最后更新: 2025-12-26 16:13 查看: 27 次纠错评论(0) 课件开VIP

自由模

7.3 自 由 模

我们知道，域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 都有一组基 $\left\{\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right\}, V$ 中每个元素都可以表示成这组基的线性组合，并且基 $\left\{\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right\}$ 中各元素在域 $F$ 上是线性无关的．本节类似给出环上自由模的概念．

设 $R$ 是一个幺环，$M$ 是一个 $R$－模，$S$ 是 $M$ 的任一非空子集，则集合

$$
\langle S\rangle=\left\{\sum_{x \in S} a_x x \mid a_x \in R \text {, 只有有限个 } a_x \neq 0\right\}
$$

是 $M$ 的由子集 $S$ 生成的子模。
定义 7．3．1 设 $S_1=\left\{x_1, \cdots, x_r\right\}$ 是 $M$ 的任一有限子集，如果对于任一线性关系

$$
a_1 x_1+\cdots+a_r x_r=0, \quad a_i \in R
$$

恒可推出 $a_1=\cdots=a_r=0$ ，则称 $S_1$ 是 $R$－线性无关的．进而，设 $S$ 是 $M$ 的任一非空子集，如果 $S$ 的任一有限子集都是 $R$－线性无关的，则 $S$ 称为 $R$－线性无关的。

定义 7．3．2 如果 $M=\langle S\rangle$ 且 $S$ 是 $R$－线性无关的，则 $S$ 称为 $M$ 的一个 （组）基。

由上面的定义，若 $S$ 是 $M$ 的一个基，则 $M$ 中每个元素都能表示成 S 中有限个元素的 $R$－线性组合，并且表法是唯一的．即对任意 $x \in M$ ，都存在有限个元素 $a_i \in R, x_i \in S$ ，使得

$$
x=a_1 x_1+\cdots+a_r x_r,
$$

并且若两个有限和相等，即有 $\sum_{x \in S} a_x x=\sum_{x \in S} b_x x$ ，则对所有 $x \in S$ ，有 $a_x=b_x$ ．
若 $M=\langle S\rangle$ 且 $|S|<\infty$ ，则称 $M$ 为有限生成的．下面我们只讨论有限生成的 $R$－模。

定义 7．3．3 若 $R$－模 $M$ 有一个基，则称 $M$ 为一个自由 $R$－模。
一个模总是可以找到一组生成元，但不一定有基．例如，有限交换群作为一个 $\mathbf{Z}$－模，它的每个元素都不是 $\mathbf{Z}$－线性无关的，因此不是自由模．

若 $M$ 是一个自由 $R$－模，$x_1, \cdots, x_n$ 是 $M$ 的一组基，则 $M$ 有直和分解 $M= R x_1 \oplus \cdots \oplus R x_n$ ．反之，若 $M$ 有直和分解 $M=R x_1 \oplus \cdots \oplus R x_n$ ，则 $x_1, \cdots, x_n$是 $M$ 的一组生成元，但不一定是 $M$ 的一组基（参见后面有限生成模的分解）．

类似于 $n$ 维线性空间的构造，我们也可以利用集合 $R$ 的笛卡儿积构造自由模。

设 $R$ 是一个幺环，记 $R^{(n)}=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in R\right\}$ ，规定 $R^{(n)}$ 中的加法和 $R$ 对 $R^{(n)}$ 的作用如下

$$
\begin{gathered}
\left(x_1, \cdots, x_n\right)+\left(y_1, \cdots, y_n\right)=\left(x_1+y_1, \cdots, x_n+y_n\right) \\
a\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\left(a x_1, \cdots, a x_n\right), \quad a \in R
\end{gathered}
$$

不难验证 $R^{(n)}$ 是一个 $R$－模，零元素为 $(0, \cdots, 0),\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的负元为

$$
\left(-x_1, \cdots,-x_n\right) .
$$

令

$$
\begin{aligned}
& e_1=(1,0, \cdots, 0), \\
& e_2=(0,1, \cdots, 0),
\end{aligned}
$$

$$
e_n=(0, \cdots, 0,1)
$$

则 $R^{(n)}$ 中任一元素 $\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 可以表示为 $\left(x_1, \cdots, x_n\right)=x_1 e_1+\cdots+x_n e_n$ ，并且 $e_1, \cdots, e_n$ 是 $R$－线性无关的，故 $e_1, \cdots, e_n$ 作成 $R^{(n)}$ 的一基，$R^{(n)}$ 是一个自由 $R$－模．

特别地，若 $R$ 是域，则 $R^{(n)}$ 是 $R$ 上的 $n$ 维线性空间．
设 $M$ 为自由 $R$－模，$u_1, u_2, \cdots, u_n$ 为 $M$ 的一组基，$N$ 为任一 $R$－模。若 $\sigma$ ： $M \rightarrow N$ 是模同态，则对于任意 $x=\sum_{i=1}^n a_i u_i \in M$ ，有 $\psi(x)=\sum_{i=1}^n a_i \psi\left(u_i\right)$ 。由此可见，自由模上的同态 $\psi$ 由其基中元素的象 $\psi\left(u_i\right)$ 唯一确定。进而，若指定 $\psi \left(u_i\right)=v_i \in N$ ，定义 $\psi\left(\sum_{i=1}^n a_i u_i\right)=\sum_{i=1}^n a_i v_i$ ，其中 $a_i \in R$ ，则 $\psi$ 是模同态．

定理7．3．1 设 $M$ 是一个以 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 为基的自由模，则 $M \cong R^{(n)}$ 。
证明 不妨设 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 为 $R^{(n)}$ 的一组基，令 $\psi\left(u_i\right)=e_i, \psi\left(\sum_{i=1}^n a_i u_i\right)= \sum_{i=1}^n a_i e_i$ ，其中 $a_i \in R$ ，则映射 $\psi$ 是 $M$ 到 $R^{(n)}$ 的模同态．因为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 为 $R^{(n)}$ 的一组基，故 $\psi$ 是满射并且同态核

$$
\operatorname{Ker}(\psi)=\left\{x=\sum_{i=1}^n a_i u_i \in M \mid \psi(x)=\sum_{i=1}^n a_i e_i=0\right\}=\{0\},
$$

因此 $\psi$ 也是单射，从而 $\varphi$ 为模 $M$ 到 $R^{(n)}$ 的同构映射。
下面证明自由模的基中的元素个数是不变量，为此先介绍几个引理．
引理 7．3．1 设 $M$ 是一个 $R$－模，$M=\langle S\rangle, I$ 为 $R$ 的一个理想，考虑集合

$$
I S=\left\{a_1 x_1+\cdots+a_k x_k \mid a_i \in I, x_i \in S, 1 \leqslant i \leqslant k\right\},
$$

则 $I S$ 是 $M$ 的子模，并且 $I S$ 与 $M$ 生成元集 $S$ 的选取无关，即

$$
\text { 若 } M=\left\langle S^{\prime}\right\rangle \text {, 则有 } I S=I S^{\prime} \text {. }
$$

证明 容易验证 $I S$ 是 $M$ 的子模．下面证明 $I S=I S^{\prime}$ ．任取 $y \in S^{\prime}$ ，由于 $M=\langle S\rangle$ ，故存在 $b_i \in R, x_i \in S$ 使得

$$
y=b_1 x_1+\cdots+b_k x_k,
$$

从而对任意 $a \in I$ ，有

$$
a y=a b_1 x_1+\cdots+a b_k x_k .
$$

由于 $I$ 为 $R$ 的一个理想，故 $a b_i \in I$ ，从而 $a y \in I S$ ．由此可知 $I S^{\prime} \subseteq I S$ ，同理可证 $I S \subseteq I S^{\prime}$ ．故有 $I S=I S^{\prime}$ ．

特别地，若 $M=\left\langle x_1, x_2, \cdots, x_r\right\rangle$ 为有限生成模，$I$ 为 $R$ 的理想，则

$$
I S=I x_1+I x_2+\cdots+I x_r .
$$

引理7．3．2 设 $M$ 是一个自由 $R$－模，$x_1, x_2, \cdots, x_r$ 为它的一组基，$I$ 为 $R$的一个理想．令 $\bar{R}=R / I, N=I x_1+I x_2+\cdots+I x_r$ ，则商模 $M / N$ 可以看成 $\bar{R}$ 上的模，且是自由模，$\overline{x_i}=x_i+N(i=1, \cdots, r)$ 是它的一组基．

证明 记 $\bar{M}=M / N$ ，则 $\overline{x_i}=x_i+N(i=1, \cdots, r)$ 是 $\bar{M}$ 的一组生成元。对于任意 $\bar{x} \in \bar{M}, \bar{x}$ 可表成 $\bar{x}=a_1 \bar{x}_1+\cdots+a_r \bar{x}_r$ ，其中 $a_i \in R$ ．根据 $R$ 对商模 $\bar{M}$的作用有

$$
\bar{x}=a_1 \bar{x}_1+\cdots+a_r \bar{x}_r=\overline{a_1 x_1}+\cdots+\overline{a_r x_r}=\overline{a_1 x_1+\cdots+a_r x_r},
$$

由此可知， $\bar{x}=\overline{0}$ 当且仅当 $a_1 x_1+\cdots+a_r x_r \in N$ ．由于 $x_1, x_2, \cdots, x_r$ 是 $M$ 的一组基，根据 $N$ 的定义可知

$$
a_1 x_1+\cdots+a_r x_r \in N \text { 当且仅当所有 } a_i \in I \text {. }
$$

因此 $I$ 是商模 $\bar{M}$ 的零化子，从而 $\bar{M}$ 可以构成一个 $\bar{R}=R / I$－模．

作为 $\bar{R}$－模，对于任意 $\bar{x} \in \bar{M}, \bar{x}$ 可表成 $\bar{x}=\bar{a}_1 \bar{x}_1+\cdots+\bar{a}_r \bar{x}_r, \bar{a}_i=a_i+I$ ．同上面的分析知， $\bar{x}=\overline{0}$ 当且仅当所有 $a_i \in I$ ，即 $\overline{a_i}=\overline{0}$ 。故 $\bar{x}_1, \cdots, \bar{x}_r$ 是 $\bar{M}$ 的一组基，从而 $\bar{M}$ 是一个自由 $\bar{R}$－模。

定理 7．3．2 设 $R$ 是一个交换么环．$M$ 是一个自由 $R$－模，则 $M$ 的任意两基有相同的基数．

证明 设 $x_1, x_2, \cdots, x_r$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_s$ 为 $M$ 的两组基。因为 $R$ 为交换么环，所以 $R$ 有极大理想．设 $I$ 为 $R$ 的一个极大理想，由引理7．3．1，$N=I x_1+ I x_2+\cdots+I x_r=I y_1+I y_2+\cdots+I y_s$ 是 $M$ 的子模。

令 $\bar{R}=R / I$ ，由引理 7．3．2 知，$M / N$ 是 $\bar{R}$ 上的自由模，且 $\bar{x}_1, \cdots, \bar{x}_r$ 和 $\bar{y}_1, \cdots, \bar{y}_s$ 是它的两组基．又因为 $I$ 为极大理想，故 $\bar{R}$ 是域，从而 $M / N$ 为 $\bar{R}$ 上的线性空间，它的维数等于任一基所含元素的个数，从而 $r=s$ ．

设 $R$ 为一个交换么环。一个自由 $R$－模 $M$ 的基所含元素的个数称为是自由模的一个不变量，它叫做自由模 $M$ 的秩。零模看作自由模，它的秩为 0 ．

由定理7．3．1和定理7．3．2可以得到
推论 7．3．1 设 $R$ 为一个交换么环。若 $R^{(m)} \cong R^{(n)}$ ，则 $m=n$ ．
根据上面的讨论，给定一个交换么环和一个正整数 $n$ ，在同构意义下存在一个而且只有一个秩为 $n$ 的自由 $R$－模，秩不相同的自由 $R$－模互相不能模同构。

环上的自由模是域上线性空间的一种推广，下面我们举例说明环上的自由模与域上的线性空间还有许多不同的地方．

例 7．3．1 设 $R=\mathbf{Z}_6, R^{(2)}$ 是秩为 2 的自由 $R$－模，$e_1=(\overline{1}, \overline{0}), e_2=(\overline{0}, \overline{1})$ 为 $R^{(2)}$ 的基．令 $\alpha=\overline{2} e_1+\overline{2} e_2 \in R^{(2)}$ ，则 $\overline{3} \cdot \alpha=(\overline{0}, \overline{0})$ ，这说明自由模中非零元素不一定都是 $R$－线性无关的。

例 7．3．2 设 $R=\mathbf{Z}_6$ ，令 $\alpha=\overline{2} e_1+\overline{2} e_2 \in R^{(2)}$ ，则由 $\alpha$ 生成的子模 $\langle\alpha\rangle= \{0, \alpha, \overline{2} \alpha\}$ 不是自由 $R$－模．这说明，自由模的子模不一定是自由模．

例 7．3．3 设 $R=\mathbf{Z}$ ，则 $R^{(2)}$ 是秩为 2 的自由 $R$－模。 $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$是 $R^{(2)}$ 的基．$\left\langle 2 e_1, 3 e_2\right\rangle$ 是 $R^{(2)}$ 的一个真子模，并且 $2 e_1, 3 e_2$ 是 $\left\langle 2 e_1, 3 e_2\right\rangle$ 的基．故自由模 $R^{(2)}$ 与其真子模 $\left\langle 2 e_1, 3 e_2\right\rangle$ 有相同的秩．

对于域上的 $n$ 维线性空间 $V$ ，任意 $n$ 个线性无关的向量构成 $V$ 的一组基，并且从任意一个非零向量出发，总可以扩充成 $V$ 的一组基．然而对于环上的模，非零元素不一定是 $R$－线性无关的（参见例7．3．1），即使 $R$－线性无关的非零元素也不一定能扩充成自由模的一组基．比如，例 7．3．3 中，$R=\mathbf{Z}, R^{(2)}$ 是秩为 2 的自由 $R$－模，$e_1=(1,0), e_2=(0,1)$ 是 $R^{(2)}$ 的基．$R^{(2)}$ 中元素 $2 e_1, 3 e_2$ 都是 $R$－线性无关的，但是它们都不能扩充成 $R^{(2)}$ 的一组基．

关于自由模，还可以证明下面的投射性质成立。
定理7．3．3 设 $F$ 为一个自由 $R$－模．$\eta: M \rightarrow N$ 为 $R$－模的满同态，并设 $\varphi: F \rightarrow N$ 为任意模同态，则存在模同态 $\psi: F \rightarrow M$ 使得 $\eta \psi=\varphi$ ，即图 7－1 可交换．

![图片](/uploads/2025-12/cd801f.jpg)
 
 证明 设 $S=\left\{u_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ 为 $F$ 的一组基，其中 $I$ 为指标集．由于 $\eta$ 是满射，故每个 $\varphi\left(u_\lambda\right)$ 在 $\eta$ 下有原象。对于任一 $\lambda \in I$ ，取定一个 $x_\lambda \in M$ 使得

$$
\eta\left(x_\lambda\right)=\varphi\left(u_\lambda\right) .
$$

再令 $\psi\left(u_\lambda\right)=x_\lambda, \psi\left(\sum_{\lambda \in I} a_\lambda u_\lambda\right)=\sum_{\lambda \in I} a_\lambda x_\lambda$ ，其中 $a_\lambda \in R$ ，则 $\psi$ 是自由模 $F$ 到 $M$ 的模同态。

又因为

$$
\eta \cdot \psi\left(u_\lambda\right)=\eta\left(\psi\left(u_\lambda\right)\right)=\eta\left(x_\lambda\right)=\varphi\left(u_\lambda\right), \quad \lambda \in I,
$$

即 $\eta \cdot \psi$ 和 $\varphi$ 在 $F$ 的一组基 $S$ 上的作用相等，故有 $\eta \cdot \psi=\varphi$ ．
更一般地，设 $P$ 为一个 $R$－模，如果对于任意 $R$－模 $M$ 和 $N$ ，以及任意的模的满同态 $\eta: M \rightarrow N$ ，任一个模同态 $\varphi: P \rightarrow N$ 恒可提升为模同态 $\psi: P \rightarrow M$使得 $\eta \psi=\varphi$ ，则 $P$ 叫做投射 $R$－模。可以证明投射 $R$－模必是某个自由 $R$－模的直和项．反之，若模 $P$ 为某个自由模的直和项，则 $P$ 为投射模．

推论7．3．2 设 $\eta: M \rightarrow N$ 为一个满的模同态，$N$ 为自由模，则存在单的模同态 $\psi: N \rightarrow M$ 使得 $\eta \psi=1_N$ ，进而存在 $M$ 的一个子模 $L$ 使得

$$
M=\operatorname{Ker}(\eta) \oplus L
$$

证明 在定理 7．3．3 中令 $F=N, \varphi=1_N$ ，则存在单的模同态 $\psi: N \rightarrow M$使得 $\eta \psi=1_N$ ，即图 7－2可交换．

![图片](/uploads/2025-12/03a627.jpg)
 
 令 $L=\operatorname{Im}(\psi)$ ，显然 $L=\operatorname{Im}(\psi)$ 和 $\operatorname{Ker}(\eta)$ 都是 $M$ 的子模，故 $\operatorname{Ker}(\eta)+\operatorname{Im}(\psi) \subseteq M$ ．另一方面，由于 $\eta \psi=1_N$ ，故对于任意 $x \in M$ ，有

$$
\eta(x-\psi(\eta(x)))=0, \text { 即 } x-\psi(\eta(x)) \in \operatorname{Ker}(\eta),
$$

从而有 $x \in \operatorname{Ker}(\eta)+\operatorname{Im}(\psi)$ ，故有 $M \subseteq \operatorname{Ker}(\eta)+\operatorname{Im}(\psi)$ ，因此有 $M=\operatorname{Ker}(\eta)+ \operatorname{Im}(\psi)$ ．

又因为 $\eta \psi=1_N$ ，可以验证 $\operatorname{Ker}(\eta) \cap \operatorname{Im}(\psi)=(0)$ ，故有 $M=\operatorname{Ker}(\eta) \oplus \operatorname{Im} (\psi)$ ．

下面考虑交换环上自由模的自同态环。
设 $R$ 为一个交换么环，$M$ 为一个自由 $R$－模。设 $\sigma$ 为 $M$ 的 $R$－模自同态。取定 $M$ 的一组基 $e_1, e_2, \cdots, e_n, M$ 中任一个元素 $x$ 可唯一表示成 $x=x_1 e_1+ x_2 e_2+\cdots+x_n e_n$ ，其中 $x_i \in R$ ．于是有

$$
\sigma(x)=\sigma\left(x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n\right)
$$

$$
=x_1 \sigma\left(e_1\right)+x_2 \sigma\left(e_2\right)+\cdots+x_n \sigma\left(e_n\right)
$$

因此 $\sigma$ 由基 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 在 $\sigma$ 下的象唯一确定．不妨设

$$
\sigma\left(e_i\right)=\sum_{j=1}^n a_{j i} e_j, \quad i=1,2, \cdots, n .
$$

这样 $M$ 的每个 $R$－模自同态 $\sigma$ 确定了 $R$ 上的一个 $n \times n$ 矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ ．于是（7．3．2）式也可以用矩阵的形式表示如下：

$$
\left(\begin{array}{c}
\sigma\left(e_1\right) \\
\sigma\left(e_2\right) \\
\vdots \\
\sigma\left(e_n\right)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
e_2 \\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
e_2 \\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right) .
$$

反之，任给一个 $n \times n$ 矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, a_{i j} \in R$ ，由（7．3．1）和（7．3．2）式定义 $M$ 到自身的一个映射 $\sigma$ ，这个映射显然是 $M$ 的一个模自同态．用 $M_n(R)$表示元素属于 $R$ 的 $n \times n$ 矩阵的全体，于是在模 $M$ 的自同态环 $\operatorname{End}_R(M)$ 和全矩阵环 $M_n(R)$ 之间建立了一个一一对应 $\sigma \rightarrow A, \sigma$ 和 $A$ 的对应关系由（7．8．1）式确定，$A$ 叫做自同态 $\sigma$ 在基 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 下的矩阵。并且，在这个对应关系下， $\operatorname{End}(M)$ 和 $M_n(R)$ 成环同构．关于 $M_n(R)$ 上的可逆矩阵，容易证明，$A$ 有逆的充要条件是 $A$ 的行列式 $|A|$ 在 $R$ 中是一个单位．对于主理想整环上的矩阵也可以考虑矩阵的标准形．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：模的直和

下一篇：主理想整环上的自由模

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)