 $F[x]$ 到 $F^{\prime}[y]$ 的环同构，其中 $\sigma(x)=y, \sigma(f(x))=f^\sigma(y)$ 。进而，设 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，则 $p^\sigma(y)$ 也是 $F^{\prime}[y]$ 中的不可约多项式．再设 $\alpha$ 为 $p(x)$ 的一个根，$\alpha^{\prime}$ 为 $p^\sigma(y)$ 的一个根，则存在域同构 $\sigma^{\prime}: F(\alpha) \rightarrow F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)$ 使得 $\sigma^{\prime}(\alpha)=\alpha^{\prime}$ ，并且 $\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ 。

证明 令 $\sigma(x)=y$ ，对任意 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n \in F[x]$ ，记

$$
f^\sigma(y)=\sigma\left(a_0\right)+\sigma\left(a_1\right) y+\cdots+\sigma\left(a_n\right) y^n,
$$

并令 $\sigma(f(x))=f^\sigma(y)$ ，容易验证 $\sigma$ 是多项式环 $F[x]$ 到 $F^{\prime}[y]$ 的环同构．
如果 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，则 $p^\sigma(y)$ 也是 $F^{\prime}[y]$ 的一个不可约多项式。由环同态的性质知，商环 $F[x] /(p(x)) \cong F^{\prime}[y] /\left(p^\sigma(y)\right)$ ，其中 $x+(p(x))$与 $y+\left(p^\sigma(y)\right)$ 对应．

又因为 $\alpha, \alpha^{\prime}$ 分别为不可约多项式 $p(x)$ 和 $p^\sigma(y)$ 的根，再由单代数扩张的性质知

$$
F[x] /(p(x)) \cong F(\alpha), \quad F^{\prime}[y] /\left(p^\sigma(y)\right) \cong F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right),
$$

其中 $x+(p(x))$ 与 $\alpha$ 对应，$y+\left(p^\sigma(y)\right)$ 与 $\alpha^{\prime}$ 对应，故有

$$
F(\alpha) \cong F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right),
$$

其中 $\sigma^{\prime}(\alpha)=\alpha^{\prime},\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ ．

\＃

定理 6．4．2 设 $\sigma: F \rightarrow F^{\prime}$ 是域同构，$f(x)$ 为 $F[x]$ 的一个正次数多项式， $E$ 和 $E^{\prime}$ 分别为 $f(x)$ 和 $f^\sigma(y)$ 在 $F$ 和 $F^{\prime}$ 上的分裂域，则存在域同构 $\sigma^{\prime}: E \rightarrow E^{\prime}$使得 $\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ ．

证明 不妨设 $\operatorname{deg} f(x)=n \geqslant 1, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 为 $f(x)$ 在其分裂域 $E$ 上的 $n$ 个根，下面对扩张次数 $[E: F]$ 归纳．

若 $[E: F]=1$ ，则 $E=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=F$ ，即有 $\alpha_i \in F$ ，从而 $f(x)$ 在 $F[x]$ 内完全分解

$$
f(x)=c\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right) .
$$

不妨记 $c^{\prime}=\sigma(c), \alpha_i^{\prime}=\sigma\left(\alpha_i\right)$ ，则 $f(x)$ 在 $\sigma$ 作用下得到

$$
f^\sigma(y)=c^{\prime}\left(y-\alpha_1^{\prime}\right)\left(y-\alpha_2^{\prime}\right) \cdots\left(y-\alpha_n^{\prime}\right),
$$

由于 $\alpha_i \in F$ ，故有 $\alpha_i^{\prime} \in F^{\prime}$ ，从而 $E^{\prime}=F^{\prime}\left(\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_n^{\prime}\right)=F^{\prime}$ 。令 $\sigma^{\prime}=\sigma$ 则定理的结论成立．

设当 $1<[E: F]<l$ 时，定理的结论成立，下面证明，当 $[E: F]=l$ 时，定理的结论也成立。

此时，$f(x)$ 在 $F[x]$ 中必有次数大于 1 的不可约因子，不妨设 $g(x)$ 为一个这样的因子，$\alpha \in E$ 为 $g(x)$ 的一个根，$\alpha^{\prime}$ 为 $g^\sigma(y)$ 的一个根，则由引理 6．4．1 知，存在域同构
$\sigma^{\prime}: F(\alpha) \rightarrow F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)$ 使得 $\sigma^{\prime}(\alpha)=\alpha^{\prime},\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ ．
显然，$E$ 也是 $f(x)$ 在 $F(\alpha)$ 上的分裂域，$E^{\prime}$ 也是 $f^\sigma(y)$ 在 $F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)$ 上的分裂域。
由于 $[F(\alpha): F]=\operatorname{deg} g(x)>1$ ，故 $[E: F(\alpha)]=[E: F] /[F(\alpha): F]<l$ ，于是由归纳假设知，存在域同构 $\bar{\sigma}: E \rightarrow E^{\prime}$ 使得 $\left.\bar{\sigma}\right|_{F(\alpha)}=\sigma^{\prime}$ ，于是 $\left.\bar{\sigma}\right|_F=\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ ．

故当 $[E: F]=l$ 时定理的结论也成立，命题得证．

\＃

设 $F^{\prime}=F, \sigma$ 为恒等同构，由定理6．4．2可得如下分裂域的唯一性．
推论 6．4．2 任意给定基域 $F$ 和正次数多项式 $f(x) \in F[x]$ ，则 $f(x)$ 在 $F$上的任意两个分裂域 $E$ 和 $E^{\prime}$ 成 $F$－同构，因此 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域在 $F$－同构意义下是唯一的。

关于分裂域，下面的结论成立。
性质 6．4．1 若一个域扩张 $K / F$ 包含两个中间域 $E$ 和 $E^{\prime}$ ，它们是同一个多项式 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则 $E=E^{\prime}$ 。

证明 由多项式 $f(x)$ 在 $E[x]$ 中分解的唯一性及分裂域的定义知结论成立．

\＃

性质 6．4．2 若域扩张 $K / F$ 的一个中间域 $E$ 是一个多项式 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则 $E$ 在 $K$ 的任一个 $F$－自同构 $\sigma$ 作用下保持不变，即 $\sigma(E)=E$ 。

证明 由于 $\sigma(E)$ 为 $f^\sigma(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，又由于 $f(x) \in F[x]$ ，故 $f^\sigma(x)= f(x)$ ，于是由性质 6．4．1 知，$\sigma(E)=E$ ．

\＃

后面将会看到，$f(x)$ 诸根在 $F$ 上的代数性质可以由它的分裂域 $E / F$ 的代数性质反映出来．此外，分裂域有一个定性的刻画，就是它的正规性．

定义 6．4．2 设 $E / F$ 为一个代数扩张，如果 $F[x]$ 的任一个不可约多项式在 $E$ 内有一个根，则它在 $E$ 内可以完全分解成一次因子的乘积，则 $E / F$ 叫做正规扩张．

上面的定义等价于：如果对任意 $\alpha \in E, \alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式在 $E$ 中都能分解成一次因子的乘积，则 $E / F$ 叫做正规扩张．

定理6．4．3 一个有限扩张 $E / F$ 是正规扩张当且仅当 $E$ 是 $F$ 上一多项式的分裂域。

证明 设 $E / F$ 为一有限正规扩张，则存在 $F$ 上代数元 $\alpha_i$ ，使得 $E=F\left(\alpha_1\right.$ ， $\left.\alpha_2, \cdots, \alpha_r\right)$.

设 $f_i(x)$ 为 $\alpha_i$ 在 $F$ 上的极小多项式，由于 $E / F$ 正规，每个 $f_i(x)$ 在 $E$ 内完全分解为一次因式的乘积．令 $f(x)=\prod_{i=1}^r f_i(x)$ ，则 $f(x)$ 在 $E$ 内也能完全分解为一次因式的乘积．

不妨设 $f(x)=\left(x-\beta_1\right)\left(x-\beta_2\right) \cdots\left(x-\beta_n\right)$ ，则 $\beta_i \in E$ ，从而 $F\left(\beta_1, \beta_2, \cdots\right.$ ， $\left.\beta_n\right) \subseteq E$ ．另一方面，显然有 $E=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\right) \subseteq F\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$ ，故 $E=F\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域。

反之，设 $E / F$ 为 $f(x) \in F[x]$ 的一个分裂域，设 $p(x)$ 为 $F[x]$ 的任一个不可约多项式，而且在 $E$ 内有一个根 $\alpha$ ，求证 $p(x)$ 在 $E$ 内完全分解．

设 $K$ 是 $p(x)$ 在 $E$ 上的分裂域，易见 $K$ 就是 $g(x)=f(x) p(x)$ 在 $F$ 上的分裂域。设 $\beta$ 为 $p(x)$ 在 $K$ 内的任一根，则有一个 $F(\alpha)$ 到 $F(\beta)$ 的 $F$－同构 $\tau$ 使得 $\tau(\alpha)=\beta$ ．根据定理 6．4．2，$\tau$ 可以延拓为 $K$ 的一个 $F$－自同构 $\sigma$ ．因为 $E / F$是 $f(x)$ 的分裂域，故由性质 6．4．2 知，$\sigma(E)=E$ ．由于 $\alpha \in E$ ，从而 $\beta=\tau(\alpha)= \sigma(\alpha) \in E$ ．因此，$p(x)$ 在 $E$ 内完全分解．

这就证明了 $E / F$ 是正规扩张．

\＃

由定理 6．4．3 可知，若 $E / F$ 是一个有限正规扩张，则对 $E$ 的任一个中间域 $L$ ， $E / L$ 也是正规扩张．然而，$L / F$ 不一定是正规扩张．反之，设 $F \subseteq L \subseteq E$ ，即使 $E / L$ 和 $L / F$ 是正规扩张，$E / F$ 也不一定是正规扩张（举反例说明）．

关于正规扩张，容易证明：任何域 $F$ 的二次扩张一定是正规扩张（留作习题）．
定义 6．4．3 设 $E / F$ 是一个有限扩张，如果 $E$ 上一个代数扩张 $K / E$ 满足：
（1）$K / F$ 是一个正规扩张；
（2）若中间域 $L(F \subseteq L \subseteq K)$ 包含 $E$ 而且 $L / F$ 正规，则 $L=K$ ．
那么 $K / F$ 叫做 $E / F$ 的一个正规闭包．
下面证明这样的正规闭包一定存在，并且在同构意义下是唯一的．
因为 $E / F$ 是一个有限扩张，故存在 $F$ 上的代数元 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ ，使得 $E= F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ ．设 $f_i(x)$ 为 $\alpha_i$ 在 $F$ 上的极小多项式，并记 $f(x)=\prod_{i=1}^r f_i(x)$ ．设 $K$ 是 $f(x)$ 在 $E$ 上的分裂域，则 $K$ 也是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，因而 $K$ 是 $F$ 上的正规扩张而且由定义可以看出 $K$ 是包含 $E$ 的 $F$ 上最小的正规扩张，故 $K / F$是 $E / F$ 的一个正规闭包。

再证正规闭包的唯一性．设 $K^{\prime} / F$ 为 $E / F$ 的任一个正规闭包．因为每个 $f_i(x)$ 在 $K^{\prime}$ 内有根，因而在 $K^{\prime}$ 内完全分解，因而 $f(x)$ 在 $K^{\prime}$ 内也完全分解．于是 $K^{\prime}$ 包含 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域 $K_1$ ．由条件（2），从 $E \subseteq K_1 \subseteq K^{\prime}$ 推出 $K_1=K^{\prime}$ ．由分裂域的唯一性知，正规闭包 $K / F$ 是由 $E / F$ 唯一确定的．

例6．4．1 设 $F$ 为域，$f(x)=x^2+a x+b \in F[x]$ ．若 $f(x)$ 在 $F[x]$ 上可约，不妨设 $f(x)=\left(x-c_1\right)\left(x-c_2\right)$ ，其中 $c_i \in F$ ，则 $F\left(c_1, c_2\right)=F$ 就是 $f(x)$ 的分裂域。
若 $f(x)$ 在 $F[x]$ 上不可约，作 $K=F[x] /(f(x))$ ，令 $\alpha=x+(f(x))$ ，则 $K=F(\alpha), f(x)$ 以 $\alpha$ 为根，$f(x)$ 的另一个根 $\alpha^{\prime}=-a-\alpha \in K$ ，所以 $K=F\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)$为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域．

例6．4．2 求 $x^4-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域。
解 $x^4-2$ 在复数域 $\mathbf{C}$ 上有 4 个根 $\pm \sqrt[4]{2}, \pm \sqrt[4]{2} \mathrm{i}$ ，故 $\mathbf{Q}(\sqrt[4]{2}, \mathrm{i})$ 为 $x^4-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域。

例6．4．3 设 $p$ 为素数，求 $x^p-1$ 和 $x^p-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域．
解 $x^p-1$ 在 $\mathbf{Q}$ 上可约分解为 $x^p-1=(x-1)\left(x^{p-1}+\cdots+x+1\right)$ ，而 $p(x)= x^{p-1}+\cdots+x+1$ 在 $\mathbf{Q}$ 上不可约．设 $\zeta$ 为 $\mathbf{C}$ 中的 $p$ 次本原单位根，则 $\zeta, \zeta^2, \cdots, \zeta^{p-1}$恰为 $p(x)$ 的所有根，故 $\mathbf{Q}(\zeta)$ 是 $x^p-1$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域．

注意到 $x^p-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上不可约，它在复数域 $\mathbf{C}$ 上有实根 $\alpha=\sqrt[p]{2}$ ，同前设 $\zeta$为 $\mathbf{C}$ 中的 $p$ 次本原单位根，则 $\alpha, \alpha \zeta, \alpha \zeta^2, \cdots, \alpha \zeta^{p-1}$ 恰为 $x^p-2$ 的所有根，故 $\mathbf{Q}(\alpha, \zeta)$ 是 $x^p-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域。

例6．4．4 记 $\mathbf{F}_p$ 是特征为 $p$ 的素子域，对任一正整数 $n, x^{p^n}-x$ 在 $\mathbf{F}_p$ 上的分裂域就是一个含有 $p^n$ 个元素的有限域。在同构意义下，除此之外无其他 $p^n$个元素的有限域。

证明 对任意素数 $p$ 和任意正整数 $n$ ，设 $E$ 是 $x^{p^n}-x$ 在 $\mathbf{F}_p$ 上的分裂域，下面证明 $E$ 是一个含有 $p^n$ 个元素的有限域。

由于 $\left(x^{p^n}-x\right)^{\prime}=p^n x^{p^n-1}-1=-1$ 且 $-1 \neq 0$ ，所以 $x^{p^n}-x$ 在 $E$ 内只有单根．于是 $x^{p^n}-x$ 在 $E$ 内有 $p^n=q$ 个不同的根，设为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_q$ ．令 $K= \left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_q\right\}$ ．可以证明 $K$ 是 $E$ 的一个子域．对于任意 $\alpha, \beta \in K$ ，有 $\alpha^{p^n}=\alpha$ ， $\beta^{p^n}=\beta$ ，于是
$$
\begin{aligned}
(\alpha-\beta)^{p^n} & =\alpha-\beta, \\
\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{p^n}=\frac{\alpha^{p^n}}{\beta^{p^n}} & =\frac{\alpha}{\beta}, \quad \beta \neq 0 .
\end{aligned}
$$

从而 $\alpha-\beta$ 和 $\frac{\alpha}{\beta}(\beta \neq 0)$ 都属于 $K$ 。显然 $0,1 \in K$ 。所以 $K$ 是 $E$ 的子域，而且 $K$是含有 $p^n$ 个元素的有限域．

注意到 $K=\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_q\right\}$ 为多项式 $x^{p^n}-x$ 在其分裂域 $E$ 内的所有根构成的集合，由分裂域的定义知，$E=\mathbf{F}_p\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_q\right)$ ，故显然有 $K=E$ 。这就证明了 $x^{p^n}-x$ 在 $\mathbf{F}_p$ 上的分裂域 $E=K$ 就是一个含有 $p^n$ 个元素的有限域。

由分裂域的唯一性知，这样的 $p^n$ 个元素的有限域在同构意义下也是唯一的．
从上面的证明过程可以看出，$p^n$ 个元素的有限域 $K$ 的元素恰好是 $x^{p^n}-x$ 的全部根．由于有限域的结构完全由其元素个数唯一确定，以后 $p^n$ 个元素的有限域习惯记成 $G F\left(p^n\right)$ 或 $\mathbf{F}_q$ ，其中 $q=p^n$ 。

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