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主理想整环上的自由模

7.4 主理想整环上的自由模

本节研究主理想整环上自由模的性质，将证明主理想整环上自由模的子模还是自由模，有限生成模的子模还是有限生成模，主理想整环上无扭的有限生成模是自由模，并给出主理想环上有限生成模的第一步分解。

定理 7．4．1 设 $R$ 是一主理想整环，$M$ 是一自由 $R$－模，秩为 $n$ ，则 $M$ 的任一子模也是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n$ ．

证明 设 $N$ 是 $M$ 的一个子模．若 $M=\{0\}$ ，则结论显然．下面设 $M \neq\{0\}$并对 $M$ 的秩 $n$ 作归纳．假设结论对秩小于 $n$ 的自由模已经成立．

令 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是自由模 $M$ 的一组基，令

$$
I_1=\left\{a_1 \mid a_1 e_1+\cdots+a_n e_n \in N, a_i \in R, i=1,2, \cdots, n\right\}
$$

是 $N$ 中元素 $a_1 e_1+\cdots+a_n e_n$ 的第一个系数 $a_1$ 所成的集合，则 $I_1$ 是 $R$ 的一个理想（自证）．

因为 $R$ 是一主理想整环，则存在 $f \in R$ ，使得 $I_1=(f)$ ．
若 $f=0$ ，则 $I_1=(0)$ ，于是子模 $N$ 包含在秩为 $n-1$ 的自由模

$$
M_1=R e_2+\cdots+R e_n
$$

中，故由归纳假设知，$N$ 是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n-1$ ，从而结论成立．
以下设 $f \neq 0$ ，于是在 $N$ 中有一元素

$$
h_1=f e_1+\cdots,
$$

并且对于 $N$ 中任一元素 $x=a_1 e_1+\cdots+a_n e_n$ ，有 $a_1=a_1^{\prime} f$ ，于是

$$
x-a_1^{\prime} h_1 \in M_1 .
$$

令 $N_1=N \cap M_1$ ，则上面的讨论表明

$$
N=R h_1+N_1 .
$$

显然 $R h_1 \cap N_1=\{0\}$ ，故有

$$
N=R h_1 \oplus N_1 .
$$

由归纳假设知，$N_1$ 是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n-1$ ．
设 $h_2, \cdots, h_r$ 是 $N_1$ 的一组基，$r \leqslant n$ ，则有

$$
N=R h_1 \oplus R h_2 \oplus \cdots \oplus R h_r .
$$

这就证明了，$h_1, h_2, \cdots, h_r$ 是 $N$ 的一组基，故 $N$ 是一自由 $R$－模，且秩 $=r \leqslant n$ ．
由数学归纳法原理，定理普遍成立。
注 7．4．1 若 $R$ 不是主理想整环，那么自由模的子模不一定是自由的．例如， $R=\mathbf{Z} / 6 \mathbf{Z}, R$ 作为 $R$－模是秩为 1 的自由模，但其子模 $N=2 R=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ 就不是自由模。

推论 7．4．1 主理想整环上有限生成模的子模也是有限生成的．
证明 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上一有限生成模，$g_1, g_2, \cdots, g_m$ 是它的一组生成元．设 $N$ 是 $M$ 的任一子模．作一秩为 $m$ 的自由模 $R^{(m)}$ ，并设 $e_1, e_2, \cdots, e_m$为其一组基．令 $\eta\left(e_i\right)=g_i, 1 \leqslant i \leqslant m$ ，则存在满同态

$$
\begin{aligned}
\eta: R^{(m)} & \rightarrow M \\
\sum_{i=1}^m a_i e_i & \mapsto \sum_{i=1}^m a_i g_i
\end{aligned}
$$

令 $K=\eta^{-1}(N)=\left\{x \in R^{(m)} \mid \eta(x) \in N\right\}$ ，则 $K$ 是 $R^{(m)}$ 的一个子模。由定理 7．4．1 知，$K$ 也是自由模，有一基 $f_1, f_2, \cdots, f_r$ ．因为 $\eta$ 是一个满同态，故

$$
h_1=\eta\left(f_1\right), \quad \cdots, \quad h_r=\eta\left(f_r\right)
$$

是 $N$ 的一组生成元，故 $N$ 是有限生成的．
定义 7．4．1 设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是 $R$－模，$\alpha \in M$ ．如果存在 $r \in R, r \neq$ 0 使得 $r \alpha=0$ ，则称 $\alpha$ 为扭元素（或挠元）．如果不存在非零的 $r$ 使得 $r \alpha=0$ ，则 $\alpha$称为自由的（ $R$－线性无关的）．

模 $M$ 的零元显然是扭元素。
如果元素 $\alpha \in M$ 是自由的，那么由 $\alpha$ 生成的子模 $R \alpha$ 是秩为 1 的自由模。
例 7．4．1 交换群作为 $\mathbf{Z}$－模，扭元素就是有限阶元素．
例 7．4．2 设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，则 $V$ 中每个非零元素都是自由的．

例 7．4．3 设 $V$ 是域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{A}$ 是 $V$ 的一个线性变换，$F[\lambda]$是一元多项式环．定义 $\lambda \alpha=\boldsymbol{A}(\alpha)$ ，则 $V$ 组成一个 $F[\lambda]$－模．这时，$V$ 的每个元素都是扭元素．（这是因为，$V$ 是 $n$ 维线性空间，故对任意 $\alpha \in V$ ，存在 $m \geqslant n$ ，使得 $\alpha, \lambda \alpha, \lambda^2 \alpha, \cdots, \lambda^m \alpha$ 线性相关，从而存在非零多项式 $g(\lambda)$ 使得 $g(\lambda) \alpha=0$ ．）

定义 7．4．2 设 $M$ 是 $R$－模。如果 $M$ 中每个元素都是扭元素，则 $M$ 称为扭模（挠模）；如果 $M$ 中每个非零元素都是自由的，则 $M$ 称为无扭模。

定理 7．4．2 主理想整环 $R$ 上无扭的有限生成模一定是自由模．
证明 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上一无扭的有限生成模，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是它的一组生成元．若 $M=\{0\}$ ，结论显然成立．下面设 $M \neq\{0\}$ ．

因为 $M$ 是无扭模，$M$ 的每个非零元都线性无关，故在 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中总可选出一个极大线性无关组，比如说，就是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r(r \leqslant m)$ 。这就是说，$\alpha_1, \cdots, \alpha_r$线性无关，而 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \alpha_j(r<j \leqslant m)$ 都线性相关，于是存在关系

$$
c_{j_1} \alpha_1+\cdots+c_{j_r} \alpha_r+c_j \alpha_j=0, \quad c_j \neq 0, \quad r<j \leqslant m .
$$

令 $N=\left\langle\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right\rangle$ ，则 $N$ 是一自由子模且 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 是 $N$ 的基。令 $c=c_{r+1} \cdots c_m$ ，因为 $R$ 是整环，故 $c \neq 0$ ．显然 $c \alpha_i \in N, i=1,2, \cdots, m$ ．于是映射 $\eta: x \mapsto c x$ 是 $M$ 到 $N$ 的单同态，故

因为 $N$ 为自由模，由定理 7．4．1 知 $\eta(M)$ 也是自由模，故 $M$ 是自由模．
注 7．4．2 在定理 7．4．2 中，有限生成这个条件是必要的．例如，有理数域 $\mathbf{Q}$作为整数环 $\mathbf{Z}$ 上的模是无扭的，但是任意两个有理数在 $\mathbf{Z}$ 上都是线性相关的，因此不可能是自由模。

定理 7．4．2 表明，如果一个有限生成模是无扭的，则是自由模，而自由模的结构是清楚的，完全被秩决定。下面讨论一般的情形，将证明一般有限生成模的分解可以归结为有限生成扭模的分解．

设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是 $R$－模。令 $\operatorname{Tor}(M)$ 是 $M$ 中全体扭元素组成的子集，即

$$
\operatorname{Tor}(M)=\{\alpha \in M \mid \text { 存在 } r \in R, r \neq 0 \text { 使得 } r \alpha=0\}
$$

则 $\operatorname{Tor}(M)$ 是 $M$ 的子模，称为 $M$ 的扭子模。
定理 7．4．3 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上的有限生成模，则 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 是无扭模，且是自由模。

证明 先证 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 为无扭模．设 $\alpha+\operatorname{Tor}(M)$ 是 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 的一个扭元，则存在 $r \in R, r \neq 0$ 使得

$$
r(\alpha+\operatorname{Tor}(M))=\operatorname{Tor}(M)
$$

即 $r \alpha \in \operatorname{Tor}(M)$ ．于是存在 $s \in R, s \neq 0$ 使得 $s(r \alpha)=0$ ，即 $(s r) \alpha=0$ ．又因为 $R$为整环，故 $s r \neq 0$ ，从而

$$
\alpha \in \operatorname{Tor}(M),
$$

即 $\alpha+\operatorname{Tor}(M)=\operatorname{Tor}(M)$ ，因此 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 为无扭模．又因为 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 是有限生成模，故由定理 7．4．2 知，$M / \operatorname{Tor}(M)$ 是自由模．

令

$$
M / \operatorname{Tor}(M) \cong R^{(t)}
$$

是一秩为 $t$ 的自由模，并令 $\gamma: M \rightarrow M / \operatorname{Tor}(M)$ 为模的自然同态，因为 $\gamma$ 为满同态且 $\operatorname{Ker}(\gamma)=\operatorname{Tor}(M)$ ，故由 7.3 节的推论 7．3．3 知，存在 $M$ 的子模 $L$ 使得

$$
M=\operatorname{Tor}(M) \oplus L
$$

又因为 $L \cong M / \operatorname{Tor}(M) \cong R^{(t)}$ ，所以 $L$ 是自由模。这就证明了
定理 7．4．4 主理想整环 $R$ 上任一有限生成模 $M$ 都可以分解成它的扭子模 $\operatorname{Tor}(M)$ 与一自由子模 $L$ 的直和，并且 $L$ 的秩是唯一决定的。

一般来说，自由子模 $L$ 不是唯一决定的，读者不难举出这样的例子。
自由模 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 的秩通常称为模 $M$ 的秩。
由定理 7．4．4 知，有限生成模的分解就归结为它的扭子模 $\operatorname{Tor}(M)$ 的分解。因为 $\operatorname{Tor}(M)$ 也是有限生成的，所以下面我们重点讨论有限生成扭模的分解．

$$
M \cong \eta(M) \leqslant N .
$$

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