最后更新: 2026-04-14 22:36 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

紧致性

## 紧 致 性

紧致性在分析学中早就出现并有许多应用，然而从本质上讲，它是属于拓扑学范畴的概念，并且是一种最基本、最常见的拓扑性质．

**3.1 紧致与列紧**

在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力．有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的。在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列。这种性质后来称为＂列紧性＂ （自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中．

**定义2.1** 拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛 （即有极限点）的子序列。

模仿分析中的方法，容易证明：

**命题2.9** 定义在列紧拓扑空间 $X$ 上的连续函数 $f: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$有界，并达到最大、最小值．

刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是＂紧致性＂，虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观，但更能体现拓扑特性。在拓扑空间中，序列不是一种好的表达形式，而紧致性所用的开集表达形式，从拓扑观点来看更为自然。第一章§2中已介绍了拓扑空间 $X$的覆盖的概念，它是 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{U}$ ，满足 $\bigcup_{U \in \mathscr{U}} U=X$ 。如果覆盖 $\mathscr{U}$ 中只含有限个子集，就称 $\mathscr{U}$ 为**有限覆盖**。如果 $\mathscr{U}$ 的一个子族 $\mathscr{U}^{\prime} \subset \mathscr{U}$ 本身也构成 $X$ 的覆盖，就称 $\mathscr{U}^{\prime}$ 是 $\mathscr{U}$ 的**子覆盖**。

**定义2.2** 拓扑空间称为**紧致的**，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖。

从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的。对于度量空间来说，这两种性质是等价的（下面将要证明）．对于一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念。

按照定义，拓扑空间如果只含有限个点，或它的拓扑是有限的 （只有有限个开集），则它是紧致的．$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是紧致的，因为它的每个开覆盖 $\mathscr{U}$ 中必定有非空开集 $U, U$ 的余集 $U^c$ 是有限集，取 $\mathscr{U}$中有限个开集覆盖 $U^c$ ，它们与 $U$ 一起构成 $\mathscr{U}$ 的一个有限子覆盖。 $\boldsymbol{E}^1$ 不是紧致的，因为可构造它的一个开覆盖 $\mathscr{U}, \mathscr{U}$ 没有有限子覆盖，譬如 $\mathscr{U}=\{(-\infty, a) \mid a \in \boldsymbol{R}\}$ ．

## 3.2 紧致度量空间

现在证明对于度量空间，列紧与紧致是等价的．
**命题2.10** 紧致 $C_1$ 空间是列紧的。
证明 设 $\left\{x_n\right\}$ 是紧致 $C_1$ 空间 $X$ 的一个序列，要证明它有收敛的子序列．分两步进行．
（1）用紧致性证明存在点 $x \in X$ ，它的任一邻域都含有 $\left\{x_n\right\}$ 的无穷多项．用反证法．否则，$\forall x \in X$ ，可找到 $x$ 的开邻域 $U_x$ ，它只含 $\left\{x_n\right\}$ 的有限项．于是 $\left\{U_x \mid x \in X\right\}$ 是 $X$ 的开覆盖，但是 $\left\{x_n\right\}$ 不能被它的任一有限子族盖住，因此它不存在有限子覆盖．这与 $X$ 紧致矛盾．
（2）设点 $x$ 的任一邻域都含 $\left\{x_n\right\}$ 的无穷多项。因为 $X$ 是 $C_1$空间，可取 $x$ 的可数邻域基 $\left\{U_n\right\}$ ，使得 $m>n$ 时，$U_m \subset U_n$ ．取 $x_{n_i}$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 包含在 $U_i$ 中的那些项中的第 $i$ 个，则 $n_{i+1}>n_i, \forall i$ ．因此 $\left\{x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots\right\}$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 的子序列。由作法容易证明 $x_{n_i} \rightarrow x$ 。

度量空间满足 $C_1$ 公理，因此紧致度量空间是列紧的．
逆向的证明要困难得多，还要先引进几个概念。
度量空间 $(X, d)$ 的子集 $A$ 称为 $X$ 的一个 $\delta$－网（ $\delta$ 是一正数），如果 $\forall x \in X, d(x, A)<\delta$ ，即 $\bigcup_{a \in A} B(a, \delta)=X$ 。

**命题2.11** 对任给 $\delta>0$ ，列紧度量空间存在有限的 $\delta$－网．
证明 用反证法．否则，$\exists \delta_0>0$ ，对 $X$ 的任何有限子集 $A$ ，总可找到点 $x \in X$ ，使得 $d(x, A) \geqslant \delta_0$ ．用归纳法构造 $X$ 中序列如下： $x_1$ 任意取定。当前 $n$ 个 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 取好后，取 $x_{n+1}$ 使 $d\left(x_{n+1}, x_i\right) \geqslant \delta_0, \forall i=1, \cdots, n$ ．这样得到的序列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $d\left(x_i, x_j\right) \geqslant \delta_0, \forall i \neq j$ ，因此它没有收敛的子序列，与列紧性矛盾．

**作为命题 2.11 的一个应用，得到：列紧度量空间一定是有界的**．

设 $\mathscr{U}$ 是列紧度量空间 $(X, d)$ 的一个开覆盖，并且 $X \bar{\in} \mathscr{U}$ 。规定 $X$ 上函数 $\varphi_x: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为

$$
\varphi_{\mathscr{U}}(x)=\sup \left\{d\left(x, U^c\right) \mid U \in \mathscr{U}\right\}, \quad \forall x \in X .
$$

因为 $X$ 是有界的，有 $M$ ，使得 $d(x, y) \leqslant M, \forall x, y \in X$ ，所以当 $U \neq X$ 时，$d\left(x, U^c\right) \leqslant M$ ，从而 $\varphi_{\mathscr{U}}(x)$ 有意义．又由于 $\mathscr{U}$ 是开覆盖，存在 $U \in \mathscr{U}$ ，使得 $x \in U$ ，从而 $\varphi_{\mathscr{U}}(x) \geqslant d\left(x, U^c\right)>0$ ．

现在验证 $\varphi_x$ 是连续的．$\forall x, y \in X, d\left(y, U^c\right)=\inf \{d\{y, a) \mid a \left.\in U^c\right\} \leqslant \inf \left\{d(x, y)+d(x, a) \mid a \in U^c\right\}=d(x, y)+d\left(x, U^c\right)$ ，因此 $\varphi_u(y) \leqslant d(x, y)+\varphi_u(x)$ ．对称地，$\varphi_u(x) \leqslant d(x, y)+ \varphi_U(y)$ ．这样 $\left|\varphi_U(x)-\varphi_U(y)\right| \leqslant d(x, y)$ ．因此容易看出 $\varphi_U$ 连续．

**定义2.3** 设 $\mathscr{U}$ 是列紧度量空间 $(X, d)$ 的一个开覆盖，$X \bar{\in} \mathscr{U}$ ．称函数 $\varphi_{\mathscr{U}}$ 的最小值为 $\mathscr{U}$ 的 **Lebesgue 数**，记作 $L(\mathscr{U})$ 。

**命题2.12** $L(\mathscr{U})$ 是正数；并且当 $0<\delta<L(\mathscr{U})$ 时，$\forall x \in X$ ， $B(x, \delta)$ 必包含在 $\mathscr{U}$ 的某个开集 $U$ 中。

证明 因为 $X$ 列紧，所以 $\varphi_u$ 在某点 $x_0$ 处达到最小值，即 $L(\mathscr{U})=\varphi_{\mathscr{U}}\left(x_0\right)>0$ ．
$\forall x \in X, \delta<L(\mathscr{U}) \leqslant \varphi_{\mathscr{U}}(x)$ ，因此存在 $U \in \mathscr{U}$ ，使得 $d\left(x, U^c\right) >\delta$ ，从而 $B(x, \delta) \subset U$ ．

现在可以来证明主要结果了。

**命题2.13** 列紧度量空间是紧致的。

证明 设 $(X, d)$ 是列紧度量空间．要对它的开覆盖 $\mathscr{U}$ 找出有限子覆盖。不妨设 $\mathscr{U}$ 中不包含 $X$ ，从而有 Lebesgue 数 $L(\mathscr{U})$ 。取正数 $\delta<L(\mathscr{U})$ ，令 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 是 $X$ 的 $\delta$－网（存在性由命题 2.11 保证）。于是 $\bigcup_{i=1}^n B\left(a_i, \delta\right)=X$ 。由命题2．12，$\forall i$ ，有 $U_i \in \mathscr{U}$ ，使得 $B\left(a_i, \delta\right) \subset U_i$ ．于是 $\left\{U_1, U_2, \cdots, U_n\right\}$ 是 $\mathscr{U}$ 的一个有限子覆盖．命题得证．

综合命题 2.10 和 2.13 ，得到

**定理2.5** 若 $X$ 是度量空间，则 $X$ 列紧 $\Longleftrightarrow X$ 紧致。
于是有界闭区间是紧致的。球面 $S^n$ 和实心球 $D^n$ 是紧致的。一般地， $\boldsymbol{E}^n$ 的子集 $A$ 紧致的充分必要条件是 $A$ 为有界闭集．

## 3.3 紧致空间的性质

下面的讨论中常要涉及到拓扑空间的紧致子集．一个拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 如果作为子空间是紧致的，就称为 $X$ 的**紧致子集**．这里在概念上并没有提出任何新思想。下面介绍判断一个子集是否紧致的办法，实用中它常常比定义方便些。

> $X$ 中一个开集族 $\mathscr{U}$ 如果满足 $A \subset \bigcup_{U \in \mathscr{U}} U$ ，则称 $\mathscr{U}$ 是 $A$ 在 $X$中的一个开覆盖（区别于 $A$ 的开覆盖，后者由 $A$ 中的开集构成）．

**命题2.14** $A$ 是 $X$ 的紧致子集 $\Longleftrightarrow A$ 在 $X$ 中的任一开覆盖有有限子覆盖。

证明 →．设 $\mathscr{U}$ 是 $A$ 在 $X$ 中的开覆盖，则 $\mathscr{U}_A=\{U \cap A \mid U \in \mathscr{U}\}$ 是 $A$ 的开覆盖。因为 $A$ 紧致，所以 $\mathscr{U}_A$ 有有限子覆盖 $\left\{U_1 \cap A, U_2 \cap A, \cdots, U_n \cap A\right\}$ 。则 $\left\{U_1, U_2, \cdots, U_n\right\}$ 是 $\mathscr{U}$ 的有限子覆盖。

← 设 $\mathscr{V}$ 是 $A$ 的开覆盖。则由子空间拓扑的定义，$\forall V \in \mathscr{V}$ ，取定 $X$ 中开集 $U$ ，使得 $V=U \cap A$ 。所有得到的 $U$ 构成 $A$ 在 $X$中的开覆盖 $\mathscr{U}$ 。由条件， $\mathscr{U}$ 有子覆盖 $\left\{U_1, U_2, \cdots, U_n\right\}$ 。于是 $\left\{U_1 \cap\right. \left.A, U_2 \cap A, \cdots, U_n \cap A\right\}$ 是 $\mathscr{V}$ 的有限子覆盖．这证明了 $A$ 的紧致性。

**命题2.15** 紧致空间的闭子集紧致。
证明 设 $X$ 是紧致拓扑空间，$A$ 是 $X$ 的闭子集．证 $A$ 的紧致性只须证明 $A$ 在 $X$ 中的任一开覆盖 $\mathscr{U}$ 有有限子覆盖。因为 $A$ 是闭集，所以 $A^c$ 是开集。于是 $\mathscr{U}$ 中添加了 $A^c$ 后得到 $X$ 的一个开覆盖。由于 $X$ 紧致，它有子覆盖 $\left\{U_1, \cdots, U_n, A^c\right\}$ 。于是 $\left\{U_1, \cdots, U_n\right\}$ 是 $\mathscr{U}$ 的有限子覆盖（ $A$ 的覆盖）．

**命题 2.16** 紧致空间在连续映射下的像也紧致．
证明 设 $X$ 紧致，映射 $f: X \rightarrow Y$ 连续．要证明 $f(X)$ 是 $Y$ 的紧致子集。设 $\mathscr{U}$ 是 $f(X)$ 在 $Y$ 中的开覆盖，则 $\left\{f^{-1}(U) \mid U \in \mathscr{U}\right\}$ 是 $X$ 的开覆盖，有子覆盖 $\left\{f^{-1}\left(U_1\right), f^{-1}\left(U_2\right), \cdots, f^{-1}\left(U_n\right)\right\}$ ，即 $X =\bigcup_{i=1}^n f^{-1}\left(U_i\right)$ ．于是 $f(X)=\bigcup_{i=1}^n f\left(f^{-1}\left(U_i\right)\right) \subset \bigcup_{i=1}^n U_i$ ．因此 $\left\{U_1, U_2, \cdots, U_n\right\}$ 是 $\mathscr{U}$ 的子覆盖，根据命题2．14，$f(X)$ 紧致。

命题2．16的一个直接推论是：紧致性是拓扑性质．当然，从定义就可得到这个论断．

**推论** 定义在紧致空间上的连续函数有界，并且达到最大、最小值。

证明 设 $X$ 紧致，$f: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 连续．根据命题 $2.16, f(X)$ 是 $\boldsymbol{E}^1$ 上的紧致子集，因此是 $\boldsymbol{E}^1$ 的有界闭集，故 $f$ 是有界的．设 $a, b$分别是 $f(X)$ 的最大、最小值．则有 $x_1, x_2 \in X$ ，使得 $f\left(x_1\right)=a$ ， $f\left(x_2\right)=b$ ，即 $f$ 在 $x_1, x_2$ 处达到最大、最小值．

##  紧致性通俗解释

想象你有一个非常长的、可以随意拉伸和弯曲的橡皮筋，但它不能断开。现在，你试图把这个橡皮筋“完整地”放进一个有限的、有边界的区域里，比如一个圆盘子中。如果这个橡皮筋无论你怎么拉伸、弯曲，最终都能被整个塞进圆盘子里，那么就说这根橡皮筋是“紧致的”。

更精确地，拓扑学里的“紧致性”描述的是一种“有限性”和“不溢出”的性质。

**最通俗的解释：**

紧致性就像是一个集合（或空间）的“有限覆盖”性质。意思是：无论你用多少个“小块”（比如很多个小圆盘、小方块）去覆盖这个集合，你总能从这无数个小块中，挑选出**有限个**来，依然能把整个集合覆盖住。

**打个比方：**

-   **非紧致**的例子：一条无限长的直线。你想用长度都是1的小线段去覆盖它，需要无限多个。并且无论你怎么挑出有限个，总会有两端的点覆盖不到。它总会“跑到外面去”。
-   **紧致**的例子：一个圆（圆周）。无论你用什么形状的小弧段去覆盖它，只要这些小弧段合起来能把整个圆包住，你总能从中选出几个（有限个）弧段，就足以覆盖整个圆。它不会“漏掉”。

**更生活化的类比：**

-   **紧致 ≈ “有界且封闭”** 在普通的直线或平面空间中，一个集合是紧致的，当且仅当它同时满足：
    -   **有界**：它不会无限延伸出去（能画在一个有限的框里）。
    -   **封闭**：它的边界属于它自己（没有“缺口”或“通向外面”的洞）。

例如：闭区间 [0，1]（包括0和1）是紧致的。开区间 (0，1)（不含0和1）就不是紧致的，因为你可以用越来越小的开区间覆盖靠近0的地方，但需要无限多个才能覆盖到0的位置（而0不在集合里，所以覆盖方案会无限延续）。

**为什么重要？**

在数学分析中，紧致性保证了：

-   **最大值最小值存在**：一个连续函数在紧致集合上一定能取到最大值和最小值。
-   **序列必有收敛子列**：你可以在紧致集合中从一个无限点列里，找到一串越来越接近某个极限的点（极限也在集合内）。

**一句话总结：**

紧致性就是一个空间“足够紧凑”，不会无限发散，而且没有“缺口”。无论你怎么用开集去盖它，总能只用有限的几个就盖完——就像一件用有限几块布就能缝好的衣服，而不是需要无限块补丁。

## 如何理解：紧致 $C_1$ 空间是列紧的

我们再用最通俗的方式来解释“紧致 C₁ 空间是列紧的”这个结论。
 
**先拆解三个词：**

1. **紧致**：就像我之前说的，无论你怎么用“小块”去覆盖整个空间，总能从这些小块里挑出**有限个**就够用。可以想象成一个“有限就能搞定”的空间，没有无限远、没有缺口。

2. **C₁ 空间（第一可数）**：意思是空间里的**每一个点**，都有一列**越来越小、能层层包围它的“小圈圈”**（可数邻域基）。  
   打个比方：你在城市里某个点，可以找到半径 1 米、0.1 米、0.01 米……这样一列小圆盘，每个小圆盘都能把你圈在里面，而且任何其他圈住你的小区域，一定包含其中某个小圆盘。  
   **通俗理解**：你能用“可数列”的尺度把该点附近的情况描述清楚，不会遇到“必须用不可数无穷多种大小才能逼近”的怪事。

3. **列紧（序列紧致）**：随便给你一个无穷的点列（比如 x₁, x₂, x₃, …），你总能从中挑出一个**收敛的子列**（子序列），并且这个极限点还在这个空间里。  
   **通俗理解**：你在这个空间里乱走，总能找到一串越来越接近某个固定位置的脚步。

---

**为什么“紧致 + C₁”就能推出“列紧”？**

想象你有一个**紧致且 C₁ 的空间**，现在给你任意一个无穷点列（比如一群人在空间里无限游走）。  
你想从他们中找出一小部分人，他们越来越靠近某个位置。

**步骤（非严格但直观）：**

1. 因为空间**紧致**，这无穷多个人不可能全都“散开”到无限远，也不可能无限远离某个点——他们**必须至少有一个聚点**（可以理解为一个“众人围观的热点位置”）。

2. 但是这个聚点未必能直接用“子列收敛”抓住，因为在一般拓扑中，光有聚点还不够，你需要**能一步步逼近它**。

3. 而 **C₁** 恰好给了你这个能力：在这个聚点处，存在一列越来越小的“圈圈” U₁ ⊇ U₂ ⊇ U₃ …，每个圈圈都包含该聚点。

4. 因为聚点的定义：每个圈圈里都有无限多个那堆人中的点。  
   所以你可以这样挑子列：
   - 从 U₁ 中挑一个人（比如第 n₁ 个）
   - 从 U₂ 中挑一个更靠后的人（n₂ > n₁）
   - 从 U₃ 中挑一个更靠后的人（n₃ > n₂）……
   这样挑出来的人，后面的人会越来越靠近聚点，因为圈圈越来越小。

**结果**：你成功地从原始点列中抽出了一个收敛到该聚点的子列。

---

**如果没有 C₁ 会怎样？**

你可能会遇到这样的怪空间：  
有一个聚点，但**任何可数序列都无法一步步接近它**——需要用“不可数长的序列”才能逼近。  
例如某个超长序数空间（比如 ω₁+1 里的 ω₁ 点），你的可数子列永远够不到它。  
这时空间虽然紧致，但不是列紧。

---

**一句话版（适合记住）**：

> **紧致**保证至少有一个“热点”，**C₁** 保证你可以用**可数步**一步步走进那个热点，从而从任意点列中抽出一个收敛子列。

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