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模的基本概念

本章讨论环上的模.模可以看成环上的线性代数，或者定义了环作用的交换
群.以前学过的交换群、域上的线性空间以及环等代数结构都可以统一在模的概
念下. 7.11'V7.3 节将介绍模、子模、商模、模同态、自由模等基本概念和性质.对于一般代数结构，刻画出所有可能的互不同构的类型或者研究其分类问题
通常是不容易的.然而对于主理想整环上的有限生成模，其分类问题可以彻底解
决. 7.41'V7.7 节将详细介绍主理想整环土有限生成模分解的结论，并利用该结论解决有限生成的交换群和有限维线性空间中线性变换的标准形问题.最后介绍格和环上代数的概念.

7.1 模的基本概念

本节介绍模、子模、商模的基本概念和简单性质．
以下设 $R$ 是一个幺环，$M$ 为一个加法交换群。如同第3章可以将一个群作用在一个集合上一样，也可以将一个环 $\boldsymbol{R}$ 作用在一个交换群 $\boldsymbol{M}$ 上，要求这种作用既反映环的运算也反映群的运算，这样就形成了如下的环上的模的概念．

定义 7．1．1（模）设 $R$ 是一个幺环，$M$ 为一个加法交换群。若存在 $R \times M$到 $M$ 的一个映射 $(a, x) \mapsto a x$（环 $R$ 中元素 $a$ 对 $M$ 中元素 $x$ 的作用 $a(x)$ ，简记为 $a x)$ 满足下列条件：
（1）$a(x+y)=a x+a y, a \in R, x, y \in M$ ；
（2）$(a+b) x=a x+b x, a, b \in R, x \in M$ ；
（3）$(a b) x=a(b x)$ ；
（4） $1 \cdot x=x$ ．
则 $M$ 叫做环 $R$ 上的一个左模，或叫做一个左 $R$－模．
同样，若存在 $R \times M$ 到 $M$ 的一个映射 $(a, x) \mapsto x a$ 满足
（1）$(x+y) a=x a+y a, a \in R, x, y \in M$ ；
（2）$x(a+b)=x a+x b, a, b \in R, x \in M$ ；
（3）$x(a b)=(x a) b$ ；
（4）$x \cdot 1=x$ ．

则 $M$ 叫做环 $R$ 上的一个右 $R$－模．
若不作特别说明，以下均考虑左 $R$－模。
利用模的定义，容易证明下面的定理成立．
定理7．1．1 设 $R$ 是一个幺环，$M$ 为一个 $R$－模．则对任意 $a, a_i \in R$ ，以及 $x, x_i \in M$ ，有
（1）$a \cdot 0=0,0 \cdot x=0$ ；
（2）$a \cdot(-x)=-a x,(-a) \cdot x=-a x,(-a) \cdot(-x)=a x$ ；
（3）$a \cdot\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)=\sum_{i=1}^n a \cdot x_i,\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot x=\sum_{i=1}^n a_i \cdot x$ ．
下面给出模的几个简单例子。
例 7．1．1 域 $F$ 上一个线性空间 $V$ 为 $F$－模，其中 $F$ 在 $V$ 上的作用定义为 $F$ 中元素对 $V$ 中向量的数乘．

例7．1．2 加法交换群 $G$ 为 $\mathbf{Z}$－模，其中 $n a=n \cdot a, n \in \mathbf{Z}, a \in G$ 。进而，阶为 $n$ 的交换群还可以看成 $\mathbf{Z}_n$－模。

例 7．1．3 环 $R$ 按自身的加法和乘法可以看成 $R$－模。
例7．1．4 设 $V$ 为域 $F$ 上一个线性空间，$T$ 为 $V$ 上任意给定的线性变换．令 $R=F[\lambda]$ 为 $F$ 上的一元多项式环，$\lambda$ 为 $F$ 上的未定元，$M=V$ ．对任意 $\alpha \in V$ ，定义 $F[\lambda]$ 在 $V$ 上的作用为

$$
f(\lambda) \cdot(\alpha)=f(T)(\alpha),
$$

其中 $f(\lambda) \in F[\lambda]$ ，则 $V$ 为 $F[\lambda]$－模．这个模的结构完全由给定的线性变换 $T$决定。

不妨设 $f(\lambda)=a_0+a_1 \lambda+\cdots+a_n \lambda^n \in F[\lambda], a_i \in F$ ，则 $f(T)=a_0 I+a_1 T+ \cdots+a_n T^n$ ，其中 $I$ 为单位变换，并且

$$
f(\lambda) \cdot(\alpha)=f(T)(\alpha)=a_0 \alpha+a_1 T(\alpha)+\cdots+a_n T^n(\alpha) .
$$

类似于群作用的置换表示，下面利用加法群的自同态环给出模的另一种等价描述。

命题 7．1．1 设 $M$ 是一个加法交换群，$R$ 是一个幺环（单位元为 1 ），则 $M$ 是一个 $R$－模当且仅当存在 $R$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的环同态 $\psi$ 使得 $\psi(1)=1_M$ 。

证明 先证必要性．对于任一左 $R$－模 $M$ ，由模的定义可以证明，对于任意固定的元素 $a \in R$ ，映射 $\eta_a: x \rightarrow a x$ 确定了交换群 $M$ 的一个自同态，并且 $\psi: a \rightarrow \eta_a$ 是环 $R$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的一个环同态，其中 $\psi(1)=\eta_1=1_M$ 。

事实上，由模的定义知，对任意 $x, y \in M$ ，有

$$
\eta_a(x+y)=a(x+y)=a x+a y=\eta_a(x)+\eta_a(y),
$$

故 $\eta_a$ 为群 $M$ 的一个自同态．
进而，对任意 $a, b \in R$ ，以及 $x \in M$ ，有

$$
\begin{gathered}
\eta_{a+b}(x)=(a+b) x=a x+b x=\eta_a(x)+\eta_b(x)=\left(\eta_a+\eta_b\right)(x) \\
\eta_{a b}(x)=(a b) x=a(b x)=\eta_a(b x)=\eta_a\left(\eta_b(x)\right)=\left(\eta_a \eta_b\right)(x)
\end{gathered}
$$

即有 $\eta_{a+b}=\eta_a+\eta_b, \eta_{a b}=\eta_a \eta_b$ ，从而 $\psi: a \rightarrow \eta_a$ 是环 $R$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的一个环同态．又因为 $\eta_1(x)=1 \cdot x=x$ ，故 $\eta_1=1_M$ ，从而 $\psi(1)=\eta_1=1_M$ ．必要性得证．

再证充分性．若存在环同态 $\psi: R \rightarrow \operatorname{E

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