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闭曲面分类定理

§4 闭曲面分类定理
空间的拓扑分类（按同胚关系分类）自然是拓扑学中的一个重要问题．但是拓扑空间如此多样，不能奢望对此问题有完全的解答．即使是解决某些特定空间的分类问题的结果也是很少的．然而，闭曲面的拓扑分类问题却已得到完美的解决．闭曲面是流形中最有用的部分，它的分类定理的重要意义就更加明显了。

完成闭曲面分类定理的全部证明必须应用代数拓扑的结果。本章中我们用商空间方法给出它的部分证明，剩下部分放在下一章完成。

4． 1 闭曲面分类定理的叙述
上节我们已介绍了两大类闭曲面：可定向闭曲面 $\left\{n T^2 \mid n\right.$ 为非负整数 $\}\left(n=0\right.$ 时为球面）和不可定向闭曲面 $\left\{m P^2 \mid m \in N\right\}$ 。

定理3．4（闭曲面分类定理）$\left\{n T^2\right\}$ 和 $\left\{m P^2\right\}$ 不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型。

定理的结论有两部分：
（1）任一闭曲面或属 $n T^2$ 型（对某个非负整数 $n$ ），或属 $m P^2$型（对某个正整数 $m$ ）。
（2）$\forall n, m, n T^2 \neq m P^2$ ；当 $n \neq n^{\prime}$ 时，$n T^2 \neq n^{\prime} T^2$ ；当 $m \neq m^{\prime}$ 时， $m P^2 \neq m^{\prime} P^2$ ．
（2）的证明要用到基本群或同调群，现在不能进行．下面只对 （1）证明．

4． 2 闭曲面分类定理结论（1）的证明
1．闭曲面的多边形表示
$\S 3$ 中已说到，一个偶数边的多边形 $\Gamma$ 如果把边成对的粘接，则得到的商空间为闭曲面。记 $\varphi$ 是所说的粘合关系。如果 $\Gamma$ 在 $\varphi$ 之下的商空间同胚于闭曲面 $S$ ，就说 $\Gamma$ 和 $\varphi$ 一起构成 $S$ 的一个多边形表示，记作 $(\Gamma, \varphi)$ 。粘合关系 $\varphi$ 可以按下面约定在 $\Gamma$ 上表出：要粘接的边对标以同一字母，并用箭头表示粘接方式．图3－25中列举了四边形上所有可能的粘合关系。其中（a）是环面的表示，（c）是 $P^2$ ，（b）和（d）都是 Klein 瓶．（e）和（f）请读者自己判断．

![图片](/uploads/2026-01/34dd4c.jpg)
 
 描述一个表示的另一方法是选定 $\Gamma$ 的一个顶点和一个转向 （逆时针或顺时针），然后依次写出标在各边上的字母，并在右上角加或不加—1来表明其方向与转向相逆或一致。例如若取左下角顶点和逆时针方向，则图 3－25 中的（b），（c），（e）分别写出为 $a b a^{-1} b, \quad a b a b, \quad a a b b^{-1}$.
引理1 任一闭曲面都有多边形表示．
这个引理的断言将是我们的论证的出发点．引理的证明要用到1925年 T．Rado 的一个经典结果：闭曲面是可三角剖分的，涉及到本书第六章中的概念．证明本身是初等的，但比较冗长，这里略去了。

显然，有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的。这给出了判定闭曲面同胚的一个途径．但是，每个闭曲面有许多不相同的多边形表示，这给上述判定方法的使用造成了困难．为此，我们提出＂标准多边形表示＂这个概念，在这种表示中，要求粘合法则有一定的规律．标准多边形表示有两类，它们用文字形式写出为

$$
a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1} \cdots a_n b_n a_n^{-1} b_n^{-1},
$$

$$
a_1 a_1 a_2 a_2 \cdots a_m a_m .
$$

我们下面将证明，除球面外，任一闭曲面都有标准表示；并说明有（ $\mathrm{I}_n$ ）这 种表示的是 $n T^2$ 型曲面，有（ $\mathbb{

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