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分裂域和正规扩张

6.4 分裂域和正规扩张

代数基本定理告诉我们，复数域 $\mathbf{C}$ 上一元多项式环 $\mathbf{C}[x]$ 的每一个 $n(n \geqslant 1)$次多项式 $f(x)$ 在 $\mathbf{C}$ 中都有 $n$ 个根，即 $f(x)$ 在 $\mathbf{C}[x]$ 中能完全分解为一次因式的乘积

$$
f(x)=c\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad c, \alpha_i \in \mathbf{C} .
$$

对于任意域 $F$ 和 $F[x]$ 上的每一个 $n$ 次多项式 $f(x)$ ，也存在一个域 $E$ ，使得 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中能完全分解为一次因式的乘积，本节将要介绍的多项式的分裂域就是这样的一个域。

定义 6．4．1 取定一个基域 $F$ 和一个 $n(n \geqslant 1)$ 次多项式 $f(x) \in F[x]$ ，如果有一个域扩张 $E / F$ 满足
（1）$f(x)$ 在 $E[x]$ 内完全分解为一次因式的乘积

$$
f(x)=c\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad c, \alpha_i \in E ;
$$

（2）$E=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ．则 $E / F$ 叫做 $f(x)$ 的一个分裂域（也称 $E$ 为 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域）．

定理 6．4．1 设 $F$ 是域，每个正次数多项式 $f(x) \in F[x]$ 都有一个分裂域．
证明 对 $f(x)$ 的次数归纳。当 $\operatorname{deg} f(x)=1$ 时，$f(x)=c(x-\alpha), \alpha \in F$ ，显然 $F$ 本身就是 $f(x)$ 的一个分裂域．
定理 6．4．1 设 $F$ 是域，每个正次数多项式 $f(x) \in F[x]$ 都有一个分裂域．
证明 对 $f(x)$ 的次数归纳．当 $\operatorname{deg} f(x)=1$ 时，$f(x)=c(x-\alpha), \alpha \in F$ ，显然 $F$ 本身就是 $f(x)$ 的一个分裂域．

下面假设当 $\operatorname{deg} f(x)<n$（其中 $n>1$ ）时，$f(x)$ 有一个分裂域，要证明当 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 时，$f(x)$ 也有一个分裂域。

任取 $f(x)$ 的一个不可约因式 $p(x)$ ，根据 6.2 节的定理 6．2．2 和注 6．2．1，存在 $F$ 的一个单代数扩张 $K_1=F\left(\alpha_1\right)$ 使得 $p\left(\alpha_1\right)=0$ ．于是 $p(x)$ 在 $K_1$ 上析出一个一次因式，从而 $f(x)$ 在 $K_1$ 上至少析出一个一次因式．不妨设 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots \left(x-\alpha_r\right) f_1(x), f_1(x) \in K_1[x], \alpha_i \in K_1, i=1,2, \cdots, r, r \geqslant 1$ ．此时 $\operatorname{deg} f_1(x)<n$ ．

若 $f_1(x)$ 为常数，则 $K_1 / F$ 就是 $f(x)$ 的一个分裂域．若 $\operatorname{deg} f_1(x) \geqslant 1$ ，则由归纳假设，$f_1(x)$ 在 $K_1$ 上有一个分裂域 $E / K_1$ ．于是

$$
f_1(x)=c\left(x-\alpha_{r+1}\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right), \quad \alpha_i \in E, \quad i=r+1, \cdots, n,
$$

$$
\begin{aligned}
E=K_1\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right) & =F\left(\alpha_1\right)\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)\left(\alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_n\right) \\
& =F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)
\end{aligned}
$$

因此 $E / F$ 就是 $f(x)$ 的一个分裂域．

\＃

推论 6．4．1 设 $\operatorname{deg} f(x)=n$ ，则分裂域 $E / F$ 的次数不超过 $n!$ ．
下面证明分裂域的唯一性．
引理 6．4．1 设 $\sigma: F \rightarrow F^{\prime}$ 是域同构，则 $\sigma$ 可以延拓成多项式环 $F[x]$ 到 $F^{\prime}[y]$ 的环同构，其中 $\sigma(x)=y, \sigma(f(x))=f^\sigma(y)$ 。进而，设 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，则 $p^\sigma(y)$ 也是 $F^{\prime}[y]$ 中的不可约多项式．再设 $\alpha$ 为 $p(x)$ 的一个根，$\alpha^{\prime}$ 为 $p^\sigma(y)$ 的一个根，则存在域同构 $\sigma^{\prime}: F(\alpha) \rightarrow F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)$ 使得 $\sigma^{\prime}(\alpha)=\alpha^{\prime}$ ，并且 $\left.\sigma^{\prime}\right|_F=\sigma$ 。

证明 令 $\sigma(x)=y$ ，对任意 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n \in F[x]$ ，记

$$
f^\sigma(y)=\sigma\left(a_0\right)+\sigma\left(a_1\right) y+\cdots+\sigma\left(a_n\right) y^n,
$$

并令 $\sigma(f(x))=f^\sigma(y)$ ，容易验证 $\sigma$ 是多项式环 $F[x]$ 到 $F^{\prime}[y]$ 的环同构．
如果 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，则 $p^\sigma(y)$ 也是 $F^{\prime}[y]$ 的一个不可约多项式。由环同态的性质知，商环 $F[x] /(p(x)) \cong F^{\prime}[y] /\left(p^\sigma(y)\right)$ ，其中 $x+(p(x))$与 $y+\left(p^\sigma(y)\right)$ 对应．

又因为 $\alpha, \alpha^{\prime}$ 分别为不可约多项式 $p(x)$ 和 $p^\sigma(y)$ 的根，再由单代数扩张的性质知

$$
F[x] /(p(x)) \cong F(\alpha), \quad F^{\prime}[y] /\left(p^\sigma(y)\right) \cong F^{\pr

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