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道路类与基本群的定义

## 基本群的定义

基本群是在道路及其运算（逆和乘积）的基础上建立的．但道路不能直接当作元素来建立群。有两个问题：一是道路的乘法没有结合律；二是并非任何两条道路都可相乘．我们用道路类替代道路，解决了第一个问题；用取定基点的办法解决第二个问题．

### 2.1 道路类的逆和乘积

**命题4.5**（1）如果 $a \simeq b$ ，则 $\bar{a} \simeq \bar{b}$ ；
（2）如果 $a \simeq b, c \simeq d$ ，并且 $a c$ 有意义，则

$$
a c \simeq b d .
$$

证明（1）设 $H: a \simeq b$ ，作 $H^{\prime}: I \times I \rightarrow X$ 为

$$
H^{\prime}(s, t)=H(1-s, t),
$$

容易验证 $H^{\prime}: \bar{a} \simeq \bar{b}$ ．
（2）设 $H_1: a \simeq b, H_2: c \simeq d$ ．作 $H: I \times I \rightarrow X$ 为（图4．6）

$$
H(x, t)= \begin{cases}H_1(2 s, t), & 0 \leqslant s \leqslant 1 / 2, \\ H_2(2 s-1, t), & 1 / 2 \leqslant s \leqslant 1 .\end{cases}
$$
由于 $a(1)=c(0), s=\frac{1}{2}$ 时 $H_1(1, t)=a(1)=c(0)=H_2(0, t), H$
 
的定义合理．根据粘接引理，$H$ 连续．容易验证 $H: a c \simeq b d$ ．

**定义4.4**（1）规定道路类 $\alpha$ 的逆 $\alpha^{-1}=\langle\bar{a}\rangle$ ，其中 $a \in \alpha$ ；
（2）若道路类 $\alpha$ 的终点与 $\beta$的起点重合，规定 $\alpha$ 与 $\beta$ 的乘积 $\alpha \beta=\langle a b\rangle$ ，其中 $a \in \alpha, b \in \beta$ 。

命题4．5说明定义是合理的 （与 $a, b$ 的选择无关）．
$\alpha^{-1}$ 的起点和终点分别是 $\alpha$的终点和起点；$\alpha \beta$ 的起点和终点分别是 $\alpha$ 的起点和 $\beta$ 的终点。

由道路逆和乘积的性质：$\overline{\bar{a}} =a ; \overline{a b}=\bar{b} \bar{a}$ ，马上得到

$$
\left(\alpha^{-1}\right)^{-1}=\alpha ; \quad(\alpha \beta)^{-1}=\beta^{-1} \alpha^{-1} .
$$

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### 2.2 道路类运算的性质

**命题 4.6** 设 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射，$a, b$ 是 $X$ 上两条道路．
（1）如果 $a \simeq b$ ，则 $f \circ a \simeq f \circ b$ ；
（2）如果 $a$ 与 $b$ 可乘，则 $f \circ a$ 与 $f \circ b$ 也可乘，并且

$$
(f \circ a)(f \circ b)=f \circ(a b) ;
$$

（3）$\overline{f \circ a}=f \circ, \bar{a}$ ．
证明（1）见上节习题5．请读者自己验证（2）与（3）．
根据（1），$f$ 导出一个对应 $f_\pi:[X] \rightarrow[Y]$ 为 $f_\pi\langle a\rangle=\langle f \circ a\rangle$ ；
（2）和（3）分别说明 $f_\pi$ 保持乘积运算和逆运算：

$$
f_\pi(\alpha \beta)=f_\pi(\alpha) f_\pi(\beta), \quad\left(f_\pi(\alpha)\right)^{-1}=f_\pi\left(\alpha^{-1}\right) .
$$

> 道路乘法没有结合律，即一般来说 $(a b) c \neq a(b c)$ .

$(a b) c$ 在 $I$的第一个四分之一段按 $a$ 走，第二个四分之一是 $b$ ，剩下二分之一是 $c$ ；但是 $a(b c)$ 中 $a$ 占了前二分之一，$b$ 和 $c$ 各占后面的两个四分之一。

**命题4.7** 道路类乘法有结合律．
证明 就是要证明当 $a(1)=b(0), b(1)=c(0)$ 时，$(a b) c \simeq a(b c)$ 。

规定 $f:[0,3] \rightarrow X$ 为

$$
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}
a(t), & 0 \leqslant t \leqslant 1, \\
b(t-1), & 1 \leqslant t \leqslant 2, \\
c(t-2), & 2 \leqslant t \leqslant 3 .
\end{array}\right.
$$

记 $\widetilde{a}, \widetilde{b}, \widetilde{c}$ 是 $[0,3]$ 上的道路 （图4－7）：$\tilde{a}(t)=t, \tilde{b}(t)=t+1$ ， $\tilde{c}(t)=t+2$ ，则
 ![图片](/uploads/2026-01/4f93d1.jpg)
 
 $$
f \circ \widetilde{a}=a, \quad f \circ \widetilde{b}=b, \quad f \circ \widetilde{c}=c .
$$

$(\tilde{a} \tilde{b}) \tilde{c}$ 和 $\tilde{a}(\tilde{b} \tilde{c})$ 是凸集 $[0,3]$ 上从 0 到 3 的两条道路，因此 $(\tilde{a} \tilde{b}) \tilde{c} \cong \tilde{a}(\tilde{b} \tilde{c})$（上节习题7）．再用命题4．6的（1）和（2），得到

$$
(a b) c=f \circ((\tilde{a} \tilde{b}) \tilde{c}) \cong f \circ(\tilde{a}(\tilde{b} \tilde{c}))=a(b c) .
$$

**命题4.8** 设道路类 $\alpha$ 的起终点分别是 $x_0$ 和 $x_1$ ．记 $e_{x_0}, e_{x_1}$ 分别是 $x_0, x_1$ 处的点道路，则
（1）$\alpha \alpha^{-1}=\left\langle e_{x_0}\right\rangle, \quad \alpha^{-1} \alpha=\left\langle e_{x_1}\right\rangle$ ；
（2）$\left\langle e_{x_0}\right\rangle \alpha=\alpha=\alpha\left\langle e_{x_1}\right\rangle$ ．
证明 记 $\mathrm{id}_I$ 是 $I$ 的恒同映射，$e_0, e_1$ 分别是 $I$ 上在 0,1 处的点道路．取 $a \in \alpha$ 。则 $e_{x_i}=a \circ e_i, i=0,1$ 。利用 $I$ 的凸性，有

$$
\begin{gathered}
\mathrm{id}_I \overline{\mathrm{id}_I} \simeq e_0, \quad \overline{\mathrm{id}_I} \mathrm{id}_I \simeq e_1, \\
e_0 \mathrm{id}_I \simeq \mathrm{id}_I \simeq \mathrm{id}_I e_1 .
\end{gathered}
$$

用 $a$ 分别与上述各式的两边复合，得到

$$
\begin{gathered}
a \bar{a} \simeq e_{x_0}, \quad \bar{a} a \simeq e_{x_1} \\
e_{x_0} a \simeq a \simeq a e_{x_1}
\end{gathered}
$$

因此 $\alpha \alpha^{-1}=\left\langle e_{x_0}\right\rangle, \alpha^{-1} \alpha=\left\langle e_{x_1}\right\rangle,\left\langle e_{x_0}\right\rangle \alpha=\alpha=\alpha\left\langle e_{x_1}\right\rangle$ ．
命题 4.8 说明点道路所在道路类有单位性．

##  2.3 空间的基本群和连续映射诱导的基本群的同态

设 $X$ 是一个拓扑空间，取定 $x_0 \in X$ 。把 $X$ 的以 $x_0$ 为基点的所有闭路类的集合记作 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 。于是 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 中任何两个元素都是可乘的，乘积仍在 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 中。

**定义4.5** 称 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 在道路类乘法运算下构成的群为 $X$的以 $x_0$ 为基点的**基本群**。

命题4．7保证了乘法有结合律，命题4．8说明 $\left\langle e_{x_0}\right\rangle$ 是单位元， $\alpha$ 的逆就是 $\alpha^{-1}$ 。

`例` 设 $X$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 的凸集，$x_0 \in X$ 是任一点。因为 $x_0$ 处的任意两条闭路都定端同伦，所以 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 只有一个元素，它是平凡群．

设 $f: X \rightarrow Y$ 是连续映射，我们已建立保持乘法运算的对应 $f_\pi:[X] \rightarrow[Y]$ ．如果 $x_0 \in X$ ，记 $y_0=f\left(x_0\right)$ ，则当 $\alpha \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ 时， $f_\pi(\alpha) \in \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 。因此 $f_\pi$ 在 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 上的限制 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 是一个同态．

**定义4.6** 如果 $f: X \rightarrow Y$ 连续，$x_0 \in X, y_0=f\left(x_0\right)$ ，称同态 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 为 $f$ **诱导出的基本群同态**。

注意这里基点 $x_0$ 是可以任意取的．因此 $f$ 诱导出许多基本群同态（对每个点 $x \in X$ 有一个同态），它们都记作 $f_x$ ．

**命题4.9** 设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z$ 都是连续映射，$x_0 \in X, y_0 =f\left(x_0\right), z_0=g\left(y_0\right)$ ．则

$$
(g \circ f)_\pi=g_\pi \circ f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Z, z_0\right) .
$$

证明 设 $\alpha \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ．取 $a \in \alpha$ ，则

$$
(g \circ f)_\pi(\alpha)=\langle g \circ f \circ a\rangle=g_\pi(\langle f \circ a\rangle)=g_\pi \circ f_\pi(\alpha) .
$$

显然，若 id ：$X \rightarrow Y$ 是恒同映射，则

$$
\text { id }_\kappa: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)
$$

是恒同自同构，即 $\operatorname{id}_\pi(\alpha)=\alpha, \forall \alpha \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ．

**定理4.1** 若 $f: X \rightarrow Y$ 是同胚映射，$x_0 \in X, y_0=f\left(x_0\right)$ ，则 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 是同构。

证明 设 $g$ 是 $f$ 的逆映射，$g$ 导出同态 $g_\pi: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 。由命题4．9．

$$
g_\pi \circ f_\pi=(g \circ f)_\pi=\mathrm{id}_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)
$$

是恒同同构，同理 $f_\pi \circ g_\pi: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 也是恒同同构。因此 $f_\pi$ 与 $g_\pi$ 是一对互逆的同构。

> **定理说明基本群是拓扑不变量**。

## 2.4 基本群与基点的关系

基本群是由空间和基点共同决定的．那么同一空间在不同基点处的基本群有什么关系？下面回答这个问题．

先设 $x_0$ 与 $x_1$ 是在 $X$ 的同一道路分支中的两点．设 $\omega$ 是从 $x_0$ 到 $x_1$ 的一个道路类．$\forall \alpha \in \pi_1\left(X, x_0\right), \omega^{-1} \alpha \omega \in \pi_1\left(X, x_1\right)$ 。于是，由 $\omega_{\#}(\alpha)=\omega^{-1} \alpha \omega$ 规定了对应 $\omega_{\#}: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_1\right)$
 
  ![图片](/uploads/2026-01/ee1009.jpg)
  
（图4－8）．
**定理4.2** 若 $\omega$ 是从 $x_0$ 到 $x_1$ 的道路类，则
（1）如果 $\omega^{\prime}$ 是从 $x_1$ 到 $x_2$ 的道路类，则

$$
\left(\omega \omega^{\prime}\right)_{\#}=\omega_{\#}^{\prime} \circ \omega_{\#}: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_1\right) ;
$$

（2）$\omega_{\#}: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_1\right)$ 是同构。
证明（1）假设 $\alpha \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，

$$
\begin{aligned}
\left(\omega \omega^{\prime}\right)_{\#}(\alpha) & =\left(\omega \omega^{\prime}\right)^{-1} \alpha \omega \omega^{\prime}=\omega^{\prime-1}\left(\omega^{-1} \alpha \omega\right) \omega^{\prime} \\
& =\omega_{\#}^{\prime} \circ \omega_{\#}(\alpha) .
\end{aligned}
$$

（1）得到证明．
（2）任取 $\alpha, \beta \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，则

$$
\begin{aligned}
\omega_{\#}(\alpha) \omega_{\#}(\beta) & =\omega^{-1} \alpha \omega \omega^{-1} \beta \omega \\
& =\omega^{-1} \alpha \beta \omega \quad \text { (用命题 4.8) } \\
& =\omega_{\#}(\alpha \beta) .
\end{aligned}
$$

因此 $\omega_\#$ 是同态．
根据（1），$\omega_{\#}^{-1} \circ \omega_{\#}=\left(\omega \omega^{-1}\right)_{\#}=\left\langle e_{x_0}\right\rangle_{\#}$ 显然是恒同同构；同理 $\omega_{\#} \circ \omega_{\#}^{-1}$ 也是恒同同构。因此 $\omega_{\#}$ 是同构，$\omega_{\#}^{-1}$ 是它的逆。

**从定义容易看出，当 $\omega \in \pi_1\left(X, x_0\right), \omega_{\#}$ 是 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 上的一个内自同构**。

至此，我们已证明，当 $x_0$ 与 $x_1$ 属于 $X$ 的同一道路分支时， $\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X, x_1\right)$ ，并且从 $x_0$ 到 $x_1$ 的每个道路类都决定从 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 到 $\pi_1\left(X, x_1\right)$ 的一个同构。一般地这个同构与道路类的选择有关。

如果 $X$ 是道路连通的，则它的基本群的同构型与基点的选择无关。这个同构型就叫作 $X$ 的基本群，记作 $\pi_1(X)$ 。

> 定义 4.7 道路连通并有平凡基本群的拓扑空间称为单连通空间。

例如 $D^2, I$ 以及欧氏空间的任何凸集都是单连通的．
**命题4.10** 设 $A$ 是 $X$ 的一个道路分支，$x_0 \in A, i: A \rightarrow X$ 是包含映射．则

$$
i_\kappa: \pi_1\left(A, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)
$$

是同构。
证明 设 $a$ 是 $X$ 上在 $x_0$ 处的闭路。 $a(I)$ 是道路连通的，并且包含 $x_0$ ，因此 $a(I) \subset A$ 。这样 $a$ 也可看作 $A$ 中的道路，由此得出 $i_\pi$是满的。

如果在 $X$ 中，$a \stackrel{H}{\stackrel{H}{y}} e_{x_0}$ 。则 $H$ 的像也是包含 $x_0$ 的道路连通子集，从而在 $A$ 中。这说明在 $A$ 中也有 $a \simeq e_{x_0}$ 。由此得到 $i_\pi$ 是单的。

设 $x_0, x_1$ 在 $X$ 的不同的道路分支中。记 $A_i$ 是包含 $x_i$ 的道路分支，命题说明 $\pi_1\left(X, x_i\right) \cong \pi_1\left(A_i\right), i=0,1$ ．一般来说，$\pi_1\left(A_0\right)$ 与

$\pi_1\left(A_1\right)$ 是没有什么联系的．因此当 $x_0, x_1$ 不在同一道路分支中时， $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 与 $\pi_1\left(X, x_1\right)$ 没有关系。

## 如何理解道路？
我们抛开公式，用更直觉的方式理解拓扑学里“道路”的几个核心性质。

想象你是一个能在拓扑空间里行走的探险家，你走过的连续轨迹就是一条**道路**。

---

### 1. 可以反着走（逆性质）

如果你从A点走到B点留下一条路径，那么显然也可以从B点沿着原路返回A点。  
> 在拓扑里，每条道路都有**逆道路**，只是方向反过来。这很平凡，但很重要。

---

### 2. 可以接起来走（复合性质）

如果你先从A到B，再从B到C，这两段路可以**首尾相接**成一条从A到C的完整道路。  
> 就像把两段绳子绑在一起。不过注意：一定要在B点“接上”，不能有断裂。

---

### 3. 可以“滑来滑去”而不改变本质（同伦性质）

这是最关键、也最有趣的性质。

想象一根橡皮筋的两端钉在A点和B点。你可以推拉、弯曲这根橡皮筋，只要不剪断、不把端点从A、B上扯下来，它还是连接A和B的一条“道路”。  
> 拓扑学家认为：**能通过连续变形互相得到的道路，本质上是同一条道路**（称为“同伦”）。

举例：
- 在足球表面（球面），从A到B的任何弧线都可以平滑地滑成另一条，它们算作**同一类**。
- 但在甜甜圈表面（环面），绕洞和不绕洞的路径无法通过滑动变成彼此——它们是**不同类**的。

正是这个“能否连续变形”的性质，引出了**基本群**的概念：它把空间里所有闭路（起点=终点的环）按能否变形分类，从而区分不同的空间（比如球面 vs 甜甜圈）。

---

### 4. 路径可以“缩成一点”（可缩性）

如果某条路能连续地缩成一个点（途中始终在空间里），那么这条路是**零伦**的。  
> 比如在平面上，任何闭路都能缩成一点；但在有洞的平面上（比如去掉原点），一个包围洞的环就缩不成一点，会被洞卡住。

这个性质帮我们发现“空洞”：没法缩成一点的环，暗示空间里有障碍物。

---

### 5. 道路连通性：整个空间能不能走到一起？

如果一个空间里任意两点之间都至少存在一条道路，就说它是**道路连通**的。  
> 直观：你可以在空间里从任何地方走到任何地方，不用瞬移。

- 圆环面、球面、平面都是道路连通的。
- 两个分离的圆盘拼成的空间则不是（没法从一个圆盘走到另一个）。

注意：**道路连通**比普通的**连通**更强。  
> 经典反例：“拓扑学家的正弦曲线”是连通的，但并不是道路连通的——因为有些点之间无法用连续路径连接（尽管空间没分开成两块）。

---

### 一句话总结

> 道路就是空间中“可以连续走过去的轨迹”。  
> 它可以反转、拼接、连续变形（同伦），这些简单性质帮助我们判断空间是否有洞、是否真正“连成一片”，并最终构建出基本群这样的代数工具来给空间分类。

## 如何理解基本群？
理解了道路和同伦之后，**基本群**就是一个很自然的进阶概念。我们可以继续用那个“在空间里行走的探险家”的比喻来理解它。

### 核心想法：用“橡皮筋”探测空间的“洞”

想象你是一个在某个空间（比如一个平面、一个球面或一个甜甜圈表面）上的蚂蚁，手里拿着一根**首尾相连的橡皮筋**（也就是一个**闭路**，起点=终点）。你可以把橡皮筋放在空间里的任何地方，然后尝试去**连续地收缩它**，看看能不能把它缩成一个点。

-   如果能缩成一个点，说明这个位置**没有洞**挡住橡皮筋。
-   如果不能，总是被某个“洞”卡住，说明这个位置**有洞**。

**基本群，本质上就是把所有可能的不同“橡皮筋套法”进行分类，并研究它们之间如何组合的代数结构。**

---

### 1. 基本群的元素：不同“橡皮筋套法”的类别

在拓扑学里，我们不关心橡皮筋的具体形状，只关心它**能不能通过连续滑动（不剪断、不离开表面）变成另一种形状**。能互相变形的橡皮筋算作**同一类**。

-   **例子1：在普通平面 $\mathbb{R}^2$ 上**
    -   任何橡皮筋都可以平滑地缩成一个点。
    -   所以只有一个类别：**可以缩成点的橡皮筋**（称为“平凡类”）。这个群只包含一个元素（平凡群）。

-   **例子2：在圆环面（甜甜圈表面）上**
    -   橡皮筋的套法就丰富了：
        1.  能缩成点的（比如在局部小区域绕一下）。
        2.  绕着中心“大洞”（那个像甜甜圈孔一样的洞）一周的。
        3.  绕着管子（甜甜圈的“身体”一周）的。
        4.  同时绕大洞和管子若干圈的。
    -   这些不同的“绕法”就是基本群的不同元素。而且绕两圈和绕一圈不是同一类（没法在不剪断的情况下把两圈缩成一圈）。

### 2. 基本群的运算：橡皮筋的“串联”

基本群不止是一个集合，它还是一个**群**，这意味着它有一个运算规则。这个运算就是**道路的复合**，对应到橡皮筋就是“串联”。

-   **怎么做：** 你有两个基于同一点 $p$ 的橡皮筋套法 $a$ 和 $b$。你从 $p$ 出发，先走完 $a$（回到 $p$），再走完 $b$（再次回到 $p$），这样得到一条新的橡皮筋，记为 $a \cdot b$。
-   **关键：** 这个运算会保持“类别”。如果 $a$ 和 $a'$ 能互变，$b$ 和 $b'$ 能互变，那么 $a \cdot b$ 和 $a' \cdot b'$ 也能互变。

### 3. 基本群的群结构

类比一下你熟悉的整数加法群：

-   **单位元 $e$**：就是那条能直接缩成一点的平凡橡皮筋。任何橡皮筋和它串联，本质上还是它自己。
-   **逆元 $a^{-1}$**：对一条橡皮筋 $a$，把它反向走一遍得到的 $a^{-1}$。想象一下：你先绕洞一圈 ($a$)，再反方向绕一圈 ($a^{-1}$)，结果它们可以互相抵消，整体能缩成一点。所以 $a \cdot a^{-1} = e$。
-   **结合律**：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$，只是走完一段再走下一段的顺序问题，自然成立。

> **你熟悉的例子：圆周 $S^1$**  
> 它的基本群 $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$（整数加法群）。  
> 每个整数 $n$ 代表“绕着圆逆时针绕 $n$ 圈”（负数代表顺时针）。  
> 绕 $m$ 圈和绕 $n$ 圈串起来，就是绕 $m+n$ 圈。完美符合加法群。

### 4. 为什么叫“基本”群？

因为它是一个**拓扑不变量**：

-   如果两个空间是**同胚**的（本质上形状一样），那么它们的基本群完全相同。
-   反过来，如果基本群不同，那么这两个空间**一定不同胚**（一定是不同的形状）。

这提供了一个强大的工具来区分空间：

-   球面 $S^2$ 的基本群是 **平凡群** $\{e\}$（任何橡皮筋都能缩成点）。
-   圆周 $S^1$ 的基本群是 **整数群** $\mathbb{Z}$。
-   环面 $T^2$ 的基本群是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$（整数对 $(m,n)$，分别代表绕大洞和绕管子的圈数）。

你看，通过计算一个群（一个代数对象），我们就能区分球面、圆圈和甜甜圈！这就是代数拓扑的魅力。

### 总结

-   **直观理解**：基本群就是研究一个空间里所有“基于一点的橡皮筋套法”，按照“能否连续变形”分类后形成的**代数结构**。
-   **元素**：“橡皮筋”的同伦类。
-   **运算**：先走一条再走另一条（串联）。
-   **意义**：它是一个能区分不同拓扑空间（尤其是探测一维洞）的强大工具。空间越“多洞”，基本群就越复杂。

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