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主理想整环上的自由模

7.4 主理想整环上的自由模

本节研究主理想整环上自由模的性质，将证明主理想整环上自由模的子模还是自由模，有限生成模的子模还是有限生成模，主理想整环上无扭的有限生成模是自由模，并给出主理想环上有限生成模的第一步分解。

定理 7．4．1 设 $R$ 是一主理想整环，$M$ 是一自由 $R$－模，秩为 $n$ ，则 $M$ 的任一子模也是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n$ ．

证明 设 $N$ 是 $M$ 的一个子模．若 $M=\{0\}$ ，则结论显然．下面设 $M \neq\{0\}$并对 $M$ 的秩 $n$ 作归纳．假设结论对秩小于 $n$ 的自由模已经成立．

令 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是自由模 $M$ 的一组基，令

$$
I_1=\left\{a_1 \mid a_1 e_1+\cdots+a_n e_n \in N, a_i \in R, i=1,2, \cdots, n\right\}
$$

是 $N$ 中元素 $a_1 e_1+\cdots+a_n e_n$ 的第一个系数 $a_1$ 所成的集合，则 $I_1$ 是 $R$ 的一个理想（自证）．

因为 $R$ 是一主理想整环，则存在 $f \in R$ ，使得 $I_1=(f)$ ．
若 $f=0$ ，则 $I_1=(0)$ ，于是子模 $N$ 包含在秩为 $n-1$ 的自由模

$$
M_1=R e_2+\cdots+R e_n
$$

中，故由归纳假设知，$N$ 是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n-1$ ，从而结论成立．
以下设 $f \neq 0$ ，于是在 $N$ 中有一元素

$$
h_1=f e_1+\cdots,
$$

并且对于 $N$ 中任一元素 $x=a_1 e_1+\cdots+a_n e_n$ ，有 $a_1=a_1^{\prime} f$ ，于是

$$
x-a_1^{\prime} h_1 \in M_1 .
$$

令 $N_1=N \cap M_1$ ，则上面的讨论表明

$$
N=R h_1+N_1 .
$$

显然 $R h_1 \cap N_1=\{0\}$ ，故有

$$
N=R h_1 \oplus N_1 .
$$

由归纳假设知，$N_1$ 是自由 $R$－模，并且其秩 $\leqslant n-1$ ．
设 $h_2, \cdots, h_r$ 是 $N_1$ 的一组基，$r \leqslant n$ ，则有

$$
N=R h_1 \oplus R h_2 \oplus \cdots \oplus R h_r .
$$

这就证明了，$h_1, h_2, \cdots, h_r$ 是 $N$ 的一组基，故 $N$ 是一自由 $R$－模，且秩 $=r \leqslant n$ ．
由数学归纳法原理，定理普遍成立。
注 7．4．1 若 $R$ 不是主理想整环，那么自由模的子模不一定是自由的．例如， $R=\mathbf{Z} / 6 \mathbf{Z}, R$ 作为 $R$－模是秩为 1 的自由模，但其子模 $N=2 R=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ 就不是自由模。

推论 7．4．1 主理想整环上有限生成模的子模也是有限生成的．
证明 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上一有限生成模，$g_1, g_2, \cdots, g_m$ 是它的一组生成元．设 $N$ 是 $M$ 的任一子模．作一秩为 $m$ 的自由模 $R^{(m)}$ ，并设 $e_1, e_2, \cdots, e_m$为其一组基．令 $\eta\left(e_i\right)=g_i, 1 \leqslant i \leqslant m$ ，则存

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