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模的直和

本节介绍模的直和，其定义和性质类似于群的直和．
定义7．2．1 设 $M_1, \cdots, M_r$ 是同一个环 $R$ 上的模，先作加法群 $M_1, \cdots, M_r$的外直和 $M=M_1 \times \cdots \times M_r$ ，然后规定 $R$ 对 $M$ 的作用如下：

$$
a\left(x_1, \cdots, x_r\right)=\left(a x_1, \cdots, a x_r\right)
$$

其中 $\left(x_1, \cdots, x_r\right) \in M, a \in R$ ，则 $M$ 组成一个 $R$－模，称为模 $M_1, \cdots, M_r$ 的外直和，记为 $M_1 \times \cdots \times M_r$ ．

设 $0_i$ 为 $M_i$ 的零元，$i=1,2, \cdots r$ ，则外直和 $M=M_1 \times \cdots \times M_r$ 的零元为 $\left(0_1, \cdots, 0_r\right)$ ．

外直和 $M=M_1 \times \cdots \times M_r$ 中任意元素 $\left(x_1, \cdots, x_r\right)$ 的负元为 $\left(-x_1, \cdots\right.$ ， $-x_r$ ）．

与群的直和一样，模 $M_1, \cdots, M_r$ 的外直和 $M=M_1 \times \cdots \times M_r$ 包含如下 $r$个子模：

$$
M_i^{\prime}=\left\{x_i^{\prime}=\left(0, \cdots, x_i, 0, \cdots, 0\right) \mid x_i \in M_i\right\}, \quad i=1,2, \cdots r,
$$

而且 $M_i^{\prime}$ 与 $M_i$ 成模同构，同构映射由 $\left(0, \cdots, x_i, 0, \cdots, 0\right) \mapsto x_i$ 给出．这些子模 $M_i^{\prime}$ 还满足：
（1）$M=M_1^{\prime}+\cdots+M_r^{\prime}$ ；
（2）$M_i^{\prime} \cap\left(M_1^{\prime}+\cdots+\hat{M}_i^{\prime}+\cdots+M_r^{\prime}\right)=\{0\}, i=1,2, \cdots, r$ ，其中 $\hat{M}_i^{\prime}$ 表示在和中去掉了 $M_i^{\prime}$ ．

类似地，可以给出模的内直和的定义．

定义 7．2．2 设 $M_1, \cdots, M_r$ 是为 $R$－模 $M$ 的子模．如果
（1）$M=M_1+\cdots+M_r$ ；
（2）$M_i \cap\left(M_1+\cdots+\hat{M}_i+\cdots+M_r\right)=\{0\}, i=1,2, \cdots, r$ ．
则称 $R$－模 $M$ 为其子模 $M_1, \cdots, M_r$ 的内直和，记为 $M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_r$ ．
注 7．2．1 定义中的条件（2）也可以替换为＂$\left(M_1+\cdots+M_i\right) \cap M_{i+1}=\{0\}$ ， $i=1,2, \cdots, r-1$＂．

注 7．2．2 满足定义中条件（2）的子模 $M_1, \cdots, M_r$ 称为线性无关（独立）的子模．不难看出，$M_1, \cdots, M_r$ 线性无关当且仅当

从等式 $x_1+\cdots+x_r=0\left(x_i \in M_i, i=1,2, \cdots, r\right)$ 恒可推出 $x_1=\cdots=x_r=0$ ．

例 7．2．1 $\mathbf{Z}$－模 $\mathbf{Z}$ 不能表成两个非零子模的直和。
这是因为， $\mathbf{Z}$ 的所有 $\mathbf{Z}$－子模都具有形式 $n \mathbf{Z}, n$ 是某个整数。设 $r \mathbf{Z}(r \neq 0)$ 和 $s \mathbf{Z}(s \neq 0)$ 是 $\mathbf{Z}$ 的任意两个非零子模．由于 $r s \in r \mathbf{Z} \cap s \mathbf{Z}$ ，所以 $r \mathbf{Z} \cap s \mathbf{Z} \neq\{0\}$ ．因此 $\mathbf{Z}$ 不能表成非零子模 $r \mathbf{Z}, s \mathbf{Z}$ 的直和。

例 7．2．2 考虑实数域 $\mathbf{R}$ 上的向量空间 $\mathbf{R}^{(2)}$ 和子空间 $X=\{(x, 0) \mid x \in \mathbf{R}\}$ ， $Y=\{(0, y) \mid y \in \mathbf{R}\}, W=\{(z, z) \mid z \in \mathbf{R}\}$ ．由于对于任意 $(x, y) \in \mathbf{R}^{(2)}$ ，有

$$
(x, y)=(x, x)+(0, y-x)=(y, y)+(x-y, 0),
$$

且 $W \cap X=\{0\}, W \cap Y=\{0\}$ ，所以

$$
\mathbf{R}^{(2)}=W \oplus X=W \oplus Y .
$$

此外，由于 $X+Y=\mathbf{R}^{(2)}$ 且 $X \cap Y=\{0\}$ ，所以 $\mathbf{R}^{(2)}=X \oplus Y$ ．
另外，由于 $(X+Y) \cap W=\mathbf{R}^{(2)} \cap W=W \neq\{0\}$ ，故 $X, Y, W$ 不是线性无关的子模．

下面的定理刻画了内直和与外直和的关系：
定理 7．2．1 设模 $M$ 是其子模 $M_1, \cdots, M_r$ 的内直和，即

$$
M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_r,
$$

则

$$
M_1 \times \cdots \times M_r \cong M_1 \oplus \cdots \oplus M_r .
$$

证明 令 $\psi: M_1 \times \cdots \times M_r \rightarrow M$ 为 $\left(x_1, \cdots, x_r\right) \rightarrow x_1+\cdots+x_r$ ，利用内直和的定义和性质，可以证明 $\psi$ 是模同构。

基于定理7．2．1，在同构意义下，内直和与外直和可以不加区分．在不引起混淆的情况下，以下我们将 $M_1, \cdots, M_r$ 的内直和与外直和都统一记为 $M_1 \oplus \cdots \oplus M_r$ ．

利用模的同构定理和内直和的性质，可以证明下面的结论。
定理 7．2．2 设模 $M$ 是其子模 $M_1, \cdots, M_r$ 的内直和，记

$$
M_i^*=M_1+\cdots+\hat{M}_i+\cdots+M_r, \quad i=1,2, \cdots, r,
$$

则有

$$
M / M_i \cong M_i^*, \quad M / M_i^* \cong M_i .
$$

关于模的内直和，还有下面的结论．
定理 7．2．3（1）若 $R$－模 $M$ 是子模 $M_1, \cdots, M_r$ 的直和，而且每个 $M_i$ 又是子模 $M_{i 1}, \cdots, M_{i n_i}$ 的直和，则 $M$ 是子模 $M_{i j}\left(j=1,2, \cdots, n_i, i=1,2, \cdots\right.$ ， $r)$ 的直和．
（2）若 $R$－模 $M$ 是子模 $N_1, \cdots, N_r$ 的直和，令

$$
M_1=N_1+\cdots+N_{s_1}, M_2=N_{s_1+1}+\cdots+N_{s_2}, \cdots, M_t=N_{s_{t-1}+1}+\cdots+N_r,
$$

则 $M$ 是 $M_1, M_2, \cdots, M_t$ 的直和．
（3）若 $R$－模 $M$ 是子模 $M_1, \cdots, M_r$ 的直和，令 $N=M_1+\cdots+M_s$ ， $1 \leqslant s<r$ ，则商模 $M / N$ 和 $M_{s+1}+\cdots+M_r$ 成模同构．

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