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映射的同伦

第三章 同伦与基本群

本章和以后各章所讲的都属于代数拓扑学的范畴。代数拓扑学的基本思想是对拓扑空间建立以代数概念（如群、交换群、环等）为形式的拓扑不变量，从而把代数方法引进拓扑学的研究中来。我们已说过，要判定空间不同胚，需要用拓扑性质（不变量）。第二章中，我们已看到分离性、可数性、紧致性和连通性这些拓扑性质在这方面的应用．然而用这些概念能解决的问题毕竟太少了，本书至此已积累了不少尚未解决的重要问题，如 $\boldsymbol{E}^n$ 与 $\boldsymbol{E}^m$（当 $n \neq m$ 时）是不是不同胚？ $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 与 $\boldsymbol{E}^2$ 的不同胚问题，$S^2$ 与 $T^2$ 以及 $S^2$ 与 $D^2$ 等等不同胚的判定．在这许多问题上，代数拓扑学将表现出它的威力．

同伦论和同调论是代数拓扑学的两大支柱．本书中只能涉及到它们的一些初步知识．同伦是同伦论的最基础的概念之一；基本群是 1 维同伦群，它是代数拓扑学中最简单，用途最广的部分．

闭曲面分类定理尚未完成的那一半证明涉及到判定两个空间不同胚的问题．例如怎么证明 $S^2 \neq T^2$ ？直观上看，$T^2$ 有洞，可以用线拴住，球面拴不住．但这里并不是指拴它们的线圈能否移走（在 4 维空间中，栓环面的线圈也能移走），正确的解释为：球面上弹性极好的闭合线圈可以在球面上滑缩为一点，而在环面上有些闭曲线（如经圆或纬圆）不能在环面上滑缩为一点．类似的差别也出现在平环与圆盘的比较中．显然圆盘上的闭曲线可容易地在圆盘上收缩为一点，而平环上环绕着它的洞的闭曲线被洞阻挡而缩不成一点（图 4－1）．

基本群就是在闭曲线的可收缩性这种直观背景的基础上发展起来的一种结构．拓扑学中用道路概念替代曲线．道路本身是一种连续映射．为了理解道路的收缩和变形的意义，先一般地介绍连续

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映射的变形，也就是同伦概念．
§ 1 映射的同伦

同伦就是映射间的连续变形．设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，记 $C(X, Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合。设 $f, g \in C(X, Y)$ ，所谓 $f$ 与 $g$ 同伦，就是指 $f$ 可以＂连续地＂变为 $g$ 。这意味着在每一时刻 $t \in I$ ，有一连续映射 $h_t \in C(X, Y), h_0=f, h_1=g$ ，并且 $h_t$ 对 $t$ 有连续的依赖关系。确切的定义为

定义4．1 设 $f, g \in C(X, Y)$ 。如果有连续映射 $H: X \times I \rightarrow Y$ ，使得 $\forall x \in X, H(x, 0)=f(x), H(x, 1)=g(x)$ ，则称 $f$ 与 $g$ 同伦，记作 $f \simeq g: X \rightarrow Y$ ，或简记为 $f \simeq g$ ；称 $H$ 是连接 $f$ 和 $g$ 的一个同伦（或称伦移），记作 $H: f \simeq g$（或 $f \stackrel{H}{\simeq} g$ ）（图4－2）。

对每个 $t \in I$ ，同伦 $H$ 决定 $h_t \in C(X, Y)$ 为：$h_t(x)=H(x, t)$ ，于是得到单参数连续映射族 $\left\{h_t \mid t \in I\right\}$ ，称 $h_t$ 为 $H$ 的 $t$－切片．根据定义 $h_0=f, h_1=g^{(1)}$ ．

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 例 1 设 $f, g \in C\left(X, \boldsymbol{E}^n\right)$ ．规定 $H: X \times I \rightarrow \boldsymbol{E}^n$ 为

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