最后更新: 2025-12-30 19:46 查看: 7 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

紧致性

§ 3 紧 致 性

紧致性在分析学中早就出现并有许多应用，然而从本质上讲，它是属于拓扑学范畴的概念，并且是一种最基本、最常见的拓扑性质．
3.1 紧致与列紧

在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力．有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的。在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列。这种性质后来称为＂列紧性＂ （自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中．

定义2．1 拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛 （即有极限点）的子序列。

模仿分析中的方法，容易证明：
命题 2.9 定义在列紧拓扑空间 $X$ 上的连续函数 $f: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$有界，并达到最大、最小值．

刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是＂紧致性＂，虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观，但更能体现拓扑特性。在拓扑空间中，序列不是一种好的表达形式，而紧致性所用的开集表达形式，从拓扑观点来看更为自然。第一章§2中已介绍了拓扑空间 $X$的覆盖的概念，它是 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{U}$ ，满足 $\bigcup_{U \in \mathscr{U}} U=X$ 。如果覆盖 $\mathscr{U}$ 中只含有限个子集，就称 $\mathscr{U}$ 为有限覆盖。如果 $\mathscr{U}$ 的一个子族 $\mathscr{U}^{\prime} \subset \mathscr{U}$ 本身也构成 $X$ 的覆盖，就称 $\mathscr{U}^{\prime}$ 是 $\mathscr{U}$ 的子覆盖。

定义2．2 拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖。

从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的。对于度量空间来说，这两种性质是等价的（下面将要证明）．对于一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念。

按照定义，拓扑空间如果只含有限个点，或它的拓扑是有限的 （只有有限个开集），则它是紧致的．$\left(\boldsymbol{R}, \tau_f\right)$ 是紧致的，因为它的每个开覆盖 $\mathscr{U}$ 中必定有非空开集 $U, U$ 的余集 $U^c$ 是有限集，取 $\mathscr{U}$中有限个开集覆盖 $U^c$ ，它们与 $U$ 一起构成 $\mathscr{U}$ 的一个有限子覆盖。 $\boldsymbol{E}^1$ 不是紧致的，因为可构造它的一个开覆盖 $\mathscr{U}, \mathscr{U}$ 没有有限子覆盖，譬如 $\mathscr{U}=\{(-\infty, a) \mid a \in \boldsymbol{R}\}$ ．

3.2 紧致度量空间

现在证明对于度量空间，列紧与紧致是等价的．
命题2．10 紧致 $C_1$ 空间是列紧的。
证明 设 $\left\{x_n\right\}$ 是紧致 $C_1$ 空间 $X$ 的一个序列，要证明它有收敛的子序列．分两步进行．
（1）用紧致性证明存在点 $x \in X$ ，它的任一邻域都含有 $\left\{x_n\right\}$ 的无穷多项．用反证法．否则，$\forall x \in X$ ，可找到 $x$ 的开邻域 $U_x$ ，它只含 $\left\{x_n\right\}$ 的有限项．于是 $\left\{U_x \mid x \in X\right\}$ 是 $X$ 的开覆盖，但是 $\left\{x_n\right\}$ 不能被

它的任一有限子族盖住，因此它不存在有限子覆盖．这与 $X$ 紧致矛盾．
（2）设点 $x$ 的任一邻域都含 $\left\{x_n\right\}$ 的无穷多项。因为 $X$ 是 $C_1$空间，可取 $x$ 的可数邻域基 $\left\{U_n\right\}$ ，使得 $m>n$ 时，$U_m \subset U_n$ ．取 $x_{n_i}$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 包含在 $U_i$ 中的那些项中的第 $i$ 个，则 $n_{i+1}>n_i, \forall i$ ．因此 $\left\{x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots\right\}$ 是 $\left\{x_n\right\}$ 的子序列。由作法容易证明 $x_{n_i} \rightarrow x$ 。

度量空间满足 $C_1$ 公理，因此紧致度量空间是列紧的．
逆向的证明要困难得多，还要先引进几个概念。
度量空间 $(X, d)$ 的子集 $A$ 称为 $X$ 的一个 $\delta$－网（ $\delta$ 是一正数），如果 $

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇： Urysohn 度量化定理

下一篇： Hausdorff 空间的紧致子集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)