最后更新: 2026-04-29 12:09 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

映射的同伦

## 第三章 同伦与基本群

本章和以后各章所讲的都属于代数拓扑学的范畴。代数拓扑学的基本思想是对拓扑空间建立以代数概念（如群、交换群、环等）为形式的拓扑不变量，从而把代数方法引进拓扑学的研究中来。我们已说过，要判定空间不同胚，需要用拓扑性质（不变量）。第二章中，我们已看到分离性、可数性、紧致性和连通性这些拓扑性质在这方面的应用．然而用这些概念能解决的问题毕竟太少了，本书至此已积累了不少尚未解决的重要问题，如 $\boldsymbol{E}^n$ 与 $\boldsymbol{E}^m$（当 $n \neq m$ 时）是不是不同胚？ $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 与 $\boldsymbol{E}^2$ 的不同胚问题，$S^2$ 与 $T^2$ 以及 $S^2$ 与 $D^2$ 等等不同胚的判定．在这许多问题上，代数拓扑学将表现出它的威力．

同伦论和同调论是代数拓扑学的两大支柱．本书中只能涉及到它们的一些初步知识．同伦是同伦论的最基础的概念之一；基本群是 1 维同伦群，它是代数拓扑学中最简单，用途最广的部分．

闭曲面分类定理尚未完成的那一半证明涉及到判定两个空间不同胚的问题．例如怎么证明 $S^2 \neq T^2$ ？直观上看，$T^2$ 有洞，可以用线拴住，球面拴不住．但这里并不是指拴它们的线圈能否移走（在 4 维空间中，栓环面的线圈也能移走），正确的解释为：球面上弹性极好的闭合线圈可以在球面上滑缩为一点，而在环面上有些闭曲线（如经圆或纬圆）不能在环面上滑缩为一点．类似的差别也出现在平环与圆盘的比较中．显然圆盘上的闭曲线可容易地在圆盘上收缩为一点，而平环上环绕着它的洞的闭曲线被洞阻挡而缩不成一点（图 4－1）．

![图片](/uploads/2026-01/745f9c.jpg)

基本群就是在闭曲线的可收缩性这种直观背景的基础上发展起来的一种结构．拓扑学中用道路概念替代曲线．道路本身是一种连续映射．为了理解道路的收缩和变形的意义，先一般地介绍连续映射的变形，也就是同伦概念．

## 映射的同伦

**同伦就是映射间的连续变形**．设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，记 $C(X, Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合。设 $f, g \in C(X, Y)$ ，所谓 $f$ 与 $g$ 同伦，就是指 $f$ 可以＂连续地＂变为 $g$ 。这意味着在每一时刻 $t \in I$ ，有一连续映射 $h_t \in C(X, Y), h_0=f, h_1=g$ ，并且 $h_t$ 对 $t$ 有连续的依赖关系。确切的定义为

**定义4.1** 设 $f, g \in C(X, Y)$ 。如果有连续映射 $H: X \times I \rightarrow Y$ ，使得 $\forall x \in X, H(x, 0)=f(x), H(x, 1)=g(x)$ ，则称 $f$ 与 $g$ **同伦**，记作 $f \simeq g: X \rightarrow Y$ ，或简记为 $f \simeq g$ ；称 $H$ 是连接 $f$ 和 $g$ 的一个**同伦**（或称伦移），记作 $H: f \simeq g$（或 $f \stackrel{H}{\simeq} g$ ）（图4－2）。

对每个 $t \in I$ ，同伦 $H$ 决定 $h_t \in C(X, Y)$ 为：$h_t(x)=H(x, t)$ ，于是得到单参数连续映射族 $\left\{h_t \mid t \in I\right\}$ ，称 $h_t$ 为 $H$ 的 $t$－**切片**．根据定义 $h_0=f, h_1=g^{(1)}$ ．

![图片](/uploads/2026-01/81950d.jpg)
 
 
`例` 设 $f, g \in C\left(X, \boldsymbol{E}^n\right)$ ．规定 $H: X \times I \rightarrow \boldsymbol{E}^n$ 为

$$
H(x, t)=(1-t) f(x)+\operatorname{tg}(x) .
$$

容易验证 $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的同伦（习题 1）．$H$ 的直观意义为：当 $t$ 从 0变到1时，$h_t(x)$ 从 $f(x)$ 到 $g(x)$ 作匀速直线运动．因此称这种同伦为直线同伦．直线同伦构作的基础是线段 $\overline{f(x) g(x)} \subset \boldsymbol{E}^n$ ．因此，把 $\boldsymbol{E}^n$ 换成 $\boldsymbol{E}^n$ 的凸子集，同样可构造直
线同伦．

`例` 若 $f, g \in C\left(X, S^n\right)$ ，使得 $\forall x \in X, f(x) \neq-g(x)$ ，则可规定 $f$到 $g$ 的同伦 $H$ 为

$$
H(x, t)=\frac{(1-t) f(x)+\operatorname{tg}(x)}{\|(1-t) f(x)+\operatorname{tg}(x)\|}
$$

（图 4－3）．$H$ 有意义是因为原点 $O \bar{\in} \overline{f(x) g(x)}, \forall x \in X$ ，从而对任何 $t \in I,\|(1-t) f(x)+\operatorname{tg}(x)\| \neq 0$.

![图片](/uploads/2026-01/bbcb7d.jpg)
 
`例` 设 $f, g \in C\left(X, S^1\right)$ ，使得 $\forall x \in X, f(x)=-g(x)$ ，则 $f \simeq g$ 。连结 $f$ 和 $g$ 的一个同伦可构作如下：把 $S^1$ 看作复平面上的单位圆周，其上点用单位复数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}(t \in \boldsymbol{R})$ 表示，令

$$
H(x, t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t \pi} \cdot f(x) .
$$

直观上看，$h_t(x)$ 是把 $f(x)$ 绕原点转 $t \pi$ 角．

> 命题 4.1 同伦关系是 $C(X, Y)$ 中的一种等价关系．

证明 自反性 设 $f \in C(X, Y)$ ，令 $H(x, t) \equiv f(x), \forall x \in X$ ， $t \in I$ ．则 $H: f \simeq f$ ．（这样的同伦称为**常同伦**．）

对称性 设 $H: f \simeq g$ ，规定 $\bar{H}(x, t)=H(x, 1-t), \forall x \in X$ ， $t \in I$ ．则 $\bar{H}: g \simeq f$ ．（称 $\bar{H}$ 为 $H$ 的**逆**．）

传递性 设 $f \stackrel{H_1}{\sim} g \stackrel{H_2}{\sim} k$ ，规定 $H_1$ 与 $H_2$ 的乘积 $H_1 H_2: X \times I \rightarrow Y$ 为（图4－4）

$$
H_1 H_2(x, t)= \begin{cases}H_1(x, 2 t), & 0 \leqslant t \leqslant 1 / 2, \\ H_2(x, 2 t-1), & 1 / 2 \leqslant t \leqslant 1 .\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2026-01/a6ef12.jpg)
 
 当 $t=\frac{1}{2}$ 时，$H_1(x, 2 t)=H_1(x, 1)=g(x)=H_2(x, 2 t-1)$ ，因此 $H_1 H_2$ 的定义合理．根据粘合引理，它是连续的．容易验证 $H_1 H_2$ ： $f \simeq k$ 。

把 $C(X, Y)$ 在同伦关系下分成的等价类称为**映射类**．所有映射类的集合记作 $[X, Y]$ ．

例 1 说明，当 $Y$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 的凸集时，$[X, Y]$ 中只有一个映射类．

`例`设 $X$ 是单点空间 $\{x\}$ 。则 $C(\{x\}, Y)$ 与 $Y$ 之间有一个自然的一一对应：$f \rightarrow f(x) . \forall y \in Y$ ，记 $f_y$ 为像点是 $y$ 的映射。则 $f_{y_1}$到 $f_{y_2}$ 的一个同伦就是 $Y$ 中从 $y_1$ 到 $y_2$ 的一条道路，$f_{y_1} \simeq f_{y_2} \Longleftrightarrow y_1$ 和 $y_2$ 在 $Y$ 的同一道路分支中。因此 $[\{x\}, Y]$ 与 $Y$ 的道路分支的集合有一个一一对应关系。特别当 $Y$ 道路连通时，$[\{x\}, Y]$ 只有一个映射类．

**命题4.2** 若 $f_0 \simeq f_1: X \rightarrow Y, g_0 \simeq g_1: Y \rightarrow Z$ ，则 $g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1: X \rightarrow Z$ ．

证明 设 $F: f_0 \simeq f_1, G: g_0 \simeq g_1$ ．规定连续映射 $F: X \times I \rightarrow Y \times I$ 为

$$
F(x, t)=(F(x, t), t)
$$

（称为 $F$ 的柱化）．则 $G \circ F: g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1$ ．（请读者自己验证．）I

**如果 $f$ 同伦于一个常值映射，则称 $f$ 是零伦的**．

`例`设 $X$ 是 $E^n$ 的凸集，则 $\mathrm{id}_X: X \rightarrow X$ 零伦（例 1）．设 $e$ 是 $X$ 到 $X$ 的一个常值映射，则 $\mathrm{id}_x \simeq e$ 。对任何拓扑空间 $Y$ 和连续映射 $f: X \rightarrow Y, f=f \circ \mathrm{id}_X \simeq f \circ e$（用命题4．2），$f \circ e$ 是常值映射，因此 $f$ 是零伦的．特别对道路连通空间 $Y,[X, Y]$ 只有一个映射类 （见本节习题2）。
$I=[0,1]$ 是凸集，因此拓扑空间 $X$ 上每条道路（注意它是映射）都同伦于点道路．道路连通空间的任何两条道路都同伦．这样，道路的一般同伦并不能反映出空间的很多信息．对道路，下面所用的是一种有附加要求的同伦．

**定义4.2** 设 $A \subset X, f, g \in C(X, Y)$ ．如果存在 $f$ 到 $g$ 的同伦 $H$ ，使得当 $a \in A$ 时，$H(a, t)=f(a)=g(a), \forall t \in I$ ，则称 $f$ 和 $g$ 相对于 $A$ 同伦，记作 $f \simeq g \operatorname{rel} A$ ；称 $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的**相对于 $A$ 的同伦**，记作 $H: f \simeq g \operatorname{rel} A($ 或 $f \stackrel{H}{\simeq} g \operatorname{rel} A)$ 。

`例`设 $Y$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 的凸集，$f, g \in C(X, Y)$ ．如果 $x$ 使得 $f(x)= g(x)$ ，则 $f$ 到 $g$ 的直线同伦 $H$ 满足 $H(x, t)=f(x)=g(x), \forall t \in I$ ．记 $A=\{x \in X \mid f(x)=g(x)\}$ ，则 $H: f \simeq g \operatorname{rel} A$ ．

下面是命题4．1和4．2的平行结果，证明从略．
**命题4.3** 取定 $A \subset X$ ，则 $C(X, Y)$ 中相对于 $A$ 的同伦也是等价关系。

**命题4.4** 设 $f_0 \simeq f_1: X \rightarrow Y \mathrm{rel} A, g_0 \simeq g_1: Y \rightarrow Z \mathrm{rel} B$ ，并且 $f_0(A) \subset B$ ，则 $g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1 \mathrm{rel} A$ ．

**定义4.3** 设 $a, b$ 是 $X$ 上的两条道路，如果 $a \simeq b \operatorname{rel}\{0,1\}$ ，则称 $a$ 与 $b$ **定端同伦**，记作 $a \simeq b$ 。

显然 $a \simeq b$ 的一个必要条件是 $a$ 与 $b$ 有相同的起终点。 $a$ 到 $b$的一个定端同伦是从矩形 $I \times I$ 到 $X$ 的一个连续映射。它把左右侧边分别映为 $a(0)$ 点和 $a(1)$ 点，在下底和上底上的限制分别是道路 $a$ 和 $b$（图4－5）．

![图片](/uploads/2026-01/20a930.jpg)
 
 $X$ 的所有道路在 $\simeq$ 关系下分成的等价类称为 $X$ 的**道路类**．$X$的所有道路类的集合记作 $[X]$ 。 一条道路 $a$ 所属的道路类记作 $\langle a\rangle$ ，称 $a$ 的起、终点为 $\langle a\rangle$ 的起、终点．起终点重合的道路类称为**闭路类**．称起（终）点为它的基点．
 
## 疑难解答：同伦是什么意思

---

**同伦就像“橡皮泥的连续变形”**。

### 1. 先从两条线说起
想象你在一张纸上画了一条曲线（比如一条弯曲的线），然后又画了另一条曲线。  
如果**你能在不撕破、不跳跃、不把点粘在一起**的情况下，把第一条曲线“缓缓抹成”第二条曲线——那这两条曲线就是**同伦**的。

🎈比喻：  
就像你把一根软绳子从形状 A 一点点捋成形状 B，绳子没断，也没突然跳过一个缺口。

---

### 2. 从一个形状到另一个形状
同伦不只用在线上，还可以用在**整个图形或空间**上。

比如：
- 一个**圆形的橡皮圈**，你可以慢慢拉成一个**椭圆**，甚至揉成一个**方形**（只要不剪开）——它们都是同伦的。
- 但如果你想把套在柱子上的橡皮圈**从柱子上取下来**，就必须跨过柱子，那就不是连续变形了，需要“剪开”——这就**不是同伦**。

🎯 核心：**整个过程必须连续、不撕裂、不粘贴、不穿越洞**。

---

### 3. 同伦等价：空间之间也能“像彼此”
两个空间 A 与 B，如果 A 可以**连续变形**成 B，同时 B 也可以变回 A（不一定是一一对应，只要形变的过程是连续的），就称它们**同伦等价**。

🌰 经典例子：
- **实心圆盘**（像薄饼）可以缩成一个点（压扁中心全往一点挤）——所以它和**一个点**是同伦等价的。
- **一个圆环**（像轮胎表面）和**一个圆**是同伦等价的（可以想象把环的中间挤瘦成一个圆线，洞还在）。
- 但一个圆 **不能** 变成一个点（因为中间有个洞，你必须撕裂才能消除洞）。

---

### 4. 为什么这个东西重要？
因为拓扑学家不在乎刚性的形状（方还是圆），而在乎**“能不能由连续变形互相得到”**。

> 同伦就是**“在连续变形的世界里，两个东西是否一模一样”的衡量标准**。

如果你能理解：
- “绳子不打结变形” → 路径同伦  
- “甜甜圈变咖啡杯（都有1个洞）” → 同伦等价  
- “篮球变皮球变鸡蛋变一点” 都是同伦等价（因为都没洞）

那你就抓住了同伦最朴素的直觉。

## 理解：同胚

同胚 像“橡皮泥的完美变形”

**同胚**是两个空间之间的一种**一一对应**的连续变形，要求：

1. **一一对应**：每个点只能去一个点，不同点去不同点，且所有点都被覆盖（双射）。
2. **双向连续**：变形过去是连续的，变回来也是连续的。
3. **允许拉伸、压缩、弯曲、扭转**，但**不允许撕裂、不允许粘合（把不同点粘在一起）、不允许穿孔**。

🎈 **一句话**：同胚就是**把一块橡皮泥捏成另一个形状，不撕破、不粘合，且能完完整整地捏回来**。

---

### 🌰 经典例子

- **一个球面（篮球的表面）** 和 **一个立方体的表面** 是同胚的。  
  你可以把篮球慢慢捏成立方体，不撕破、不粘合，还能捏回去。

- **一个圆** 和 **一个正方形** 是同胚的（把正方形的边揉圆就行）。

- **一个圆环面（甜甜圈的表面）** 和 **一个带把手的咖啡杯** 是同胚的——这是拓扑学里著名的梗：拓扑学家分不清甜甜圈和咖啡杯（都有1个洞）。

- **一个实心球** 和 **一个实心立方体** 是同胚的。

---

### 🚫 什么不是同胚？

- **一个圆** 和 **一条线段** 不是同胚。  
  因为线段有端点（两个“边界点”），圆没有端点。要变过去必须把圆上的两个不同点粘在一起——这就不是一一对应了。

- **一个实心球** 和 **一个球面** 不是同胚。  
  一个是有体积的（三维），一个是空壳（二维曲面），维数不同。

- **一个有洞的圆盘（像垫圈）** 和 **一个没洞的圆盘（圆饼）** 不是同胚。  
  要消除洞必须“粘上”，那就不是同胚了（但它们是**同伦等价**的！这里就是区别）。

---

## 同胚 vs 同伦：区别是什么？

| | **同胚** | **同伦等价** |
|---|---|---|
| **要求** | 严格一对一、双向连续 | 只要求能连续变形过去，也能变回来（中间可以压缩、可以经过更高维？不，核心是：不要求一一对应） |
| **允许** | 拉伸、弯曲、扭转 | 允许“压缩”掉细节，比如把实心球压成一个点（这就不是同胚，因为不是一对一） |
| **不允许** | 撕裂、粘合、改变维数 | 不允许撕裂、不允许穿过洞，但允许“收缩掉”一些部分 |
| **例子** | 篮球 ↔ 立方体 | 实心圆盘 ↔ 一个点（可缩） |
| **不同例子** | 圆 ≠ 线段 | 圆 ⊂ 平面去掉一点？圆和去掉一点的平面是同伦等价的吗？不，但圆和没洞的平面不等价。更准：圆和圆柱面是同伦等价（不是同胚） |
| **直观** | 像捏橡皮泥，不改变“连接方式”和“洞的个数” | 像“捏的时候可以忽略小细节”，只看大洞结构 |

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